Метод минимальной стоимости

Идея этого метода заключается в том, чтобы заполнить клетки таблицы, начиная с клетки с наименьшей стоимостью .

Этот метод, как правило, позволяет получить более «выгодный» план, чем метод «северо-западного угла».

Пример 19

Найти начальный план перевозок методом минимальной стоимости, если груз находится у трех поставщиков в количествах 120, 85 и 135 единиц, который необходимо доставить потребителям в количествах 50, 90, 110 и 90 единиц, причем стоимость транспортировки еди­ницы продукции от -го поставщика в пункт потребления задана матрицей:

Решение

Решение найдем методом минимальной стоимости:

Потребители Поставщики	50	90	110	90
120	5 50	11 70	10	8
85	10	8 20	4	2 65
135	9	7	1 110	5 25

Итак, начальный план перевозок следующий

,

причем суммарная стоимость затрат на перевозки равна:

Z(X)_= 1445

6.3 Метод потенциалов решения транспортной задачи

Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплексным методом, а именно:

1. сначала находят начальный опорный план перевозок,

2. затем переходят к новому плану, лучшему, такому, что

Z() ≤Z()

3. проверяют критерий оптимальности полученного решения:

Если для некоторого опорного плана

транспортной задачи существуют такие числа , что

,

,

то есть оптимальный план транспортной задачи

.

Числа называются потенциалами соответственно пунктов поставки и пунктов потребления.

Критерий оптимальности решения транспортной задачи следующий:

для того чтобы решение было оптимальным, необходимо и

достаточно, чтобы существовала система чисел ,

которые удовлетворяли бы условиям:

для всех базисных переменных (занятых клеток) и

для всех свободных переменных (пустых клеток).

Алгоритм метода потенциалов решения транспортной задачи

1. Найти начальный план перевозок транспортной задачи методом «северо-западного угла» или методом минимальной стоимости. Число заполненных клеток должно быть равным .

2.  Найти .

3. Найти потенциалы из системы уравнений: , составленной для занятых клеток.

4. Найти оценки для свободных клеток: .

5. Если среди чисел нет отрицательных значений, все, то найденный опорный планявляется оптимальным.

6. Если же для некоторой свободной клетки , то исходный опорный план не является оптимальным и необходимо перейти к новому опорному плану , причем

Z() ≤Z()

7.  Чтобы решение улучшить, выбирают среди отрицательных оценок наибольшую по абсолютной величине (при нескольких равных выбирают любую) и для соответствующей свободной клетки строим цикл пересчета.

 Цикл – это замкнутая ломаная, соединяющая несколько занятых клеток таблицы. Две последовательные вершины цикла лежат либо в одной строке, либо в одном столбце; в одной их них объем увеличивается (в клетке ставится знак «+»); в другой – уменьшается настолько же единиц (в клетке ставится знак «–»).

7. Среди клеток, имеющих знак «–» отыскивается та, которая содержит минимальную величину поставки. Эта величина прибавляется к содержимому клеток, имеющих знак «+» и вычитается из содержимого клеток, имеющих знак «–».

8. Для нового опорного планазаново рассчитываются потенциалы,и оценки(п.3)

Замечание

Потенциалам и можно придать простой экономический смысл:

– стоимость единицы груза для -го поставщика,

– стоимость единицы груза у -ого потребителя.

Если для некоторой свободной клетки величина т.е. . Это означает, что перевозки из пункта в пунктцелесообразны, потому чтоони приведут к уменьшению стоимости единицы груза в пункте назначения, а переменную нужно внести в базис. В то же время равенство для базисных переменных (занятых клеток) означает, что перевозки, внесенные в план, должны быть «безубыточными», а стоимость груза в пункте отправления плюс издержки на перевозку должны в точности покрываться стоимостью груза в пункте потребления.

Пример 20

Найти оптимальный план перевозок, при котором суммарная стоимость всех перевозок – наименьшая, если груз находится у трех поставщиков в количествах 12 , 8 и 10 единиц, который необходимо доставить потребителям в количествах 6, 9 , 15 единиц, причем стоимость транспортировки еди­ницы продукции от -го поставщика в пункт потребления задана матрицей:

Решение

Составим математическую модель задачи.

