§ 2. Похибки фізичних вимірювань та їх класифікація.
2-1. Абсолютна і відносна похибки.
При будь – якому фізичному вимірюванні, завдяки ряду причин як об’єктивних, так і суб’єктивних, неможливо знайти абсолютно точне значення вимірюваної величини, тобто завжди неминучі похибки вимірювання.
Причиною цих похибок є недосконалість вимірювальних приладів і методів вимірювання, обмежені можливості наших органів чуття та інші причини.
Удосконалюючи вимірювальні прилади та методи дослідження, а також глибше аналізуючи фізичні явища, можна підвищити точність вимірювань. Але повністю уникнути похибок вимірювання принципово неможливо.
Завданням фізичного експерименту є не тільки одержання найточнішого значення вимірюваної величини, а й оцінка похибки вимірювання.
Похибка вимірювання – це величина, що характеризує відхилення вимірюваної фізичної величини від її дійсного (істинного) значення. Дійсне (істинне) значення вимірюваної фізичної величини – це її значення, одержане за допомогою зразкового (еталонного) приладу.
За змістом і критерієм оцінки точності вимірювання похибки поділяються на абсолютні і відносні.
Як відомо, завдяки ряду причин неможливо визначити справжнє значення вимірюваної фізичної величини. В лабораторній практиці за справжнє значення фізичної вимірюваної величини слід прийняти середнє арифметичне результатів окремих вимірів даної величини.
Нехай в результаті рівноточних вимірювань однієї і тієї ж фізичної величини, справжнє значення якої x, одержана послідовність наближених чисел:
x1 , x2 , …xі , …xn
Тоді середнє арифметичне значення цієї величини
,
де xi – числове значення окремого виміру.
Чим більш зроблено вимірів, тим ближче середнє арифметичне значення до істинного значення вимірюваної величини.
Абсолютна похибка – це абсолютна величина різниці середнього значення вимірюваної величини і результату окремого виміру:
Відносна похибка прямого вимірювання – це відношення абсолютної похибки до середнього арифметичного значення вимірюваної величини :
Абсолютна похибка вказує межі, між якими знаходиться істинне значення вимірюваної величини:
,
або
Знати цей інтервал потрібно для того, щоб можна було визначити кількість вірних знаків в кінцевому результаті вимірювань.
Знак
означає, що похибка вимірювання може
бути допущена як в бік збільшення, так
і в бік зменшення відносно середнього
значення вимірюваної величини.
Звичайно, абсолютні похибки не повністю характеризують якість вимірювання. Важливим в оцінці якості вимірювання є не саме величина похибки, а те, яку частину вимірюваної величини вона становить.
Наприклад, коли кравець помиляється на 1мм в довжині вашого одягу, ви цього не помітите, а коли наборщик в типографії помилиться на 1мм у постановці букв, то це буде очевидною похибкою. Ось чому для оцінки якості вимірювання і служить відносна похибка.
2-2. Класифікація похибок вимірювання.
В залежності від походження, від закономірностей прояву похибки вимірювань поділяються на три класи: систематичні, випадкові та промахи.
2-2а. Систематичні похибки.
Систематичні похибки – це похибки вимірювання, що зв’язані з дією незмінних за величиною і напрямом факторів, тобто похибки, величина і знак яких від досліду до досліду зберігаються або змінюються закономірно.
За своїм походженням систематичні похибки поділяються на групи:
Похибки методу вимірювання, де не враховано деякі фактори, що впливають на результат вимірювання (наприклад, зважування речовини, що легко випаровується у відкритій посудині; не враховано зменшення ваги в повітрі за законом Архімеда при зважуванні тіл та ін.).
Яскравим прикладом критичного оцінювання похибки метода вимірювання електричного опору за допомогою амперметра і вольтметра.
