§ 5.Математична обробка результатів фізичних вимірювань.

§ 5-1. Про точність вимірювань і обчислень.

1. Проводячи непрямі вимірювання, слід мати на увазі те, що відносна похибка кінцевого результату складається з відносних похибок прямих вимірів величин, які входять в робочу формулу. Необхідно пам’ятати, що точність вимірювання всіх величин, одержаних в результаті прямих вимірювань, повинна бути одного порядку.

2. Якщо яка-небудь фізична величина входить в робочу формул в деякій степені (n>1), то в цьому випадку необхідно збільшити точність вимірювання цієї величини, так як відносна похибка прямого вимірювання пропорціональна показнику степені даної величини.

3. Проводячи обчислення, недоцільно прагнути до того, щоб точність обчислень шуканої величини, що одержується безпосередньо з досліду, перевищувала точність самих вимірювань. Точність обчислень результату вимірювань повинна відповідати точності самих вимірювань.

4. Слід також пам’ятати, що фізичні величини, які мають невеликі розміри, вимірюють особливо точно.

5. Треба зважати на те, що точність результату залежить від точності експериментальних даних і табличних величин, що входять в розрахункову формулу, а тому неможливо збільшити точність результату шляхом одержання великого числа десяткових знаків при обчисленні.

§ 5-2. Про наближені обчислення.

Проводячи математичну обробку експериментальних результатів, маємо справу з наближеними числами. Звідси виникає необхідність застосування правил наближених обчислень:

1. При виконанні математичних операції над наближеними числами треба їх округляти, залишаючи стільки значущих цифр, скільки їх має найкоротше із них, тобто до розряду найменш точного числа, залишаючи в числах одну запасну цифру в проміжних операціях. Це дає змогу цілком правильно округлити кінцевий результат, в якому “запасну” цифру відкидають.

2. При додаванні і відніманні наближених чисел кінцевий результат слід округляти так, щоб у ньому не було значущих цифр у тих розрядах, яких немає хоч би в одному з наближених чисел.

Наприклад: 5,962+2,49+7,164+6,147=21,78321,78

3. При множенні і діленні наближених чисел в кінцевому результаті слід залишити стільки значущих цифр, скільки їх є в наближеному числі з найменшою кількістю значущих цифр:

Наприклад:

3. При обчисленні квадратного кореня в кінцевому результаті слід залишати стільки значущих цифр, скільки їх має підкореневе наближене число.

Наприклад:

Як відомо, значущими цифрами називаються всі цифри числа, крім “0”, що стоять попереду числа і нулі, поставлені замість цифр, відкинутих при округленні.

Виконуючи наближені обчислення, доцільно користуватися звичайним мікрокалькулятором або мікрокалькулятором з програмним обчисленням.

§ 5-3. Математична обробка кінцевого результату фізичних вимірювань.

1. Абсолютна похибка прямих і непрямих вимірювань округляється до першого відмінного від “0” розряду (перша цифра зліва), тобто х записується з однією значущою цифрою.

Наприклад:

2. Середнє арифметичне значення вимірювання фізичної величини округляється до того самого розряду, що й абсолютна похибка вимірювання. Останній знак кінцевого результату повинен бути на такому розряді, на якому знаходиться перша значуща цифра його абсолютної похибки.

Наприклад:

3. Відносна похибка вимірювань визначається з двома значущими цифрами.

Наприклад:

4. В деяких випадках кінцевий результат доцільно записувати в нормалізованому вигляді:

де n – порядок числа.

Наприклад: густина речовини

§ 5-4. Використання довідкових таблиць.

§ 5-4а. Обчислення абсолютної похибки табличних величин.

Часто в робочу формулу, крім вимірюваних величин, входять фізичні величини, значення яких беруться з довідкових таблиць. Наприклад: прискорення вільного падіння, число π, густина, питома теплоємність, в’язкість і т.п.

Так як в числових значеннях величин, наведених у таблицях, залишені тільки вірні знаки, то абсолютна похибка табличних величин не може перевищувати половини одиниці останньої значущої цифри цього числа.

Наприклад: якщо прискорення вільного падіння g=9,81 м/с, том/с;π=3,14, то

Питома теплоємність міді С=395 Дж/кг К; С=0,5 Дж/кг К.

Густина води при

У деяких таблицях дається залежність двох фізичних величин, одна з яких вимірюється безпосередньо. Наприклад, залежність густини води від температури, температури кипіння – від тиску і т.д. Абсолютна похибка такої величини зумовлена похибкою вимірювання аргументу. Наприклад, температура води Необхідно визначити густину води і її абсолютну похибку. Згідно таблиць маємо:

При кг/м

кг/м

кг/м

Знаходимо середню швидкість зміни функції:

кг/мК

Тоді абсолютна похибка приймає вигляд:

997,8 0,2 кг/м.

§ 5-4б. Метод лінійної інтерполяції.

У деяких випадках у таблицях немає значення аргументу, для якого знаходять функцію, а є більше чи менше її значення. Визначення функції в цьому випадку проводиться методом інтерполяції.

Лінійна інтерполяція використовується в тому випадку, якщо шукана функція є лінійною.

Наприклад: необхідно визначити коефіцієнт поверхневого натягу води при температурі У таблиці є наступні залежності:

Н/м

Н/м

Знаходимо швидкість зміни функції:

Н/м К

Тоді значення функції знаходиться по формулі:

Н/м.

Якщо температура вимірюється з точністю до , то абсолютна похибкаН/м.

Кінцевий результат: Н/м.

§ 5-5. Графічний метод зображення результатів експерименту.

У ряді випадків результати фізичних вимірювань зображають графічно, що дає можливість більш наочно представити результати, тобто залежність функції Y(x). Наприклад, залежність густини або в’язкості від температури .

Для побудови графіка, виходячи з результатів прямих вимірювань або розрахунків на координатній площині, наносяться експериментальні точки. Графік доцільно будувати на міліметровому папері, раціонально вибирати масштаб, помічаючи, що експериментальна крива має бути не дуже крутою і не дуже пологою і ,по можливості, повинна бути використана вся координатна площина. На координатних осях треба вказувати не тільки величини, що відкладаються, а й одиниці їх виміру.

Після нанесення експериментальних точок на графіку будують так зване поле «поле похибок», тобто в масштабі відкладають вліво і вправо від експериментальних точок абсолютні похибки аргументу , а вгору і вниз – абсолютні похибки вимірювання шуканої величини Y. Потім будують прямокутник зі сторонамих і2Y, всередині яких і перебувають справжні дані вимірюваної величини. Внаслідок наявності похибок вимірювань, спостерігається деякий розкид експериментальних точок. Тому необхідно провести плавну криву так, щоб вона проходила як найближче до всіх точок, тобто щоб точки розміщались рівномірно по обидва боки від кривої, а сама крива проходила через поле похибок експериментальних точок. Якщо окремі точки значно відхиляються від експериментальної кривої, то це може свідчити про великі похибки вимірювання або явні промахи. Це, в свою чергу, вказує на потребу підвищити в цих інтервалах якість вимірювання.

Точки перегину, максимуму, мінімуму на експериментальних кривих відповідають якісним змінам в досліджуваному фізичному процесі. В областях, близьких до цих точок, слід проводити вимірювання значно частіше.