Обозначим:

–количество единиц груза перевозимого от i-ого поставщика отправления к j-у потребителю

Условия задачи запишем в таблицу

Потребители Поставщики	6	9	15
12	1	3	4
8	2	5	3
10	6	7	5

Так как , то транспортная задача – закрытая. На искомые перевозки x_ij по смыслу задачи необходимо наложить следующие условия:

а) условия по запасам: ;

б) условия по потребностям: ;

в) условия неотрицательности: . Транспортные расходы при таком плане перевозок составят:

.

Начальный план перевозок найдем методом северо-западного угла:

Потребители Поставщики	6	9	15
12	1 6	3 6	4
8	2	5 3	3 5
10	6	7	5 10

В результате получаем начальный опорный план

Переменные, стоящие в занятых клетках таблиц, являются базисными, а остальные ( в пустых клетках) – свободными.

Полученный план перевозок является допустимым, т.к. удовлетворяет ограничениям задачи. Это выражается в том, что сумма объемов перевозок в каждом столбце равна потребностям; а в строке запасам. Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет:

=1∙6+3∙6+5∙3+3∙5+5∙10=104

Найдем потенциалы из системы уравнений: , составленной для занятых клеток, очевидно, что

Поскольку количество неизвестных шесть и на единицу превышает число уравнений в системе (пять занятых клеток), то одно из неизвестных (обычно) принимаем за нуль, например, a₁=0, тогда потенциалы остальных строк и столбцов однозначно определяются: .

Запишем их в таблице:

Потребители Поставщики	6	9	15
12	1 6	3 6	4	=0
8	2	5 3	3 5	=-2
10	6	7	5 10	=-4
	=1	=3	=1

Найдем оценкидля свободных переменных (пустых клеток) из системы уравнений:

.

Оценка отрицательная, следовательно, решение не является оптимальным, а значение целевой функции = 104 можно уменьшить.

Построим цикл. Так как оценка , то переменную x₂₁ введем в базис (клетку (2,1) сделаем занятой). В эту клетку запишем число . Сумма перевозок по строкам и столбцам таблицы должна оставаться неизменной, необходимо восстановить баланс каждой строки и столбца. Будем прибавлять или вычитать из переменных, записанных в базисных клетках.Для свободной клетки (2,1) можно построить единственный цикл пересчета: (2,1), (1,1), (1,2), (2,2),(2,1)

Если соединить последовательно клетки цикла отрезками прямой, то получится замкнутая ломаная линия, каждый отрезок которой лежит либо в строке, либо в столбце, и только одна из вершин этой ломаной лежит в свободной клетке, т.е. в клетке (2,1),

Запишем в клетку (2,1),) число и поставим знак «+», в соседних с ней вершинах цикла поставим знак «-»,

Потребители Поставщики	6	9	15
12	- 1 6	+ 3 6	4
8	2 +	5 3 -	3 5
10	6	7	5 10

Число выбираем наименьшим из чисел, находящихся в «отрицательных» клетках: .

Свободная клетка (2,1) стала занятой.

Итак, перешли к новому опорному решению

Потребители Поставщики	6	9	15
12	1 3	3 9	4
8	2 3	5	3 5
10	6	7	5 10

Затраты на перевозки по плану составляют:

Проверим решение на оптимальность, применяя алгоритм метода потенциалов.

Найдем потенциалы из системы:

,

составленной для занятых клеток, очевидно, что

Запишем в таблице найденные потенциалы

Потребители Поставщики	6	9	15
12	1 3	3 9	4	=0
8	2 3	5	3 5	= -1
10	6	7	5 10	= -3
	=1	=3	=2

Вычислим оценки для свободных переменных:

Все оценки свободных переменных неотрицательны. Следовательно, решение– оптимальное.

При этом затраты на перевозку будут минимальными: .

Дадим экономическое истолкование оптимального решения данной задачи:

для того, чтобы затраты на перевозку груза от потребителей

к поставщикам были наименьшими и равными 101 ед. стоимости, необходимо отправить

• от первого поставщика 3 ед. груза и 9 ед. груза

соответственно первому и второму потребителю;

• от второго поставщика 3 ед. груза и 5 ед. груза

соответственно первому и третьему потребителю;

• от третьего поставщика 10 ед. груза третьему

потребителю.