§ 3.Визначення похибок прямих вимірювань фізичних величин.

Метою прямого вимірювання є визначення середнього арифметичного значення вимірюваної величини, врахування поправок на систематичну похибку, обчислення випадкової похибки, похибки приладу (інструментальна похибка), похибки відліку і повної похибки прямого вимірювання.

Таким чином, в лабораторному фізичному практикумі необхідно враховувати три основні типи абсолютних похибок:

• похибка приладу - хпр;

• похибка відліку (округлення) - хвід;

• випадкова похибка - хвип.

Поправка на систематичну похибку хпопр. вноситься безпосередньо в результати окремих вимірювань або в середнє значення вимірюваної величини. Якщо величина цієї поправки значно менша будь-якої іншої похибки (не перевищує 0,1 значення цієї похибки), то нею можна знехтувати.

§ 3-1. Оцінка випадкової похибки вимірювання.

Згідно теорії похибок, яка ґрунтується на теорії ймовірності випадкові похибки підкоряються закону нормального розподілу Гауса, для якого функція густини розподілу випадкових величин виражається формулою

, де - абсолютна похибка вимірювання;- середнє арифметичне значення вимірюваної величини, що приймається найбільш ймовірним значенням вимірюваної величини;- середня квадратична похибка або середнє квадратичне відхилення окремого вимірювання:

Закон розподілу Гауса характеризує сукупність всіх можливих значень хі випадкової величини і відповідних їм ймовірностей рі= рі(хі) того, що випадкова величина приймає значення, рівне хі. Ймовірність р визначається формулою:

.

Таким чином, за допомогою закону розподілу можна визначити, з якою ймовірністю р , випадкова величина, істинне значення якої х, потрапляє в інтервал значень:

, тобто

або

Ймовірність р , з якою проводиться вимірювання, тобто ймовірність того, що значення випадкової величини потрапляє в певний числовий інтервал, називається довірною ймовірністю або коефіцієнтом надійності. Інтервал значень, в якому з заданою довірною ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини, називається довірним інтервалом або інтервалом надійності.

Як видно із малюнка, гаусова крива, що має на графіку симетричний відносно максимуму вигляд, характеризується положенням максимуму - і“шириною” довірного інтервалу 2- віддалю між точками перегину. Чим більша ширина довірного інтервалу, тим вища ймовірність потрапляння дійсного значення вимірюваної величиних до цього інтервалу. Так, в лабораторній практиці довірна ймовірність приймається рівною р=0,95, що означає, що ймовірність відхилення дійсного значення величини від положення максимуму гауссової кривої, що відповідає середньому арифметичному значенню не більше, ніж на 2(див. мал.), тобто при багаторазових вимірах похибкахіст в 45 випадках із 100 не перевищує . Теорія методу Гаусса показує, що нескінченне збільшення числа вимірювань не дає помітного збільшення точності. Тому не доцільно, а інколи і не можливо проводити велику кількість вимірювань для визначення однієї величини. Кількість необхідних вимірювань визначається співвідношенням величини інструментальної і випадкової похибок. В навчальних лабораторіях, як правило, кількість вимірів5-10. В цьому випадку для визначення випадкової похибки застосовують метод коефіцієнтів Стьюдента.

Коефіцієнт Стьюдента t_n,р дають можливість визначити, як змінюється ймовірність p в залежності від числа вимірювань n.

Таблиця коефіцієнтів Стьюдента.

p n	0,5	0,9	0,95	0,99
2	1,00	6,3	12,7	63,7
3	0,82	2,9	4,3	9,9
4	0,77	2,4	3,2	5,8
5	0,74	2,1	2,8	4,6
6	0,73	2,0	2,6	4,0
7	0,72	1,9	2,4	3,7
8	0,71	1,9	2,4	3,5
9	0,71	1,9	2,3	3,4
10	0,70	1,8	2,3	3,3

З врахуванням коефіцієнтів Стьюдента випадкова похибка результату, що визначає на півширину довірного інтервалу відносно середнього значення вимірюваної величини обчислюються за формулою:

, де, - коефіцієнт Стьюдента,

Sn – середня квадратична похибка кінцевого результату досліду. Як показує теорія похибок:

Тоді основна формула для обчислення випадкових похибок прямих вимірювань набирає вигляду:

§ 3-2. Обчислення похибки приладу.

Абсолютна похибка приладу (інструментальна похибка)xпр визначається граничною (номінальною) похибкою приладу, що, як правило, дається в його паспорті. Для одних приладів стандартами задається гранична абсолютна похибка , а для інших – гранична відносна похибка (клас точностіk).

a) Визначення абсолютної похибки по класу точності приладу.

