5.7. Двойственный симплекс-метод

Задачи минимизации часто имеют ограничения со знаком неравенства . Введение дополнительных переменных дает базис с отрицательным решением, т.е. не приводит сразу к опорному плану. Введение искусственных переменных увеличивает размеры задачи. При использовании так называемого двойственного симплекс-метода можно начинать решение и с отрицательным базисом, опорный же план будет получен в процессе решения.

Алгоритм решения двойственного симплекс-метода:

1. Найти переменную в ведущей строке по отрицательному значению х_i (в столбце свободных членов a_i0). (Если их несколько – по отрицательному наибольшему модулю переменной).

2. Найти ведущий столбец по правилу , где а_ij – отрицательные элементы строки, переменная которой выводится, Δ_i – оценки в приведенном выражении целевой функции. При этом считается, что сам базис положительный, а значения х_i < 0. Пересчет ведут по методу Жордана-Гаусса;

3. Перейти к новой итерации двойственного симплекс-метода, если не все компоненты х_i > 0.

4. Если после выведения всех отрицательных переменных из базиса условие оптимальности выполняться не будет, дальше применяется обычный симплекс-метод.

Пример16

Найти минимум при ограничениях

Решить двойственным симплекс-методом.

Решение

Приведем задачу к каноническому виду:

,

Умножим полученные ограничения на (–1):

Составим приведенное выражение для целевой функции:

.

Заполним симплекс-таблицу

Базис
	-2	-3	1	0	0	-4
	-1	-5	0	1	0	-1
	-24	-57	0	0	1	0

Базисное решение не является опорным, т.к. оно содержит отрицательные компоненты.

1) Выведем из базиса переменную , т.к..

2) Введем в базис переменную , т.к.Получим таблицу.

Базис
	1				0	2
	0				1	1
	0	-21	-17	-12	0	48

Решение является опорным. Так как все оценки,то это решение оптимально:

Замечания:

1. Если двойственные переменные в оптимальном плане равны нулю, то это не означает, что ресурс отпускается даром. Это значит, что данный ресурс не является дефицитом по сравнению с другими.

2. Оптимальный план двойственной задачи совпадает со значениями в последней строке окончательной симплексной таблицы исходной задачи столбцов первоначального базиса, Если первоначальный базис составлялии, значит, окончательной симплексной таблице двойственной задачи соответствуют исходные значенияи. Если первоначальный план был отрицательным, то для решения двойственной задачи соответствующие значения берутся с противоположным знаком.

Рассмотрим в следующем примере, как находятся значенияи.

Пример17

Составить двойственную задачу к исходной:

.

Решение

Приведем задачу к каноническому виду, вводя в левые части системы ограничений дополнительные неотрицательные переменные:

Разобьем все переменные на сопряженные пары. В первом ряду располагаем переменные, начиная с дополнительных (балансовых) переменных ,и далее свободные (исходные) переменные.Под ними в порядке возрастания номеров располагаем переменные

Таким образом, образуются сопряженные пары переменных:

Дополнительные		Исходные
↕	↕	↕	↕	↕
Исходные		Дополнительные

Ответ: