§ 6. Порядок виконання математичної обробки експериментальних результатів.

§ 6-1. Порядок обчислення абсолютних похибок прямих вимірювань.

1. Провести багаторазове повторне вимірювання однієї і тієї ж фізичної величини х (n=3-10) і записати одержані результати в звітну таблицю.

2. Обчислити середнє арифметичне значення вимірюваної величини за формулою:

3. Знайти абсолютні похибки окремих вимірів фізичної величини:

4. Обчислити середню квадратичну похибку результату за формулою:

5. Згідно таблиці знайти коефіцієнт Стьюдента в залежності від вибраної ймовірностір=0,95 і числа вимірювань n=3-10 і обчислити абсолютну випадкову похибку прямого вимірювання:

6. Знайти граничну абсолютну похибку приладу згідно вказівок в § 3-2. Обчислити абсолютну похибку приладу за формулою:

7. Обчислити абсолютну похибку відліку (округлення), застосовуючи формулу: , дер=0,95; h – ціна найменшої поділки приладу (інтервал округлення).

8. Знайти повну абсолютну похибку прямого вимірювання:

9. Кінцевий результат записати у вигляді:од.вим

§ 6-2. Порядок обчислення відносної і абсолютної похибок кінцевого результату непрямих вимірювань.

Підставляють у робочу формулу середні значення вимірюваних величин і обчислюють шукану фізичну величину. Знаючи робочу формулу, за допомогою якої в даній лабораторній роботі підраховують шукану фізичну величину, з’ясовують, який метод знаходження відносної і абсолютної похибок доцільно застосовувати в даному випадку (див. вказівки в §4).

Якщо розрахункова формула є алгебраїчний вираз, зручний для логарифмування, то доцільно застосовувати метод логарифмічного диференціювання (§ 4-2).

Згідно цього методу:

1. Проводять логарифмування лівої і правої частин робочої формули;

2. Знаходять повний диференціал натурального логарифму в одержаному виразі;

3. Роблять заміну диференціалів вимірюваних величин відповідними абсолютними похибками, а знак /-/ замінюють знаком /+/;

4. Одержують формулу для підрахунку максимальної відносної похибки кінцевого результату:

5. Знаючи відносну похибку, знаходять і абсолютну похибку кінцевого результату:

Кінцевий результат непрямого вимірювання записують у вигляді: од.вим. прир=0,95 і ε , %

Якщо робоча формула є виразом, незручним для логарифмування, то користуються загальним методом знаходження похибки непрямого вимірювання – обчислення повного диференціала..

Проводячи математичні операції, необхідно обов’язково користуватися правилами наближених обчислень. (див. § 5-2, § 5-3).

§ 6-3. Приклади математичної обробки результатів фізичних вимірювань в деяких лабораторних роботах.

1. Визначення густини тіла правильної геометричної форми

У цій роботі визначається густина циліндричного зразка або іншого за формою зразка за результатами вимірювань його маси і розмірів:d – діаметра, h – висоти.

Густиною однорідного тіла називається відношення маси тіла до його об’єму: , або інакше, густина визначається масою одиниці об’єму.

Маса є мірою інертних і гравітаційних властивостей тіла і є величиною скалярною та адитивною: маса складеного тіла дорівнює сумі мас усіх його частин.

Об’єм циліндричного зразка:

Тоді густина твердого циліндричного зразка визначається за формулою:

.

Подавши цю формулу як дістанемо співвідношення для визначення відносної похибки. Для цього спочатку про логарифмуємо цей вираз:

Обчислимо частинні похідні за m,d і h:

; ;

Підставивши ці значення частинних похідних, дістанемо формулу для розрахунку відносної похибки:

.

Обчисливши відносну похибку , легко знайдемо й абсолютну похибку за формулою:

Остаточний результат записується у вигляді:

.

Похибка константи не ввійшла до розрахункової формули, оскільки її завжди можна зробити як завгодно малою.

