7.4 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Предположим, что цена игры положительна ( > 0). Если это не так, то согласно утверждению 1. п. 8.3 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.

Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m ^х n. Согласно утверждению 2. п.8.3 оптимальные смешанные стратегии Х^о = (х₁, ..., х_m),

Y^о = (y₁, ..., y_n) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры  должны удовлетворять соотношениям.

(7.4)

(7.5)

Разделим все уравнения и неравенства в (7.4) и (7.5) на  (это можно сделать, т.к. по предположению  > 0) и введём обозначения :

, ,

Тогда (7.4) и (7.5) перепишется в виде :

, ,,,

, ,,.

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения х_i и, следовательно, t_i , чтобы цена игры  была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений t_i , при которых

, .(7.6)

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения y_j и, следовательно, s_j, чтобы цена игры  была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений s_j, , при которых

, .

Формулы (7.6) и (7.7) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования.

Решив эти задачи, получим значения t_i , s_j и цену игры .

Тогда смешанные стратегии x_i и y_j находятся по следующим формулам :

(7.8)

Пример 25

Найти решение игры, определяемой платежной матрицей:

Решение

К каждому элементу матрицы А прибавим 1 (утверждение 1. п. 7.3) , тогда получим следующую матрицу:

Используя формулы (7.6) и (7.7), составим пару взаимно-двойственных задач :

Запишем вторую задачу (на max) в канонической форме:

Решая её симплексным методом, найдем оптимальное решение

и значения . Решение представлено в следующей симплекс-таблице:

Б.П.												bio	C.O.
		1	2		0		1		0		0	1
		1	0				0		1		0	1
		2	1		0		0		0		1	1
F		-1	-1		-1		0		0		0	0
		1	2		0		1		0		0	1		1/2
		1	0		1		0		1		0	1
		2	1		0		0		0		1	1		1
F		0	-1		0		0		1		0	1
		1/2	1		0		1/2		0		0	1/2
		1	0		1		0		1		0	1
		3/2	0		0		-1/2		0		1	1/2
F		1/2	0		0		1/2		1		0	3/2

В результате последней итерации в симплексной таблице найдено оптимальное решение:

и значение целевой функции:

Двойственная к ней задача имеет следующее оптимальное решение.

и .

Найдем значение цены игры:

,

тогда .

Найдем значения вероятностей стратегий игрока 1.

Таким образом, первый игрок в 33% случаях должен использовать первую стратегию, 67% случаях пользоваться второй стратегией, а третьей стратегией не пользоваться вообще.

Найдем значения вероятностей стратегий игрока 2 :

Таким образом, игрок 2 первую стратегию не должен использовать, вторую стратегию использовать в 33% случаях и третью стратегию – в 67%.