8.3 Связность графа, деревья

Две вершины графа называются связными, если в графе существует путь с концами в этих вершинах, и несвязными в противном случае.

Граф называется связным, если любые две его вершины связаны, и несвязным в противном случае.

Пример 31

Существует ли компания из шести человек, в которой каждый знаком с двумя, и только с двумя другими? Постройте граф.

Решение

Вариантов таких компаний может быть два.

vvv

а) б)

Рис.11

В первом случае а) мы имеем связный граф, во втором б) – несвязный.

Ребро () называетсямостом, если в графе G(X,T), полученном после удаления ребра (), вершиныинесвязны.

Рис.12

В исходном графе ребро () является мостом.

Существует несколько признаков мостов:

1. Ребро () является мостом тогда, и только тогда, когда () является единственным путем, соединяющим вершины.

2. Ребро ) является мостом тогда, и только тогда, когда найдутся две вершины, такие, что любой путь, соединяющий их, содержит вершины.

3. Ребро ) является мостом тогда, и только тогда, когда оно не принадлежит ни одному циклу.

Связный граф без циклов называется деревом.

Пример 32

Кубок по настольному теннису разыгрывают 16 команд по олимпийской системе. Постройте схему турнира в виде графа.

Решение

Схему турнира можно изобразить деревом.

Рис.13

Любое ребро в дереве является мостом. Для каждой пары вершин дерева существует единственный соединяющий их путь.

8.4 Виды графов

• Плоские графы

Граф G(X,T) называется плоским, если его можно изобразить на плоскости так, чтобы никакие два его ребра не имели других общих точек, кроме их общей вершины. Чертеж графа, на котором никакие два ребра не пересекаются, называют плоским представлением графа.

Примерами плоских графов могут служить простые циклы, деревья, лес, и т.д.

Плоское представление имеет только плоский граф, и обратно: у всякого плоского графа всегда найдется плоское представление.

Примером неплоского графа может служить полный граф с пятью вершинами.

Рис.14

Любые попытки начертить его плоское представление обречены на неудачу.

• Эйлеровы графы

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа и проходящий через каждое по одному разу.

Пример 33

Найти эйлеровый путь в графе.

Рис.15

Решение

Граф имеет эйлеров путь .

Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа и проходящий через каждое по одному разу.

Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

Пример 34

Показать, будет ли данный граф эйлеровым.

Рис.16

Решение

Данный граф является эйлеровым, так как он имеет эйлеров цикл: .

• Гамильтоновы графы

Гамильтоновым путем в графе называется путь, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу

Пример 35

Найти гамильтоновые пути графа:

Рис.17

Решение

Данный граф имеет гамильтоновые пути и.

Гамильтоновым циклом в графе называется цикл, проходящий через каждую вершину в точности по одному разу.

Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.

Пример 36

Проверить, будет ли данный граф гамильтоновым.

Рис.18

Решение

Данный граф является гамильтоновым, так как он имеет гамильтоновы циклы и.

• Ориентированные графы

Ребро графа G(X,T) называется ориентированным, или дугой, если одну вершину считают началом, а вторую концом ребра.

На рисунке дугу изображают стрелкой. Дугу с началом в вершине и концом в вершинезаписывают ().

Граф, все ребра которого ориентированы, называется ориентированным графом.

Вершина называется источником, если из неё только выходят дуги; вершина называетсястоком, если в неё только входят дуги .

Например. Рассмотрим ориентированный граф

Рис.19

Вершина является источником, вершинаявляется стоком.

Последовательность дуг (), ()… (), в которой конец предыдущей дуги совпадает с началом следующей, называетсямаршрутом от .

Маршрут, в котором первая и последняя вершины совпадают, называется замкнутым.

Пример 37

Построить замкнутый маршрут из вершины х₁.

Рис.20

Решение

Граф имеет множество маршрутов:

(), (), (), (), (), (), (), ().

Этот маршрут является замкнутым.

Маршрут, в котором все вершины различны, называется путем от до.

Если существует путь из вершины в вершину, то говорят, чтодостижима из.

Замкнутый путь называется контуром.

Пример 38

Построить контур из вершины х₄.

Рис.21

Решение

Граф имеет пути (), (), () и (), (), (), а также один контур (), (), (). Вершинадостижима из вершины.

Ориентированный граф G(X,T) можно задать с помощью матрицы инцидентности. Пусть ,, …,– вершины графа,,, …,– дуги графа.

Матрицей инцидентности графа G(X,T) называется матрица , у которой элементравен 1, если дугаисходит из вершины; равен -1, если дугавходит в вершину; равен 0, если дугаи вершинане инцидентны.

Пример 39

Найти матрицу инцидентности следующего ориентированного графа.

Рис.22

Решение

Матрица инцидентности данного ориентированного графа имеет вид:

В =