Практичне заняття 3.2 Тема: Закони збереження й перетворення механічної енергії консервативних систем. Основні формули

Систему тіл, які взаємодіють між собою, називають замкненою, якщо на неї ззовні не діють інші тіла. Для такої системи виконується закон збереження імпульсу: імпульс замкненої системи є величина постійна, тобто

(1)

Робота, що здійснюється силою F при елементарному переміщеннi

, (2)

де – елементарний шлях– кут між векторамиF і .

Повна робота змінної сили F на шляху s:

(3)

Зміна повної енергії системи дорівнює роботі, яка виконується зовнішніми силами, що прикладені до системи:

(4)

Кінетична енергія тіла, що рухається поступально зі швидкістю :

(5)

Потенціальна енергія тіла, піднятого поблизу до поверхні Землі на висоту h:

(6)

Потенціальна енергія пружно деформованого тіла:

, (7)

де k – коефіцієнт пружності, що визначається відношенням пружної сили до величини х пружної деформації.

Закон збереження енергії в механіці: повна механічна енергія замкненої системи, в якій діють тільки консервативні сили, є величина постійна. Тобто:

. (8)

Методичні вказівки

1. У механіці застосовують закон збереження енергії, головним чином у тих задачах, де між тілами, що утворять замкнену систему, діють потенціальні сили (гравітаційні й пружні), які змінюються в часі. У цих випадках розрахунок швидкостей тіл або їх координат за допомогою другого закону Ньютона приводить до необхідності інтегрування, для виконання якого треба знати закон зміни сили F = F(t). Застосування закону збереження енергії, що зв’язує початковий та кінцевий стани системи тіл, які взаємодіють, спрощує рішення подібних задач, так як дозволяє не розглядати сили, які діють між тілами.

У задачах на рух тіла по колу у вертикальній площині, на тіло також діють сили, що змінюються в часі. При цьому поряд із законом збереження енергії доводиться все ж використовувати другий закон Ньютона. Однак і в цьому випадку можна вирішити задачу, не знаючи залежності F(t).

2. Підкреслимо, що закон збереження механічної енергії можна застосовувати до системи тіл, які взаємодіють, при одночасному виконанні наступних умов:

а) система повинна бути замкненою(закон застосуємо й для систем, на які діють зовнішні сили, у тому випадку, якщо їхня сумарна робота дорівнює нулеві, тобто );

б) всередині системи повинні бути відсутніми сили тертя (крім сил тертя спокою) і сили непружних деформацій, тому що інакше, механічна енергія системи буде розсіюватися, перетворюючись у внутрішню енергію.

3. Якщо тіло (або система тіл) рухається під дією сили ваги, його не можна вважати ізольованим. У цьому випадку ізольованою системою, до якої можна застосовувати закон збереження енергії буде система тіло — Земля. Однак, при цьому розглядаючи енергію Землі, ми практично не помилимося, так як:

а) саме поняття потенціальної енергії тіла в поле тяжіння Землі припускає енергію взаємодії тіла й Землі, і вже тому характеризує енергію всієї системи, а не одного тіла;

б) зміною кінетичної енергії Землі в результаті її взаємодії з падаючим тілом можна знехтувати (легко показати, що кінетична енергія, яку одержують тіла в результаті їх взаємодії, обернено пропорційна масам тіл). Тому при вирішенні задач на рух тіла (або системи тіл) у полі тяжіння Землі не розглядають ні потенціальну, ні кінетичну енергію Землі.

4. Вибір нульового рівня відліку висоти h, що входить у формулу (6) потенціальної енергії піднятого тіла, довільний. При зміні нульового рівня на величину ∆h в обох частинах рівняння, що виражає закон збереження енергії, з’явиться той самий член mg∆h, що, зрозуміло, не вплине на рішення задачі. Звичайно за нульовий рівень приймають саме нижнє положення тіла, що рухається.

Якщо потенціальна енергія якого-небудь тіла системи не змінюється, то, згідно з рівнянням, що виражає закон збереження енергії для системи, цю енергію взагалі можна не розглядати.

Спільне застосування законів збереження

1. Сюди відносяться в основному задачі на пружний удар або іншу взаємодію тіл, що представляють собою замкнену систему, коли відсутні сили тертя й сили непружних деформацій і коли в тілі у результаті взаємодії змінюються швидкості. При цьому зберігаються як імпульс, так і енергія системи, що дає два рівняння, які дозволяють визначити, наприклад, швидкості обох тіл після взаємодії, якщо відомі швидкості до взаємодії.

2. У випадку непружного удару залишкові деформації тіл, що виникають, завжди супроводжуються частковим або повним переходом механічної енергії у внутрішню енергію (тіла нагріваються). Тому механічна енергія системи не зберігається. Тоді енергія, що витрачена на деформацію, визначається як різниця між початковими і кінцевими значеннями механічної енергії системи.

3. За допомогою спільного застосування законів збереження повної (а не тільки механічної) енергії й імпульсу, вирішуються різні задачі.