6. Транспортная задача

6.1 Экономическая постановка и математическая модель транспортной задачи

Экономическая постановка:

Пусть имеется m пунктов поставщиков с объемами продукции

, где i=1,2,…m

а также n пунктов потребления с объема­ми потребления

, где j=1,2,…n

Если — стоимость транспортировки еди­ницы продукции от -го поставщика в пункт потребления , тозадача заключается в планировании перевозок от поставщиков к потребителям, таким образом, чтобы суммарная стоимость транспортировки была минимальной.

Математическая модель:

пусть - объем планируемой перевозки продукции от i-го по­ставщика к потребителю .

Тогда суммарная стоимость перевозок равна

или

Условия ограничений

по запасам:

по потребностям:

условия неотрицательности:

,

,

Если в транспортной задаче выполняется условие

то она называется задачей закрытого типа. Транспортная задача закрытого типа всегда имеет решение.

Если в транспортной задаче суммарные запасы не совпадают с суммарными потребностями

то она называется задачей открытого типа.

Транспортная задача открытого типа решается приведением к задаче закрытого типа, для чего вводится фиктивный поставщик или фиктивный потребитель. Если суммарные потребности пре­вышают суммарные запасы, то вводится фиктивный поставщик с объемом производства (запасов)

Если суммарные запасы превышают суммарные потребно­сти, то вводится фиктивный потребитель с потребностью

Стоимость перевозки единицы продукции до фиктивного потребителя и от фиктивного поставщика полагается равной нулю, т. к. груз в обоих случаях не перевозится. Фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодного поставщика, а продук­ция фиктивного поставщика будет направлена к наименее выгодно­му потребителю.

Если после решения задачи оказывается, что некоторый по­требитель должен получить груз от фиктивного поставщика, то это означает, что потребитель данного объема продукции не получит и его спрос будет удовлетворен не полностью, аналогично - для фик­тивного потребителя.

Транспортную задачу представляют в виде матрицы планирования

Потребители Поставщики			-
			-
…
			-

Решение состоит из двух этапов: первый – построение первоначально опорного плана обычно выполняется методом северо-западного угла или минимальной стоимости, второй – проверка плана на оптимальность и переход к новому опорному плану (метод потенциалов).

6.2 Методы нахождения начального плана перевозок

Решение транспортной задачи, как и любой задачи линейного программирования, начинается с нахождения начального опорного плана. Наиболее часто применяют два метода построений начального плана перевозок.

Метод «северо-западного угла»

Этот метод заключается в следующем: величина максимально возможного количества товара помещается в «северо-западный угол» таблицы, затем заполняется соседняя клетка в строке или столбце

Недостаток метода «северо-западного угла» заключается в том, что при построении опорного плана совсем не учитывается стоимость перевозок с_ij.

Пример 18

Найти начальный план перевозок методом северо-западного угла, если груз находится у трех поставщиков в количествах 120, 85 и 135 единиц, который необходимо доставить потребителям в количествах 50, 90, 110 и 90 единиц.

Решение

Условие задачи запишем в таблицу и найдем решение методом северо-западного угла:

Потребители Поставщики	50	90	110	90
120	5 50	11 70	10	8
85	10	8 20	4 65	2
135	9	7	1 45	5 90

Итак, начальный план перевозок следующий

,

причем суммарная стоимость затрат на перевозки равна:

Z(X)= 5∙50+70∙ 11+8 ∙20+4 ∙65+1∙ 45+5 ∙90=1935