Як
відомо, електричний опір можна визначити
згідно формули:
Прямі вимірювання проводимо за допомогою електричних схем:
(сх.1) (сх.2)
Згідно представлених на рисунках схем, включений в електричне коло амперметр (сх.1) вимірює не силу струму в резисторі R, а суму струмів в резисторі та вольтметрі, а вольтметр (сх.2) вимірює напругу не на резисторі R, а дільниці, в яку входить і резистор, і амперметр. В залежності від величини опору резистора R, вибирається та схема, яка забезпечує менше значення похибки вимірювання. Як показують розрахунки, для невеликих значень опору менша похибка одержується при включенні приладів згідно першої схеми, а при вимірюванні великих опорів більш коректною являється друга схема.
Похибки вимірювальних приладів та інструментів – це похибки мір і вимірювальних приладів, а також похибки, що виникають внаслідок спрацювання, старіння та зіпсованості засобів вимірювання.
Похибки відліку – це похибки, що виникають внаслідок невірного округлення показань вимірювальних приладів до заданої точності, а також внаслідок похибки на паралакс.
Відлік показань проводять по шкалі наступним чином. Якщо стрілка приладу зупинилась у проміжку між поділками шкали, то за результату відліку приймають ту поділку, до якої стрілка ближче. В цьому випадку за результат відліку може бути прийнято середину інтервалу між поділками шкали, незалежно від того де знаходиться стрілка приладу.
Похибка на паралакс – це похибка, що виникає внаслідок невірного положення ока спостерігача відносно шкали приладу при відліку.
Правильний відлік можна зняти тоді, коли спостерігач орієнтує око в напрямі перпендикуляра до шкали приладу, що проходить через кінець стрілки. Похибки на паралакс можна уникнути, застосовуючи дзеркальні шкали (електровимірювальні прилади та ін.). Вірний відлік можна зняти в тому випадку, коли кінець стрілки закриє своє зображення у дзеркалі шкали приладу.
4. Похибки, зумовлені одностороннім впливом зовнішніх умов (тиск, температура, вологість та ін.).
Внаслідок зміни тиску, температури та інших зовнішніх факторів змінюються фізичні та геометричні характеристики приладів, досліджуваних тіл, а тому – і покази приладів. Наприклад: геометричні розміри твердих тіл, в’язкість, густина, поверхневий натяг, електричний опір істотно залежать від температури. Вимірювання, проведені на початку експерименту, будуть відрізнятися від вимірів, проведених у кінці досліду. Для того, щоб уникнути цієї похибки, необхідно вимірювання проводити симетрично відносно середини експерименту.
5. Похибки, пов’язані з невірною установкою приладів.
Як відомо деякі прилади вимагають установки вертикального, а інші – горизонтального положення (наприклад: терези, електровимірювальні прилади та ін.). Якщо в лабораторній роботі вимірювальний прилад встановлено невірно, то результат вимірювання буде спотворений, а похибка залишиться неврахованою. Перед початком досліду необхідно ліквідувати цю похибку.
6. Похибка “0” приладу, пов’язана з неточною установкою початку відліку ( наприклад: мікрометр, терези, електровимірювальні прилади та ін.).
Перед кожним виміром необхідно перевірити, а при необхідності встановити “0” приладу. Якщо ця операція не вдається, то враховують поправку на “0” приладу.
7. Похибка “мертвий хід”, зумовлена невірним користуванням приладами, що мають мікрометричні гвинти (катетометр, гоніометр, мікрометр та ін.).
Наприклад. Мікрометр конструктивно виконаний таким чином, що вимірювання проводиться обертанням мікрометричного гвинта тільки в одному напрямі – за годинниковою стрілкою. В цьому випадку можливі істотні похибки вимірювання внаслідок “мертвого ходу” гвинта. Ці похибки пов’язані з різним тиском, який вимірювальні площини приладу чинять на поверхню вимірюваного тіла. Цей тиск визначається силою, з якою експериментатор повертає мікрометричний гвинт приладу. Для ліквідації подібної похибки мікрометр має гвинт – тріскачку. Якщо мікрометричний гвинт обертати за гвинт-тріскачку, то тиск, що чинить мікрометр на поверхню тіла, завжди однаковий. При збільшені цієї сили гвинт-тріскачка проковзує, при цьому чути характерний тріск. Гвинт – тріскачку перестають повертати після третього оберту. Ця умова забезпечує постійний тиск на поверхню досліджуваного зразку при будь-якій кількості повторних вимірів.