З якою ж кількістю знаків доцільно брати число ? Будь-яке округлення чисел у процесі обчислення призводить до систематичної похибки. Тому, округлюючи трансцендентне числотобто замінюючи його наближеним значенням, ми вносимо відносну похибку

=3, =0,142,5%,

=3,1, =0,0416,1,5%

=3,14, =0,0016,0,05%.

Нагадаємо, що відносна похибка, яку знаходимо в результаті обчислень, має бути приблизно на порядок (тобто у 10 разів) менша за похибку результату непрямих вимірювань.

Оскільки в практиці навчальної лабораторії похибка непрямих вимірювань становить кілька відсотків, то завжди достатньо буде брати число із трьома значущими цифрами, тобто=3,14.

Порядок виконання роботи та обробка результатів вимірювань

1. Дізнатися у викладача про номер зразка і визначити із табл. 1.1 виміряні значення m, d, h та записати їх у табл. 1.2.

Номер зразка	№ з/п	Діаметр d, мм мм	Висота h, мм мм	Маса m, г г
1	1 2 3 4 5	10,15 10,16 10,21 10,19 10,18	16,35 16,40 16,40 16,35 16,30	3,20
2	1 2 3 4 5	12,50 12,51 12,53 12,49 12,52	18,95 18,90 18,90 18,85 18,95	18,17 18,15 18,14 18,14 18,18
3	1 2 3 4 5	15,81 15,82 15,79 15,78 15,80	24,15 24,20 24,15 24,10 24,10	52,91
4	1 2 3 4 5	18,32 18,31 18,30 18,31 18,32	32,10 32,05 32,15 32,10 32,15	6,705 6,702 6,701 6,706 6,703
5	1 2 3 4 5	11,80 11,81 11,80 11,78 11,79	21,15 21,10 21,25 21,20 21,25	5,35
6	1 2 3 4 5	9,31 9,30 9,32 9,29 9,27	13,15 13,05 13,10 13,05 13,10	6,93 6,92 6,93 6,97 6,96
7	1 2 3 4 5	14,25 14,23 14,21 14,24 14,26	21,00 21,05 21,05 21,00 21,05	30,80
8	1 2 3 4 5	16,31 16,33 16,35 16,32 16,33	18,35 18,40 18,45 18,40 18,40	29,35 29,28 29,30 29,33 29,29
9	1 2 3 4 5	9,54 9,56 9,52 9,55 9,53	18,05 18,15 18,10 18,15 18,10	10,82
10	1 2 3 4 5	17,77 17,75 17,72 17,74 17,71	21,95 21,90 21,85 21,90 21,85	45,63 45,69 45,67 45,65 45,64

2. Провести обробку результатів прямих вимірювань, для цього розрахувати:

• середні значення та;

• відхилення від середніх значень ,,;

• середні квадратичні відхилення ,,

Розрахунки виконати не більш як із чотирма значущими цифрами. Результати розрахунків записати в табл. 1.2.

Таблиця 1.2.

Номер вимірювання

Маса зразка m, г

Діаметр зразка d, мм

Висота зразка h, мм

Відхилення від середнього

г

мм

,мм

1

2

3

4

5

Середні значення

Середньоквадратичні відхилення

3. Визначити випадкові похибки Для цього середні квадратичні відхилення,,помножити на коефіцієнт Стьюдентаt для даної надійної ймовірності р та кількості вимірювань n. Для р=0,95 і n=5, t=2,78.

4. Значення випадкових похибок округлити до однієї значущої цифри, якщо перша цифра більша за 3. Якщо вона дорівнює 3 або менша, округлити до двох значущих цифр і записати в табл. 1.3. Наприклад, якщо знайдено значення 0,419 і 0,123, після округлення варто записати 0,4 та 0,12.

5. Урахувавши випадкову та систематичну похибки, визначити загальну похибку прямих вимірювань. Для цього з табл. 1.1 визначити інструментальні похибки і записати їх у табл. 1.3. Порівняти інструментальніі випадковіпохибки. Якщо одна з них більш ніж утричі перевищує іншу, то меншою варто знехтувати і як загальну похибку прямих вимірювань узяти велику. У протилежному випадку загальну похибку розрахувати за формулою.

