III итерация

x4	0	-5/3	2/3	1	-10/3	(1/3,0,0,-10/3)
x1	1	-1/3	-2/3	0	1/3
IV итерация
x4	-5	0	4	1	-5	(0,-1,0,-5)
x2	-3	1	2	0	-1
V итерация
x4	1	-2	0	1	-3	(0,0,-1/2,-3)
x3	-3/2	1/2	1	0	-1/2

Неотрицательное базисное решение системы линейных уравнений (1,2,0,0), оно и будет опорным.

4.2. Симплексные таблицы. Нахождение начального опорного решения

Рассмотрим следующую ЗЛП:

найти решение системы X(x₁,x₂,...,x_n ), удовлетворяющее условиям

ограничений:

и неотрицательности :

при котором целевая функция:

Очевидно, что система ограничений ЗЛП приведена к единичному базису:

где базисными переменными являются x₁,x₂,...,x_r;

а переменные x_r+1,...,x_n являются свободными.

Если все b_i00, то при нулевых значениях свободных переменных, решение X₀=(b₁₀,b₂₀,...,b_r0,0,0,...,0) будет опорным.

Выразим целевую функцию через свободные переменные с помощью системы ограничений, из каждого уравнения системы найдем базисные переменные x₁,x₂,...,x_r, выразив их через свободные:

а затем подставим их в выражение для целевой функции.

Сделаем преобразования, приведем подобные члены, получим

Полученное выражение называется приведенным выражением для целевой функции f, а коэффициенты _j при свободных переменных называют оценками свободных переменных.

Так как в опорном решении свободные переменные равны нулю (x_r+1=0,x_r+2=0,...,x_n=0), то значение целевой функции равно свободному члену b₀₀,

Таким образом, ограничения рассматриваемой ЗЛП, и целевая функция имеют следующий вид:

f + _r+1x_r+1+...+_px_p+...+_nx_n=b₀₀

Составим симплексную таблицу

	Коэффициенты при базисных переменных					Коэффициенты при свободных переменных						Свободные члены		Симплексное отношение
Базис	x1	x2	...	xr	xr+1		...	xp	...	xn	bi0		bi0/bip
x1	1	0	...	0	b1 r+1		...	b1 p	...	b1 n	b10
x2	0	1	...	0	b2 r+1		...	b2 p	....	b2 n	b20
...	...	...	...	...	...		...	...	...	...	...
xr	0	0	...	1	br r+1		...	br p	...	br n	br0
f	0	0	...	0	 r+1		...	 p	...	 n	b00

Столбцы x_1, x_2,…, x_r симплексной таблицы это столбцы базисных переменных, остальные столбцы x_r+1,…, x_n – столбцы сводных переменных. Элемент b₀₀ в последней строке есть значение целевой функции при нулевых значениях свободных переменных, остальные элементы этой строки f есть оценки свободных переменных.

Последний столбец b_i0/b_ip называется столбцом симплексных отношений.

Итак, начальное опорное решение находится при нулевых значениях свободных переменных x_r+1=0,x_r+2=0,...,x_n=0

X₀=(b₁₀,b₂₀,...,b_r0,0,0,...,0),

причем значение целевой функции в этом опорном решение равно свободному члену b₀₀, f(X₀)= b₀₀.

Пример 8

Найти опорное решение по заданной симплекс – таблице:

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	bi0	bi0 / bip
x1	1	0	4/5	-1/5	0	140
x2	0	1	-3/5	2/5	0	120
x5	0	0	1	-1	1	100
f	0	0	-2	3	0	13200

Решение

В симплексной таблице базисными являются первый, второй и пятый столбцы(единичные столбцы), опорное решение найдем при свободных переменных х₃=х₄=0,

получим Х=(140, 120, 0, 0, 100),

Значение целевой функции равно

f(X)=13200.