Отже, систематичні похибки можна розділити на декілька груп:
Похибки, природа і величина яких відома. Їх можна врахувати за допомогою введення відповідних поправок безпосередньо в результат прямого вимірювання (наприклад, поправка на «О» приладу, поправка на «втрату» ваги тіла при зважуванні його на терезах в повітрі і т.д.).
Похибки відомого походження, але невідомої величини (наприклад, неточне градуювання шкали приладу і т.п.). Такі похибки характеризуються певною граничною похибкою, яка називається інструментальною похибкою або похибкою приладу.
Похибки, про існування яких експериментатор навіть не підозрює, хоча величина її може бути значною (наприклад похибка, що виникає при визначенні густини речовини, якщо в середині досліджуваного зразка мається неоднорідність). Такі похибки виявити не завжди можливо.
Похибки, які зумовлені наближеним характером методу вимірювання або обчислення (наприклад, часто нехтують тертям, опором з’єднувальних провідників і т.д.).
Таким чином, систематичні похибки можна зменшити або усунути, удосконаливши метод вимірювання і уточнивши теорію відповідного явища, удосконаливши засоби вимірювання, своєчасно перевіряючи їх та вносячи відповідні поправки, а також підвищуючи уважність експериментатора в процесі вимірювання.
§ 2-2б. Випадкові похибки.
Випадкові похибки – це похибки, які при визначенні будь-якої фізичної величини змінюють випадково свою величину і знак при повторних вимірах без усякої видимої закономірності.
Випадкові похибки можуть бути зумовлені:
Недосконалістю засобів вимірювання (низка чутливість, неточність вимірювальних приладів);
Недосконалість наших органів чуття (головним чином гострого і якісного зору та слуху);
Випадковою дією зовнішніх факторів.
Випадкові похибки виникають внаслідок великої кількості одночасно діючих причин, характер і розмір впливу яких на результат вимірювань з часом не змінюється. Таким чином, випадкові похибки виявляються в різниці результатів окремих вимірів однієї і тієї ж величини.
Багаторазове повторення досліду дає можливість зменшити вплив випадкових похибок на кінцевий результат. Уникнути повністю випадкових похибок неможливо. Випадкові похибки вимірювання підлягають статистичним закономірностям. Кількісна оцінка випадкових похибок розглядається в теорії похибок, математичною основою якої являється теорія ймовірностей.
Слід мати на увазі і такий тип похибок, як промахи. Промахи – це грубі похибки вимірювання, які істотно перевищують очікувану похибку при певних умовах, тобто це грубі, очевидні похибки вимірювання, що зумовлені різними упущеннями, чи недоглядом або неуважністю експериментатора (неправильний відлік по приладу, неправильне вмикання приладів та ін.). Грубі похибки можуть стати проявом раптової зміни умов вимірювання: зміна напруги в мережі, зміна температури вологості та ін. До грубих похибок належать також звичайні помилки при вимірюванні та запису результатів вимірювань, які обов’язково необхідно заносити в таблицю дослідження.
При обчисленні вимірювальних величин такі помилкові дані слід відкинути і виконати повторні вимірювання. Таким чином, триразове повторення досліду – це той обов’язковий мінімум кількості повторних вимірювань, який необхідно провести, щоб перевірити хоча б один раз вимірювання і, таким чином, уникнути промаху.
Слід відзначити, що поділ похибок на систематичні і випадкові носить умовний характер, тому що в одних випадках одні й ті самі похибки розглядають як випадкові, а в інших – як систематичні. Наприклад, серія вимірювань, проведених при однаковій температурі матиме систематичну похибку, яка з’являється внаслідок того, що не враховується (або враховується невірно) температурна поправка. Але з другого боку в серії вимірювань, проведених при різних (незафіксованих) температурах, ті самі похибки будуть носити випадковий характер.
Промахи, тобто грубі похибки, інколи відносять до випадкових похибок, але їх характер суттєво відрізняється від характеру випадкових похибок вимірювання.