5.2 Основное неравенство двойственности

В справедливости этого утверждения легко убедиться:

Пусть произвольные планы соответствующих двойственных задач. Умножая обе части неравенств задачи D:

соответственно на неотрицательные числа искладывая полученные неравенства, будем иметь:

Далее, умножая неравенства задачи P:

на неотрицательные числа и соответственно складывая, получим:

Сравнивая полученные неравенства, очевидно, что

или

,

что и требовалось доказать.

Экономический смысл неравенства двойственности в следующем: общая стоимость произведенной продукции не превосходит суммарной оценки ресурсов (сырья)для любого плана производстваХ и любого допустимого вектора оценок ресурсов Y.

5.3 Критерий Канторовича

решение будут оптимальными тогда и только тогда, когда

Экономический смысл: оптимальный план X производства продукции можно построить лишь в том случае, если ресурсам поставить в соответствие рациональные цены y_i. И наоборот, ресурсы допускают естественную оценку y_i лишь при наличии оптимального плана производства X.

Максимально возможный доход от реализации продукции совпадает с минимально возможной стоимостью сырья. Любой другой план – нерентабелен.

Цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов равны друг другу (совпадают).

5.4 Первая теорема двойственности

Первая теорема двойственности: если задача P имеет оптимальное решение , то и двойственная задачаD также имеет оптимальное решение Y и наоборот; причем

5.5. Вторая теорема двойственности (необходимое и достаточное условия оптимальности решения).

Для того, чтобы ибыли оптимальными решениями задачинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

.

Экономическая интерпретация этих условий такова:

• Если расход ресурса меньше его запаса, тов оптимальном решениизадачиоценкаединицы этого ресурса равна нулю.

• Если доходы от продажи всех ресурсов, необходимых для производства единицы продукции превосходит прибыльот реализации, то этот вид продукции, т.е. не выпускается.

• Если продукцию ^го вида выпускаем, , то стоимость затраченных ресурсов равна стоимости производственной продукции; то есть отсутствуют непроизводительные расходы.

• Если оценка единицы ресурсаположительна, то расход этого ресурсаравен его запасу. Таким образом, двойственные оценкимогут служить мерой дефицитности ресурсов в том смысле, что полностью используемый ресурс имеет положительную оценку, а избыточный ресурс имеет нулевую оценку.

5.6. Третья теорема двойственности

утверждает, что оценкачисленно равна изменению максимальной прибыли при изменении запаса соответствующего ресурса на единицу:

Другими словами, если запас ^го ресурса изменился на величину , тогда максимальная прибыль изменится на величину .

Пример 15

Решить следующую задачу линейного программирования при помощи графического метода, используя теоремы двойственности:

Решение

Составим двойственную задачу:

Введем две переменные , так как в прямой задаче в условии ограничений всего два неравенства, получим :

найти минимум функции при ограничениях:

Решим графическим методом эту задачу:

построим прямые: ,

вектор-градиент с(-3,-3) и найдем «точку-входа»Р(6,6)

Рис. 6

По первой теореме двойственности исходная ЗЛП также имеет оптимальное решение, причем .

найдем, используя вторую теорему двойственности.

Подставим в неравенства ограничений:

Из четырех неравенств двойственной задачи в данной точке Р(6,6) два неравенства (первое и четвертое) удовлетворяются как строгие неравенства. На основании второй теоремы двойственности заключаем, что в оптимальном решении исходной задачи соответствующие им переменные: т.к.,то соответствующие неравенства исходной задачи (первое и второе):

удовлетворяются, как равенства, оптимальным ее решением. Тогда при получим систему:

Решив эту систему, найдем .

Таким образом, и