Момент імпульсу механічної системи. Закон збереження моменту імпульсу замкнених механічних систем.

Поняття моменту імпульсу системи вводиться аналогічно поняттю імпульсу системи:

для довільної матеріальної точки: ;

для механічної системи:

Моментом імпульсу механічної системи відносно довільного центру називають вектор, що дорівнює геометричній сумі векторів моментів імпульсу всіх точок системи відносно того ж центру.

Розглянемо момент імпульсу довільної точки механічної системи, на яку діють внутрішні сили з боку інших точок системи і рівнодійна зовнішніх сил. Тоді, динамічне рівняння руху прийме вигляд:

Помножимо ліву і праву частину на – радіус-векторі-ї точки і знайдемо суму одержаного виразу за всіма точками векторної системи:

Так як, згідно з ІІІ законом Ньютона , то неважко показати, що векторна сума моментів всіх внутрішніх сил відносно довільного центра дорівнює нулю, тобто:

Тоді одержимо:

(3-7)

Останній вираз називається рівнянням моментів для системи математичних точок відносно довільного центра.

Швидкість зміни моменту імпульсу системи точок відносно довільного центра дорівнює результуючому моменту (геометричній сумі моментів) всіх зовнішніх сил відносно того самого центра.

Розглянемо випадок замкненої системи точок, для якої , а тому і.

Тоді

(3-8)

Момент імпульсу замкнентої механічної системи відносно довільного центра залишається величиною постійною в процесі її руху.

Внутрішні сили не можуть змінювати момент імпульсу всієї системи в цілому. Останній висновок слід розуміти як закон збереження моменту імпульсу замкненої механічної системи.

Закон збереження і перетворення механічної енергії для консервативних механічних систем. Механічна енергія системи матеріальних точок.

Механічна енергія системи матеріальних точок складається із сумарної кінетичної енергії кожної із частинок системи і сумарної кінетичної енергії зовнішніх і внутрішніх сил взаємодії.

, де , а

Для замкнених механічних систем , тому, тобто потенціальна енергія замкненої системи дорівнює сумарній внутрішній енергії парної взаємодії частинок системи.

Механічна енергія, системи на яку і в якій діють неконсервативні (потенціальні) сили називаються консервативними.

Рівняння зміни повної механічної енергії системи.

Розглянемо, як змінюється механічна енергія механічної системи, що знаходиться під дією консервативних сил.

Нехай на механічну систему, що складається з n-матеріальних точок діють зовнішні сили: і внутрішні сили, тобто сили парної взаємодії:.

Запишемо динамічні рівняння руху:

Механічні точки системи під дією всіх сил здійснюють елементарні переміщення за елементарні проміжки часу:

Тоді:

Помножмо скалярно праву частину всіх рівнянь на елементарні переміщення , а ліву на рівний тому вираз. Маємо:

Проведемо почленне додавання одержаної системи. Скорочено це можна записати:

або– елементарна зміна кінетичної енергії всієї системи.

–сума елементарних робіт всіх зовнішніх сил, що діють на систему – сума елементарних робіт всіх внутрішніх сил.

Але внутрішні сили є консервативними тоді:

–елементарна робота консервативних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи.

Тоді останнє рівняння запишеться:

або ;

(3-9)

носить назву рівняння зміни механічної енергії.

Елементарна зміна повної механічної енергії дорівнює елементарній роботі зовнішніх сил.