Приклади розвязування задач.

Приклад 1. Невелике тіло зсковзує з висоти h пo похилому жолобу, що переходить в «мертву петлю» радіуса R (рис. 1). На якій висоті h' випаде тіло з петлі? Тертям знехтувати.

Розв’язання.

Рис. 1.

Спочатку з’ясуємо, чому, рухаючись уздовж петлі, тіло може відірватися від неї. На тіло в довільний момент часу його руху нагору по петлі діють дві сили (рис. 1): сила ваги mg і сила тиску N петлі, що спрямована по радіусу до центра кола. За другим законом Ньютона

(1)

Направимо осі проекцій Ох і Оу по векторах нормального й тангенціального прискорень і, тобто по радіусу та дотичній до кола. Враховуючи, щоі, одержимо замість (1) два скалярних рівняння для осей Ох і Оу відповідно:

(2)

(3)

Так як при русі вгору по петлі величина зростає, a спадає, то величина у рівнянні (2) повинна теж спадати. При перетворенні N у нуль тіло відірветься від петлі.

Прийнявши N = 0, перепишемо, скорочуючи величину т, рівняння (2) і (3) для моменту відриву тіла від петлі:

(2')

(3')

У систему (2') і (3') явно не ввійшла шукана величина h', проте вона досить просто пов’язана з кутом. Як видно із рисунка,

(4)

Тому було б досить знайти величину . Однак знайти її із системи (2'), (3') неможливо, тому що ця система містить більше двох невідомих.

Вичерпавши можливості, які дає другий закон Ньютона для тіла, що рухається вздовж петлі, скористаємося законом збереження енергії. Так як тертя відсутнє отже, на тіло діють тільки потенціальні сили, то повна механічна енергія тіла (точніше: замкненої системи тіло – жолоб – Земля) під час його руху буде зберігатися.

У початковий момент часу тіло має тільки потенціальну енергію . У момент відриву тіла, що рухається зі швидкістю його повна енергія . Прирівнявши за законом збереження енергії величини W₁ і W₂, одержимо

(5)

Тепер з (2'), (4) і (5) легко знайдемо відповідь:

(6)

Зауваження:

1) Ми вирішили задачу, не використавши рівняння (3), що виражає другий закон Ньютона для дотичного до кола напрямку. У задачах на рух по колу у вертикальній площині закон збереження енергії по суті заміняє диференційне рівняння (3), тому його складати взагалі не треба.

2) Цікаво відзначити, що тіло випаде з петлі не при будь-яких значеннях h. Дійсно, так як h' не може бути більше 2R і менше R (при h' < R, навіть повністю втративши швидкість, тіло, не відриваючись від петлі, почне сковзати назад), тобто h'_max = 2R і h'_min = R, то, підставивши ці значення h' в (6), одержимо: h_max = 2,5R, h _min = R. Отже, при h > 2,5R і h < R тіло з петлі не випаде.

Приклад 2. При пружному ударі нейтрона об ядро вуглецю він рухається після удару в напрямку, що перпендикулярний початковому. Зважаючи на те, що маса М ядра вуглецю в п = 12 разів більше маси т нейтрона, визначити, у скільки разів зменшується енергія нейтрона в результаті удару.

Розв’язання.

Рис. 2.

Введемо позначення: – швидкість нейтрона до удару,– після удару;– швидкість ядра вуглецю після удару (до удару вона дорівнює нулю).

Внаслідок пружного удару імпульс та енергія, якими володів нейтрон, до удару, розподіляються між двома частинками. При цьому за законами збереження імпульсу та енергії відповідно маємо:

(1)

(2)

За умовою потрібно знайти відношення

Для виконання розрахунків необхідно перейти від векторної форми запису рівняння (1) до скалярної. Це можна зробити, застосувавши метод проекцій, що неодноразово використовувався. Однак у цьому випадку можна зробити простіше. Зобразимо на рисунку імпульси , і їхню векторну суму , з огляду на те, що кут між векторамиідорівнює(рис. 2). Із трикутника імпульсів маємо

(3)

Почленно розділивши рівняння (2) на т і (3) на т² і з огляду на умову , одержимо:

(4)

(5)

Щоб виключити із системи , розділимо почленно (5) на (4):

,

а чисельник та знаменник отриманого співвідношення – на , тоді знаходимо

Звідси

= 1,2.

Приклад 3. Молот масою m = 5 кг, рухаючись зі швидкістю = 4 м/с, ударяє по металевому предмету, що лежить на ковадлі. Маса ковадла разом з предметом дорівнюєМ = 95 кг. Враховуючи те що удар є абсолютно не пружним, визначити енергію, що витрачається на ковку (деформацію) предмету. Чому дорівнює ККД процесу ковки за таких умов?

Розв’язання.

Спочатку обгрунтуємо можливість використання законів збереження для вирішення даної задачі. Строго кажучи, система молот–предмет–ковадло не є замкнутою. На неї діють ззовні сила тяжіння та сила опори N на якій стоїть ковадло. Під час удару молота друга сила, в тій або іншій мірі, що визначається пружними властивостями опори, буде перевищувати першу силу та до розглянутої системи буде прикладена ззовні рівнодійна

.

Однак сили ударної взаємодії тіл досить великі. Очевидно, умова задачі припускає, що в порівнянні із цими силами величиною R можна зневажити, і, таким чином, вважати систему замкнутою.

За законом збереження енергії можна стверджувати, що енергія, яка витрачається на деформацію предмету дорівнює різниці значень механічної енергії системи до й після удару. Так як, під час удару змінюється тільки кінетична енергія тіл (незначним переміщенням тіл по вертикалі за час удару ми знехтуємо), то одержимо для енергії деформації

де – загальна швидкість всіх тіл системи після непружного удару. Її знайдемо на основі закону збереження імпульсу:

(2)

Підставивши у формулу (1) значення з рівняння (2), одержимо відповідь на перше питання задачі:

(3)

Так як енергія, що витрачається на кування виробу, є за змістом задачі корисною, то ККД процесу кування

(4)

Підставивши числові значення заданих величин у формули (3) і (4) і зробивши обчислення, одержимо:

= 38 Дж, = 0,95.

З (4) видно, що ККД процесу кування тим більше, чим більше маса ковадла в порівнянні з масою молота. При .