8. Графы, их применение в решение оптимизационных задач

8.1 Определение графа

Пусть дано непустое множество X, состоящее из элементов, называемых точками (), и наX задано множество отношений Т, позволяющих установить соответствие между каждым элементом множества Х и некоторым его подмножеством.

Каждая пара точек , множества Х, между которыми установлено отношение из множества Т, называетсяребром.

Графом называется непустое множество Х и множество отношений Т;

обозначается G(X,T).

Граф называется конечным, если множество Х конечно.

Граф G(X,T) геометрически представляет собой непустое множество точек (вершин) и множество отрезков (ребер), концы которых принадлежат данному множеству точек.

Рис 7.

Ребра графа обозначают парой вершин ().

Вершины, не принадлежащие ни одному ребру графа, называются изолированными.

Вершины изолированные (точка пересечения диагоналей не принадлежит графу). Граф может не иметь ребер. Тогда он состоит из изолированных точек.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром, два различных ребра смежные, если они имеют общую вершину.

Ребро и любая из его вершин называются инцидентными.

Ребро графа G(X,T), у которого начальная и конечная вершины совпадают, называется петлей.

Примерами графов могут служить схемы железных дорог, автомобильных дорог, метрополитена, формулы молекул, генеалогические деревья и т.д.

Существуют различные способы задания конечного графа G(X,T).

Пусть вершины графа,ребра графа.

Матрицей смежности называется матрица у которой элемент равен количеству ребер, соединяющих вершины.

Матрицей инцидентности называется матрица , у которой элемент равен 1, если вершинаинцидентна ребру, и равен 0 в противном случае.

Пример 28

Составить матрицы смежности и инцидентности для следующего графа:

Рис.8

Решение. Матрицы смежности и инцидентности имеют вид

,

8.2 Путь и цикл в графе

Путем от до называется такая последовательность ребер графа, ведущая отк, в которой два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается дважды.Длинной пути называется число ребер этого пути.

Путь от доназывается простым, если он не проходит через одну вершину более одного раза.

Пример 29

Найти простые пути и их длины в следующем графе:

Рис.9

Решение.

В данном графе есть следующие пути от до:

Первые три пути являются простыми.

путь длиной 4; путь длиной 4; путь длиной 4; путь длиной 7.

Циклом называется путь, в котором начальная и конечная вершины совпадают. Длиной цикла называется число ребер в этом цикле.

Цикл называется простым, если он не проходит через одну вершину более одного раза.

Пример 30

Найти простые циклы и их длины в следующем графе:

Рис.10

Решение. В данном графе есть следующие циклы:

Первые три цикла являются простыми.

путь длиной 3; путь длиной 3; путь длиной 5; путь длиной 6.