Іv. Змістовий модуль 3

Динаміка системи матеріальних точок. Закони збереження.

Теоретичне ядро

Механічні системи та їх класифікація.

Найпростішим матеріальним об’єктом, механічний рух якого досліджується, є матеріальна точка, що є абстракцією реального матеріального тіла. Але в природі, як правило, маємо справу не з окремими тілами (точками), а з системами тіл, точок. Сукупність матеріальних точок (тіл), рух і положення яких взаємозв’язані між собою, називається системою матеріальних точок (тіл), або механічною системою.

Типи механічних систем:

а) консервативні механічні системи, в яких діють потенціальні сили (сили тяжіння і сили пружності);

б) неконсервативні системи, наприклад, в яких діють сили тертя.

Сили, що діють на точки (тіла) системи поділяються на два класи:

а) внутрішні сили – сили, з якими точки (тіла) механічної системи взаємодіють між собою;

б) зовнішні сили – сили, з якими тіла (точки), що не належать до системи, діють на точки (тіла) даної системи.

Остання класифікація – умовна, в залежності від постановки механічної задачі.

Механічні системи, в яких діють тільки внутрішні сили, називаються замкненими (ізольованими). Якщо на механічну систему діють крім внутрішніх і зовнішні сили, то механічна система називається незамкненою. Але в природі замкнених механічних систем не існує (крім Всесвіту вцілому), так як не існує вільних і ізольованих тіл. Іншими словами, замкнена система – це абстракція реальних механічних систем.

Математично умову замкненості механічної системи можна записати:

,

тобто, система точок називається замкненою, якщо результуюча всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

Імпульс механічної системи. Рівняння імпульсу механічної системи.

Нехай довільна механічна система складається із n-матеріальних точок з масами m₁, m₂, m₃,….m_i,….m_n.

Тоді імпульс довільної точки:

Імпульсом механічної системи називається сумарний (результуючий) вектор, який дорівнює геометричній сумі векторів імпульсів окремих точок системи.

Нехай на точки системи діють в загальному випадку змінні сили. Розіб’ємо інтервал часу Δt, протягом якого відбувається взаємодія, на нескінченне число нескінченно малих проміжків dt так, якщо діюча сила .

Тоді застосуємо II закон Ньютона в загальній диференціальній формі, який встановлює взаємозв’язок між імпульсом точки і імпульсом сили, записавши його для кожної ізольованої точки системи:

або .

Для точки, що належить механічній системі II закон Ньютона запишеться в диференціальній формі:

,

згідно якого елементарна зміна імпульсу точки механічної системи дорівнює сумі елементарних імпульсів всіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точку. Нехай на точки системи діють як внутрішні сили, так і зовнішні:

m₁:

m₂:

.…………………..

m_i:

…………………….

m_n:

Тоді для кожної точки системи II закон Ньютона запишеться:

Щоб знайти загальну (сумарну) зміну імпульсу всіх точок системи необхідно додати почленно всі рівняння руху:

– сумарна елементарна зміна імпульсу всієї механічної системи.

–елементарний імпульс результуючої всіх зовнішніх сил.

Якщо додавати імпульси всіх внутрішніх сил, то згідно з III законом Ньютона, матимемо:

,

тоді результуючий вектор внутрішніх сил дорівнює нулю:

і відповідно сумарний імпульс всіх внутрішніх сил теж дорівнює нулю. Отже маємо:

(3-1)

Одержаний вираз носить назву рівняння імпульсів механічної системи:

Елементарна зміна імпульсу механічної системи (повний диференціал) дорівнює елементарному імпульсу результуючої всіх зовнішніх сил, що діють на систему;

або: швидкість зміни імпульсу механічної системи дорівнює результуючій всіх зовнішніх сил, що діють на систему.