Лабораторна робота № 13 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного і оборотного маятників

Мета роботи:

а) ознайомлення з математичним, фізичним і оборотним маятниками;

б) вивчення теореми Штейнера;

в) визначення прискорення вільного падіння за допомогою маятників.

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо випадок руху твердого тіла навколо нерухомої осі, коли момент зовнішніх сил зумовлений дією сили тяжіння. Якщо центр інерції тіла лежить в точці В (рис. 20а), то у відповідності з основним законом динаміки обертового руху – момент сили тяжіння відносно горизонтальної осі обертання, яка проходить через точку О,

(1)

де l ‑ відстань від осі обертання до центру інерції В (ОВ);

α ‑ кут між вертикаллю і лінією, яка проходить через вісь обертання і центр інерції.

Знак «мінус» в формулі (1), пояснюється тим, що момент сили тяжіння намагається повернути виведене з положення рівноваги тіло (наприклад, якщо тіло відхилити від вертикалі проти часової стрілки на кут α, то момент сили тяжіння буде повертати його по часової стрілці). Під дією моменту М тіло буде здійснювати коливальні рухи відносно осі О. Тверде тіло буде здійснювати коливання відносно нерухомої осі (або точки), яка не співпадає з його центром інерції, називається фізичним маятником.

Позначимо кутове прискорення , запишемо для фізичного маятника рівняння динаміки обертального руху:

, (2)

де І ‑ момент інерції фізичного маятника відносно даної осі обертання;

‑для малих кутів α.

Для математичного маятника аналогічне рівняння моментів має вигляд:

або

(3)

Вирази (2), (3) є диференціальними рівняннями гармонічних коливань. Причому коефіцієнт при α виражає квадрат циклічної частоти, тому періодТ коливань фізичного маятника виражається формулою:

, (4)

а математичного

(5)

Фізичний маятник характеризується приведеною довжиною l_пр, це така довжина математичного маятника, у якого період коливань співпадає з періодом коливань математичного маятника.

Із формул (4), (5) слідує:

(6)

Використовуючи теорему Штейнера, згідно з якою момент інерції тіла відносно довільної осі рівний сумі моментів інерції відносно паралельної осі, яка проходить через центр інерції J₀ і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями l²:

(7)

Підставимо (7) в (6), одержимо:

Так, як , то

Точка О (рис. 20б) відносно якої коливається фізичний маятник, називається точкою підвісу. Точка О лежить на прямій, яка проходить через точку підвісу і центр інерції В і яка віддалена від точки підвісу на відстань приведеної довжини, називається точкою (центром) коливання фізичного маятника. Якщо перевернути фізичний маятник на 180° і взяти за точку підвісу точку качання О, то приведена довжина перевернутого маятника буде рівна (рис. 20б):

,

де I₂ ‑ момент інерції фізичного маятника відносно осі, яка проходить через т.О.

По теоремі Штейнера

(9)

Із рис.20б слідує, що

(10)

Враховуючи формули (8), (9), (10) маємо:

.

Як слідує із формул (6), (7)

Тоді l_пр2 = l_пр ‑ приведені довжини маятника в прямому і перевернутому положеннях однакові,

тоді будуть однакові і періоди коливань

звідки

(11)

Формула (11) дозволяє експериментально визначити приско­рення сили тяжіння, досліджуючи коливання оборотного маятника.

Опис експериментальної установки

Загальний вигляд універсального маятника для вимірювання земного прискорення зображено на рис.21.

Станина 2 має ніжки 3, за допомогою яких вирівнюється прилад, на підставці закріплена колонка 3, на який знаходиться верхній кронштейн 10 і нижній 5 з фотоелектричним датчиком 6. Верхній кронштейн 10 може повертатись на колонці, закріплення якого проводиться за допомогою гвинта 9.

З однієї сторони кронштейна 10 знаходиться математичний маятник 4, з другого – на вмонтованих підшипниках – оборотний маятник 7. Оборотний маятник виконаний у вигляді стального стержня, на якому вмонтовано дві повернуті один до одного упорні призми і два ролика – грузи. На стержні через кожні 10 мм зроблені кільцеві прорізи для точного визначення довжини оборотного маятника. Призми і ролики можна переміщувати вздовж стержня і закріплювати в будь-якому положенні через 10 мм.

Нижній кронштейн разом з фотоелектричним датчиком можна переміщувати вздовж колонки і закріплювати в будь-якому поло­женні. Довжину математичного маятника можна регулювати за допомогою барабанчика 11, а величину визначають по шкалі на колонці.

