Лабораторна робота № 12 Визначення моменту інерції та модуля зсуву тонкої дротини

Мета роботи:

а) вивчення динамічних характеристик та законів оберто­вого руху твердого тіла;

б) вивчення деформації кручення;

в) визначення моменту інерції твердого тіла в формі прямокутного паралелепіпеда;

г) визначення модуля зсуву стального дроту.

Прилади та матеріали:

експериментальна установка для визначення моменту інерції та модуля зсуву твердого тіла, тягарці, мікрометр, штанген­циркуль, масштабна лінійка, технічні терези з важками.

Короткі теоретичні відомості

Рух твердого тіла відносно нерухомої осі описується основним законом динаміки обертового руху:

І ‑ момент інерції тіла відносно осі обертання;

М ‑ результуючий момент сил, що діють на тіло;

ε ‑ кутове прискорення.

Момент інерції твердого тіла відносно осі обертання – скалярна величина, що визначається сумою добутків мас точок, з яких складається тіло, на квадрат їх відстані від осі обертання:

Момент інерції – це кількісна міра інертності твердого тіла при обертовому русі.

Деформація зсуву виникає в тому випадку, коли до поверхні тіла прикладена дотична сила, під дією якої шари тіла зміщуються один відносно іншого. При незначних зміщеннях має місце закон Гука для деформації зсуву: тангенціальна (дотична) напруга, що виникає в тілі при деформації зсуву прямо пропорційна кутові зсуву:

,

де , аG – фізична величина, що характеризує деформацію зсуву і чисельно дорівнює напрузі, що виникає в тілі при tgφ = 1 (рис.18а).

При деформаціях кручення дроту (стержня) також відбувається зміщення одних шарів дроту відносно інших в напрямі дотичної до поверхні тіла, тобто деформацію кручення можна звести до дефор­мації зсуву.

Якщо тіло, яке підвішене на дротині, повернути на незначний кут α відносно осі обертання, що співпадає з дротом і відпустити, то під дією пружних сил тіло прийде в коливальний рух.

У лабораторній роботі досліджують крутильні коливання прямо­кутного паралелепіпеда масою m і лінійними розмірами – а, б, с.

Введемо декартову систему координат OXYZ, яка зв`язана з тілом так, щоб осі координат проходили через середини протилежних граней паралелепіпеда (рис.18б). Момент інерції ,,відносно осей координат називають головними моментами інерції і відповідно рівні:

Момент інерції відносно будь-якої прямої l, що проходить через центр симетрії, визначається з формули:

,

де cosα, cosβ, cosγ - направляючі косинуси прямої l.

Два з трьох головних моментів інерції мають екстремальне значення (тобто мінімальне або максимальне), останні – проміжне значення.

В даній роботі тіло закріплюють в рамці, яка, в свою чергу закріплюється за допомогою двох вертикальних дротин. Сила тяжіння тіла компенсується силою натягу дроту, моменти цих сил відносно дроту (осі обертання) рівні 0 і тому не впливають на рух тіла. При повороті тіла відносно дроту на незначний кут, в дроті виникає момент пружних сил: M = – cα, де с – модуль кручення дроту, чисельно дорівнює моменту пружних сил, що відповідає куту відхилення 1 рад.

Динамічне рівняння крутильних коливань матиме вигляд:

І= – cα або

З останнього рівняння випливає, що період коливань визна­чається з формули:

Звідки:

Момент інерції крутильного маятника:

І = І₀ + І_m,

де І₀ ‑ момент інерції крутильного маятника без прямокутного паралелепіпеда;

І_m ‑ момент інерції досліджуваного тіла.

Тоді:

,

де T₀ ‑ період коливань установки без тіла.

З другого боку:

,

де r, l ‑ радіус і довжина дротини;

G ‑ модуль зсуву

Тоді:

Розрахункові формули:

Опис експериментальної установки

Прилад складається з вертикального стояка 6, на якому вста­новлені кронштейн 3,4. На кінцях кронштейнів 3 і 4, розміщені затискачі для закріплення стальної дротини з рамкою 1 (рис.19).

На кронштейні 4 закріплена стальна пластина 7, на якій розмі­щений фотоелектричний датчик 9, електромагніт 5 і кутова шкала 2.

Положення електромагніту відносно фотоелектричного датчика можна змінювати відносно показника на шкалі.

Методика виконання роботи

1. Вибрати осі, відносно яких досліджуване тіло буде здійснювати крутильні коливання.

2. Закріпити досліджуване тіло в рамці приладу.

3. Натиснути кнопку «СЕТЬ».

4. Встановити електромагніт в заданому положенні і зафіксувати його.

5. Натиснути і відпустити кнопку «ПУСК».

6. Повертаючи рамку з тілом, підвести стрілку рамки до електро­магніту і зафіксувати її положення.

7. Натиснути кнопку «СБРОС», а потім кнопку «ПУСК».

8. Після здійснення не менше ніж ( n – 1 ) повних коливань, натиснути кнопку «СТОП» (n = 10).

9. Згідно результатів вимірювання часу коливань t_X, t_Y, t_Z, що відповідає положенню тіла на різних осях коливань, обчислити період коливань T_X, T_Y, T_Z для кожного випадку.

10. Провести аналогічні вимірювання і обчислення для коливальної системи без тіла.

11. Провести вимірювання маси досліджуваного тіла, його лінійних розмірів, діаметра та довжини дротини.

12. Всі вимірювання провести тричі.

13. Згідно робочих формул обчислити головні моменти інерції тіла і модуль зсуву дротини.

14. Обчислити похибку результату.

Контрольні запитання

1. Сформулювати основний закон динаміки обертового руху твердого тіла.

2. Пояснити фізичний зміст основних динамічних характеристик обертового руху (момент інерції, момент імпульсу твердого тіла, момент сили).

3. Що називають деформацією зсуву? Які фізичні величини її ха­рактеризують?

4. Сформулювати закон Гука для деформації зсуву.

5. Фізичний зміст модуля зсуву та модуля кручення.

6. Записати і пояснити диференціальне рівняння крутильних коливань.

7. Вивести робочу формулу.

Рис. 18б