Здобуті значення округлити відповідно до п. 4 і записати в табл. 1.3.

Таблиця 1.3

Розмір	Інструментальна похибка	Випадкова похибка	Загальна похибка прямих вимірювань
Маса
Діаметр
Висота

6. Розрахувати за формулою (1.5) значення в одиницях системиCI, використовуючи значення ,таіз табл. 1.2.

7. Розрахувати за формулою (1.7) значення похибки непрямих вимірювань , використовуючи значеннятаіз табл. 1.3. Здобуті значення округлити відповідно до п.4.

8. Округлити здобуте значення до розряду, що відповідає першій значущій цифрі похибки, і записати округлений результат яккг/.

2. «Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного та оборотного маятників».

Як приклад розрахунку похибки фізичної величини, розглянемо експериментальні дані лабораторної роботи:

Таблиця результатів дослідження:

№п/п			t, c	t, c	l,м	l,м	g м/с	g м/с	, %
1	3,14	0,005	13,579		0,459
2			13,582		0,458
3			13,578		0,457
4			13,580		0,458
5			13,581		0,457
<>			13580	0,0190	0,4578	0,003	9,896	0,1	1,0

Розглянемо робочу формулу для визначення прискорення земного тяжіння (g) для оборотного маятника:

Оскільки період визначається по формулі: , де t – час n коливань, n – кількість коливань, то підставляючи його значення в робочу формулу, одержимо:

Для того, щоб визначити відносну похибку. Використовуємо метод логарифмічного диференціювання (див. § 4-2 ):

Експериментальні дані, отримані при виконанні лабораторної роботи, занесено в таблицю результатів вимірювань. Значення похибки Δπ знаходимо згідно правил визначення абсолютної похибки для табличних даних : Δπ=0,005. Похибки івизначимо як абсолютні похибки прямого вимірювання (див. § 3):

до

Підставляючи числові значення одержаних складових похибки, знаходимо :

с.

Аналогічно визначаємо абсолютну похибку для вимірювання відстані між двома точками підвісу :

м.

м.

Підставляючи числові значення абсолютних похибок, визначимо її:

Абсолютну похибку посереднього виміру знаходимо згідно формули:

м/с

Кінцевий результат пишемо в такому вигляді:

g = (9,90,1) м/сприp=0,95 ε=10%

ІІІ. Вивчення законів кінематики і динаміки поступального руху на машині Атвуда

Завдання 1. Перевірка умови

1. На правий вантаж покласти тягарець. Замкнути коло електромагніту. Система перебуватиме в стані рівноваги. Під вантажем на відстані 10 см від верхнього краю стояка поставити кільцеву підставку , а суцільну підставку – на відстані 60 см від верхнього краю.

2. Розімкнути коло електромагніту. Виміряти час від моменту зняття тягарця кільцевою підставкою до моменту удару вантажу об суцільну підставку. Вимірювання часу повторюють 3 рази.

3. Виміряти відстань між підставками.

4. Не змінюючи положення кільцевої підставки, піднімають суцільну підставку на 5 см і повторюють вимірювання за пп.2,3. Результати вимірювань занести в таблицю.

№ з/п	h, м	t, с	, м/с			Примітка
1
2
3
4
5
Середнє значення	-

5. Вимірювання виконують при 5 різних положеннях суцільної підставки.

6. Знаючи відстань між підставками і висоту правого вантажу, визначити швидкість рівномірного руху між підставками:

5. Визначити абсолютну і відносну похибки вимірювань часу.

6. Визначити абсолютну похибку вимірювань швидкості за формулою:

.

5. Визначити відносну похибку вимірювань швидкості .

6. Результат записати у вигляді: .

7. Побудувати графік залежності .

Завдання 2. Перевірка закону швидкості

1. На правий вантаж покласти тягарець. Замкнути коло електромагніту. Система перебуватиме в стані рівноваги. Під вантажем на відстані 10 см від верхнього краю стояка поставити кільцеву підставку, а суцільну підставку – на відстані 60 см від верхнього краю.

2. Розмикаючи коло електромагніту, одночасно увімкнути секундомір. Виміряти час від початку руху тягарця до зняття його кільцевою підставкою. Далі виміряти часвід моменту зняття тягарця кільцевою підставкою до моменту удару вантажу об суцільну підставку. Вимірювання часу повторюють 3 рази. Результати вимірювань занести до таблиці.

3. Виміряти відстань між підставками.

4. Повернути систему в початкове положення. Змінити положення кільцевою підставкою, повторити вимірювання за пп. 2, 3. Вимірювання виконати при 5 різних положеннях кільцевою підставкою. Результати вимірювань занести в таблицю.

№ з/п	h,м	t,с	,с	,м/с	a,			Примітка
1
2
3
4
5
Середнє значення	-		-	-

5. Із зміною відстані між правим вантажем і кільцевою підставкою 1 змінюватиметься і швидкість рівномірного руху між підставками. При однаковій масі тягарця прискорення системи буде сталим: .

6. Швидкість рівномірного руху вантажу між підставками дорівнює миттєвій швидкості рівноприскореного руху в момент часу . Тоді прискорення системи можна визначити за формулою:.

7. Визначити абсолютну і відносну похибку прямих вимірювань часу.

8. Визначити абсолютну похибку вимірювань прискорення за формулою: .

9. Визначити відносну похибку вимірювання прискорення .

10. Результати записати у вигляді: .

11. Побудувати графік залежності .

Завдання 3. перевірка закону шляху .

1. На правий вантаж покласти тягарець масою . Ввімкнути струм у колі електромагніту і встановити систему так, щоб лівий вантаж утримувався внаслідок дії електромагніту.

2. Суцільну підставку встановити на певній відстані h від нижньої основи правого вантажу. Розмикаючи коло електромагніту, одночасно пустити в хід секундомір.

3. Секундомір зупинити в момент удару правого вантажу об підставку; його покази відповідають часу руху t вантажу. Час виміряти 3 рази.

4. Виміряти відстань h. результати вимірювань записати в таблицю.

№ з/п	h,м	t,с	a,	,	Примітка
1					m=
2
3
4
5
Середнє значення

5. При однаковій масі тягарця 6 змінити величину h і виміряти час t за пп. 2-4.

6. Вимірювання виконують при 5 різних положеннях суцільної підставки . Результати вимірювань занести в таблицю.

7. Прискорення системи в усіх випадках буде однаковим. Тому повинно виконуватись співвідношення: .

8. Обчислити теоретичне значення прискорення системи за формулою.

9. Визначити абсолютну похибку за формулою: .

10. Визначити абсолютну похибку: .

11. Результати записати у вигляді: .

12. Побудувати графік залежності h = f (t).

Завдання 4. Перевірка другого закону Ньютона F = ma .

1. Переклавши тягарець з правого вантажу на лівий, змінюємо результуючу зовнішню силу, прикладену до системи, і разом з цим прискорення руху системи. Маса системи при цьому залишається сталою.

2. Для двох різних випадків маємо:

.

Відповідно:

Поділивши рівняння отримаємо: і.

Звідки .

Ці співвідношення і треба перевірити.

3. Поклавши на правий вантаж тягарець, замкнути коло електромагніту.

4. Зовнішня сила , прикладена до системи, дорівнює різниці ваг правого і лівого вантажів.

5. На певній відстані від правого вантажу закріпити суцільну підставку.

6. Розмикаючи коло електромагніту, секундоміром виміряти час від початку руху системи до удару правого вантажу об суцільну підставку. Вимірювання часу виконати 3 рази. Результати вимірювань занести в таблицю.

№ з/п	,м	,м	,с	,с		Примітка
1						m1= m2= Δtін=
2
3
4
5
Середнє значення

7. Такі вимірювання провести для різної кількості тягарців 5 разів.

8. Перевірити співвідношення:

.

9. Зробити висновки.