2.2. Типы графов

Граф без петель и кратных ребер называется простым. Граф без петель, но с кратными ребрами называется мультиграфом (рис. 2.4, а). Наибольшее число ребер образует мультичисло и называется кратностью. Простой граф, в котором две любые вершины соединены ребром, называется полным и обозначается Kn , где n – число вершин.

На рис. 2.4, б приведен пример полного графа К с пятью вершинами.

Граф называется двудольном (биграфом), если множество его вершинX может быть разбито на два таких подмножества X1 и Х2 , что каждое ребро имеет

ся Km,n , где m и n – количество вершин в подмножествах X1 и Х2 соответственно.

Рис. 2.4

Подграфом графа D (или G) называется граф, в которой входит лишь часть вершин графа D (или G) вместе с ребрами, соединяющими эти вершины. Частичным графом по отношению к графуD (или G) называется граф, содержащий только часть ребер графа.

На рис. 2.5 показаны граф D, его подграф и частичный граф.

Рис. 2.5

26

Граф называется связным, если каждую его вершину можно соединить с любой другой его вершиной некоторой последовательностью ребер. Если граф не связен, то его можно разбить на подграфы так, что все его вершины в каждом подграфе связны. Такие подграфы называются компонентами связности графа.На рис. 2.6, а приведен пример связного графа, а на рис 2.6, б – несвязного графа с тремя компонентами связности.

Рис. 2.6

Графы называются изоморфными, если между множествами их вершин существует взаимооднозначное соответствие, такое, что вершины соединены ребрами в одном из графов в том и только в том случае, если соединены соответствующие им вершины в другом графе.

Изоморфные графы, приведенные на рис. 2.7, по существу различаются лишь начертанием. Если существенные свойства графа не связаны со способом его изображения на плоскости или нумерацией его вершин и ребер, то изоморфные графы, как правило, не различают между собой.

называется плоским (планарным), если существует изоморфный ему граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.

Пример планарного графа приведен на рис. 2.8, а, б. Хотя в одном из графов ребра пересекаются, изоморфный ему граф не имеет пересечений, а следовательно, он плоский.

На рис. 2.8, в, г показаны два не плоских графа, играющих фундаментальную роль в теории планарности и называемых графами ПонтрягинаКуратовского.

27

плоским тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, стягиваемых к графам К5 и K3,3. Элементарное стягивание графа осуществляется следующим образом. В графе D = ( X ,V ) выбирается ребро (хi, xj) и удаляется из графа. При этом вершины хi и xj сохраняются и отождествляются, т. е. хi = xj. Отождествленная вершина будет смежна в новом графе с теми вершинами, с которыми были смежны как хi, так и xj в графе G. Из получившихся в результате процедуры кратных ребер оставляется одно. Граф D называется стягиваемым к графуК, если К можно получить из D путем последовательных элементарных стягиваний.

На рис. 2.9 показана процедура стягивания графа К5 к графу К4.

Рис. 2.9

Следует заметить, что при операции удаления ребра из графа все вершины сохраняются, вершина удаляется из графа вместе с инцидентными ей ребрами.

Планарность является существенным свойством графов, которые моделируют коммуникации и связи между объектами на плоскости(линии передач электроэнергии, межсоединения на печатных платах электронных устройств и кристаллах интегральных схем, водопроводные и газовые сети и т. д.).

28