Класом точності вимірювального приладу називається відношення граничної абсолютної похибки приладу до максимального значення вимірюваної величиниxmax і визначається в процентах:

Знак % на шкалі приладу не ставиться. Для електровимірювальних приладів можливі такі класи: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4,0.

Знаючи клас точності приладу, знаходять граничну абсолютну похибку:

Наприклад, амперметр класу точності k=0,5 розрахований на максимальну силу струму . Абсолютна похибка амперметру:

Для забезпечення необхідної точності рекомендується вибирати таку межу вимірювання приладу, граничне значення xmax якої було б близьким до значення вимірюваної величини (для електровимірювальних приладів відхилення стрілки повинно бути майже на всю шкалу).

б) Визначення інструментальної похибки приладу за його граничною абсолютною похибкою.

Гранична абсолютна похибка приладу визначається ціною найменшої поділки шкали приладу. Ціна поділки рівна різниці значень вимірюваної величини, що відповідає двом сусіднім позначкам шкали.

Прилади виготовляють таким чином, щоб їх максимальна похибка була менше ціни найменшої поділки шкали. Інструментальна похибка δxпр в цьому разі визнається рівною половині ціни найменшої поділки шкали приладу.

Приклади:

1. Вимірювальна лінійка. Ціна найдрібнішої поділки С=1 мм , мм.

2. Штангенциркуль має лінійний ноніус, за допомогою якого можна відрахувати 0,1 долі міліметра: С=0,1 мм; δх =0,05мм.

3. Мікрометр, забезпечений гвинтом, що має на барабані 50 поділок, один оберт мікрометричний гвинт якого переміщується на 0,5мм (крок гвинта) має ціну поділки:

С==0,1мм; δхпр=0,005 мм

Ця точність досягається обережним обертанням мікрометричного гвинта за допомогою тріскачки.

4. За допомогою катетометра, сферометра і компаратора ИЗА-2 можна виконувати вимірювання з точністю до 0,001 мм:

5. Ціна поділки термометрів, барометрів і т.д. визначається за шкалою приладу і похибка вимірювання дорівнює половині ціни найменшої поділки шкали приладу.

6. Похибка зважування на технічних терезах визначається чутливістю терезів – найменшим важком , що викликає помітне зміщення стрілки терезів. Тоді похибка технічних терезів:

δхпр, якщо=20мг, то δхпр=0,01 г.

7.Секундомір механічний. Абсолютна похибка приладу δхпр клас точності k задаються з довірною ймовірністю p=0,997. Це означає, що напівширина довірного інтервалу, в якому може знаходитися вимірювана величина, рівна 3δ. В навчальних лабораторіях, як було зазначено вище, обмежуються значенням Р=0,95, якому відповідає напівширина довірного інтервалу 2δ. Тому в лабораторному практикумі при обчисленні похибок приладу xпр слід брати не повну величину xпр, а тільки 2/3 від цієї величини. Отже, більш точна формула для обчислення абсолютної похибки приладу має вигляд:

xпр= δ xпр.

§3-3. Обчислення похибки відліку (округлення).

При фізичних вимірюваннях відлік показання приладів часто округлюються. В результаті виникають похибки округлення. Інтервал округлення може бути різним. Якщо відлік проводиться з точністю до цілої поділки, то інтервал округлення дорівнює ціні найменшої поділки шкали приладу; якщо відлік округлюється до половини поділки, інтервал округлення дорівнює половині ціни поділки і т.д. Максимальна похибка округлення, очевидно, не повинна перевищувати половини інтервалу округлення, т.б. величини h . Тоді для довірної ймовірності р=0,95 абсолютна похибка відліку обчислюється за формулою:

хокр = р

Приклад: довжину деякого предмета вимірюють за допомогою масштабної лінійки з міліметровими поділками. Відлік проводиться з точністю до 1мм.Тоді,

хокр = р=0,95 = 0,48 мм0,5 мм

§ 3-4. Обчислення повної похибки прямого вимірювання.

У теорії ймовірностей встановлено що похибка, зумовлена декількома незалежними причинами, визначається “квадратичним” додаванням всіх складових повної похибки.

Як відомо, в навчальних лабораторіях, крім поправок, що вводяться в результат безпосередньо, враховуються три складові похибки прямих вимірювань: випадкова похибка хвип, похибка приладу хпр і похибка відліку (округлення) хокр. Повна абсолютна похибка прямого вимірювання визначається за формулою:

Відносна похибка прямого вимірювання обчислюється за формулою:

При розрахунках всіх складових похибок довірна ймовірність приймається однаковою р=0,95. Якщо одна із складових похибок в три рази менша іншої, то її внесок в загальну суму похибок незначний і такою похибкою можна знехтувати.