Методика виконання роботи

1. За допомогою рухомих ніжок установити підставку 2 універсального маятника горизонтально. При цьому матема­тичним маятником можна користуватись як підвісом.

2. Увімкнути шнур в мережу 220 В, натиснути кнопку «СЕТЬ», перевірити, чи всі індикатори вимірювача показують цифру нуль і чи горить лампочка фотоелектричного датчика.

3. Для визначення земного прискорення за допомогою матема­тичного маятника, необхідно:

а) нижній кронштейн разом з фотоелектричним датчиком встановити в нижній частині колонки, щоб верхня частина кронштейна була на поділці не менше 50 см. Загвинтити гвинт, зафіксувати фотоелектричний датчик у вибраному положенні;

б) за допомогою барабанчика 11 встановити таку довжину математичного маятника, щоб риска на кульці була продов­женням риски на корпусі фотоелектричного датчика;

в) привести маятник у рух, відхиливши його на 4 - 5° від положення рівноваги;

г) натиснути кнопку «ПУСК»;

д) після відліку вимірювачем 50 коливань натиснути кнопку «СТОП»;

е) визначити період коливань математичного маятника.

4. Виміряти довжину маятника l_m і за допомогою формули (11), підставивши T = T_m і l_пр = l_m, визначити прискорення g, для знайдених T_m і l_m. Дослід повторити три рази для різних чисел коливань маятника. Знайти середнє значення g, похибку вимірювання визначити методом середнього.

5. Для визначення прискорення земного тяжіння за допомогою оборотного маятника, необхідно:

а) повернути верхній кронштейн на 180°;

б) встановити положення опорних призм, крайнього ролика вантажу, які задаються викладачем;

в) підвісити маятник на опорній призмі, яка знаходиться поблизу кінця стержня, закріпити її на вкладині верхнього кронштейну;

г) нижній кронштейн разом з фотоелектричним датчиком установити таким чином, щоб стержень маятника перетинав оптичну вісь датчика;

д) відхилити маятник від положення рівноваги на 4 - 5°;

е) натиснути кнопку «СБРОС»;

ж) після відліку вимірювачем (n – 1) повних коливань натиснути кнопку «СТОП»

з) визначити період коливань Т₀ оборотного маятника;

і) перевернути маятник на 180° і підвісити його на другій оборотній призмі;

к) нижній кронштейн з фотоелектричним датчиком пере­містити таким чином, щоб маятник перетинав оптичну вісь;

л) визначити період коливань Т₀ маятника в цьому положенні і порівняти результат з одержаним раніше значенням періоду Т_n;

м) якщо T_n < T₀, то другу опорну призму переміщуємо так, щоб збільшити відстань між призмами, якщо T_n > T₀ – зменшити відстань. Положення роликів, вантажів і першої опорної призми не змінювати;

н) положення другої опорної призми необхідно змінювати до тих пір, поки T_n і T₀ не будуть відрізнятись на величину не більше 0,5 с;

о) визначити приведену довжину оборотного маятника l_пр по кількості сантиметрових нарізок між опорними призмами;

п) по формулі (11) визначити прискорення g для знайдених значень періоду T_n = T₀ = Т і приведеної довжини l_пр;

р) дослід повторити три рази для різних чисел коливань маятника при незмінній приведеній довжині. Знайти середнє значення і обчислити похибку вимірювання.

6. Оформити звітну таблицю.

Контрольні запитання

1. Який фізичний зміст прискорення вільного падіння?

2. Що називається математичним маятником?

3. Чим відрізняється математичний маятник від фізичного?

4. Дати визначення фізичного маятника.

5. Що таке приведена довжина фізичного маятника?

6. По якій траєкторії буде рухатись кулька математичного маятника, якщо його нитку перепалити в той момент, коли кулька проходить положення рівноваги?

7. Як зміниться період коливань маятника з металевою кулькою, якщо під ним розмістити електромагніт?

8. Як необхідно перемістити чечевицю маятника при відставанні годинника?

9. Що називається оборотним маятником?

10. Дати визначення періоду гармонічного коливання.

11. Що таке момент інерції твердого тіла?

12. Сформулюйте теорему Штейнера.

13. Порівняти похибку визначення земного прискорення, одержаного за допомогою математичного та обертового маятників. Зробити висновок.

14. Вивести робочу формулу.