Практичне заняття 3.3 Тема: Елементи динаміки тіла (точки) змінної маси Основні формули та методичні рекомендації

Основне рівняння реактивного руху (руху тіла змінної маси):

,

де – рівнодійна всіх зовнішніх сил;– формула реактивної сили.

Відносно швидкість від ділення або приєднання частинок:

.

Рівняння Мещерського:

.

Формула Ціолковського визначає швидкість ракети в будь-який момент часу:

.

Число Ціолковського:

,

де М_о – стартова маса ракети; М_р – маса ракети в момент повного згорання палива.

Розв’язок задач з цієї теми зводиться, як правило, до інтегрування диференціального рівняння реактивного руху Мещерського.

Сталі інтегрування знаходяться, використовуючи початкові умови: при .

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Знайти масу ракети як функцію часу , що вілповідає, якщо ракета рухається вертикально вгору у полі земного тяжіння. Швидкість витрачення продуктів горіння відносно ракети. Опір повітря не враховувати.

Розв’язання.

Динамічне рівняння реактивного руху (рівняння Мещерського):

,

де .

.

В проекціях на вісь Оу:

.

Інтегруючи отримане диференційне рівняння:

.

Приклад 2. Визначити швидкість ракети в момент повного згорання пального, якщо вона рухається вертикально вгору в полі сили тяжіння при постійній відносній швидкості витікання газів = 2∙10³ м/с. Початкова швидкість ракети = 1000 м/с. Маса ракети 10³ кг, маса пального 3∙10³ кг. Швидкість горіння пального 60 кг/с.

Розв’язування.

Використаємо рівняння Мещерського для реактивного руху:

В проекціях на вертикальну вісь динамічне рівняння реактивного руху приймає вигляд:

Помножимо ліву і праву частину на

Отримаємо:

Після інтегрування маємо:

Час повного згорання пального:

= 50с

Тоді швидкість ракети:

= 2,4 км/с.

Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання

1. Ракета з початковою масою М₀ = 3 т виштовхує гази з відносною швидкістю 3 км/с. Нехтуючи впливом зовнішніх сил, визначити масу палива, потрібну для досягнення першої космічної швидкості.

2. Реактивний корабель масою М рухається за допомогою насоса, який набирає воду з річки і викидає її назад з корми корабля з відносною швидкістю U_від.. Швидкість викидання води постійна і дорівнює μ. Визначити швидкість корабля як функцію часу.

3. Ракета з початковою масою М₀ = 2,5 т і відносною швидкістю витікання газів 3 кг/с виводить на орбіту штучний супутник Землі. Визначити масу супутника, якщо відомі маса палива 2∙10³ кг і число Ціолковського, яке дорівнює 10.

4. На горизонтальній ділянці залізничної колії стоїть платформа, навантажена піском. У днищі платформи утворилась щілина, через яку щосекунди висипається на залізничне полотно μ = 10 кг/с піска. Маса платформи разом з піском М = 210 кг. У деякий момент часу на платформу починає діяти сила і через 20 с платформа набуває швидкості = 6,2 м/с. Визначити силу, що діє на платформу, нехтуючи тертям.

5. Транспортна стрічка масою m₀ кг подає вугілля від бункера вугільного комбайна по лаві шахти до штрека. Транспортна стрічка рухається зі швидкістю м/с. З нерухомого бункера комбайна вугілля висипається з сталою швидкістю μ кг/с. Знайти залежність від часу сили, що забезпечує рух стрічки зі сталою швидкістю.

6. Ракета запущена під кутом α = 30^о до горизонту. Стартова маса ракети М₀ = 1,5 кг. Через 2 с після польоту маса ракети стала М = 1 кг. Швидкість витікання газів із сопел ракети = 12 м/с. (відносно корпуса ракети). На ракету під час її руху крім сили тяжіння діє ще й сила опору F = 160 Н. Визначити прискорення руху ракети.

7. При маневруванні космічного корабля розвивається реактивна сила R = 160 Н при витраті двигуном палива μ = 0,2 кг/с. Знайти відносну швидкість витікання продуктів згорання із сопла реактивного двигуна та прискорення а, яке дістає корабель.

8. Вертикально вгору стартує одноступінчаста ракета. Вивести рівняння руху і визначити максимальну швидкість, якої вона може досягнути. Відомо, що сучасні види реактивного палива і матеріали конструкції сопла можуть забезпечити відносну швидкість витікання газів із сопла = 3 км/с. При сучасному стані техніки конструкція не може мати масу меншу 10% від загальної маси (конструкція + реактивне паливо), тобто М₀/М = 10. Під час руху ракети не враховувати дії зовнішніх сил.

9. Одноступінчаста ракета має стартову конструкцію (конструкція + паливо) М₀ = 500 кг. Ракету запускають вертикально вгору, щоб вона досягла швидкості = 100 м/с. Швидкість витікання продуктів згоряння = 40 м/с. Повне згоряння палива відбулось за час t₀ = 5 с. Визначити:

а) масу палива ракети на старті;

б) прискорення ракети за час 0,5 t₀;

в) час підйому ракети до максимальної висоти.

Прискорення вільного падіння по всій траєкторії польоту ракети вважати сталим і рівним g.

10. Ракета стартує з поверхні Землі вертикально вгору. Маса палива ракети М_п = 0,9 кг. Відносна швидкість витікання продуктів згоряння = 25 м/с. Визначити стартову масу ракети. Опір середовища і прискорення вільного падіння не враховувати.

11. Ракета масою 400 кг внаслідок згоряння 50 кг палива піднімається на висоту 125 м. Визначте швидкість виходу газів із ракети, вважаючи, що паливо згоряє миттєво.

12. Знайти зв’язок між масою ракети, швидкістю, яка досягається нею і часом, якщо ракета рухається вертикально вгору в полі земного тяжіння. Швидкість газового струменя відносно ракети вважати постійною. Опір повітря і зміна прискорення сили тяжіння з висотою не враховувати. Яку масу газів повинна щосекунди викидати ракета, щоб залишатися нерухомою в полі тяжіння.

13. Космічний корабель рухається з постійною за величиною швидкістю. Для зміни напряму його польоту включається двигун, що викидає струмінь газу із швидкістю відносно корабля в напрямі, перпендикулярному до його траєкторії. Визначити кут, на який повернеться вектор швидкості корабля, якщо початкова маса його М₀, а кінцева М_.

14. Визначити коефіцієнт корисної дії ракети, тобто відношення кінетичної енергії, набутої ракетою, до кількості тепла, що виділилося при згоранні палива. Швидкість, досягнута ракетою, 9 км/с. Теплота згорання палива 4000 ккал/кг, швидкість продуктів згорання, що викидаються, відносно ракети 3 км/с.

15. У ракеті продукти згорання (гази) викидаються із швидкістю 3 км/с (відносно ракети). Знайти відношення її кінетичної енергії до кінетичної енергії продуктів згорання у момент досягнення ракетою швидкості 12 км/с.

16. Визначите силу тяги повітряно-реактивного двигуна літака, що летить із швидкістю . Масова витрата палива і повітря, що поступає в двигун, рівна і відповідно. Швидкість продуктів згорання щодо літака на виході з двигуна рівна .

17. Ракета, маса якої в початковий момент часу = 1500 кг запущена вертикально вгору. Визначите прискорення ракети через 5 с польоту, якщо швидкість витрати горючого = 100 кг/с, а відносна швидкість виходу продуктів згорання = 200 м/с. Опір повітря не враховувати.