1.8. Отображения и их виды

Биективное отображение является одновременно инъективным и сюръективным, т. е. является взаимно однозначным.

Важным случаем отображения является отображение элементов внутри одного множества. При этом отображение Г: Х→Х будет определяться парой (X, Г), где Г Í Х ´ Х или Г Í Х 2 . С помощью отображений могут быть даны определения таким понятиям, как функция, функционал, оператор, которые широко используются при математическом описании систем. Если отображение Г: X→Y рассматривается как соответствие между множествамиX и Y, то множество f ={(x, y)Î X ´Y : y = f (x)} называется функцией. Таким образом, f является множеством, элементами которого являются пары (х, у), участвующие

в соответствии, и f(x) является обозначением для y ÎY , соответствующего данному x Î X [1].

Функционал устанавливает зависимость между множеством чисел, с одной стороны, и некоторым множеством функций с другой. Примером функцио-

b

нала может служить определенный интеграл вида I ( f ) = ò f (x)dx.

a

Оператор устанавливает соответствие между двумя множествами функций. Если обозначить через р оператор дифференцирования, то связь между производной f ¢(x) и функцией f (x) может быть записана в виде операторного соотношения f ¢(x) = p[ f (x)].

1.9. Отношения и их свойства

Для обозначения некоторых видов отображений, заданных на одном и том же множестве, используется понятие «отношение» [1]. Пусть отображение (Х, Г) является отношением. Если элемент x1 находится в отношении R к элементу x2, то это записывается как x1Rx2 или (x1x2 ) Î R , где R – символ отноше-

ния. Примером отношений могут служить такие понятия, как «меньше, чем», «делится на», «включено в», «больше чем» и т. д.

рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, тождественность, транзитивность.

Отношение R называется рефлексным на множестве X, если для любого x Î X справедливо xRx или (xx) Î R на множестве X. Например, «равенство», «самообслуживание».

Отношение R называется антирефлексивным, если для любого x Î X не выполняется xRx, т. е. (xx) Ï R . Например, «строгое неравенство», «быть старше», т. е. отношения, которые могут выполняться только для несовпадающих объектов.

Отношение R называется симметричным на множестве X, если для любых x Î X справедливо соотношение: если x1Rx2, тo x2Rx1 или если (x1x2 ) Î R , то

(x2 x1 ) Î R . Например, «расстояние между двумя точками», «быть братом».

Отношение R называется антисимметричным на множестве X, если для любых x Î X справедливо соотношение: если x1Rx2 истинно, то x2Rx1 ложно, или если (x1x2 ) Î R , то (x1x2 ) Ï R . Например, «строгое включение», «быть отцом».

Отношение R называется тождественным на множестве X, если для любых x Î X из одновременной истинностиx1Rx2 и x2Rx1 следует, что х1 = х2. Например, «получают повышенную стипендию» и «сдали сессию на хорошо и отлично» на множестве студентов факультета.

Отношение R называется транзитивным на множестве X, если для любых x Î X справедливо соотношение: если x1Rx2 и x2Rx3, то x1Rx3.

Например, «параллельность», «больше чем». Для каждого отношения R можно определить обратное R-1, считая, что x2 R-1x1 в том и только в том случае, когда x1Rx2.

1.10.Виды отношений

Взависимости от того, какими свойствами обладает отношения, они делятся на три вида; отношение эквивалентности, отношение порядка и отношение доминирования.

Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности (xRx для "x Î X ), симмет-

ричности ( x1Rx2 ® x2 Rx1 для всех x1, x2 Î X ), транзитивности (x1Rx2 и x2 Rx3 ® x1Rx3 для всех x1, x2 , x3 Î X ). Элементы множества можно рассматривать как эквивалентные, если любой из этих элементов может быть заменен другим. Для обозначения эквивалентности служит символ º или ~, т. е. x1 º x2

или x1 ~ x2. Примерами отношения эквивалентности являются отношения равенства векторов, фигур, геометрическое отношение подобия, отношение параллельности.

Другим видом отношений является отношение порядка, которое характеризуется определенным порядком расположения элементов множества. Разли-

13

чают отношения нестрогого порядка (квазипорядка) на множестве X и отношения строгого порядка.

Отношение квазипорядка обозначается символом £ , частным случаем является символ Í . Это отношение, которое обладает свойствами рефлексивности (х ≤ х), транзитивности (если x1 £ x2 и x2 £ x3 , то x1 £ x3 ) и тождествен-

ности (если x1 £ x2 и x2 £ x1 , то x1 = x2 ).

Отношение строгого прядка обозначается символом <, частным случаем его являются символы ®, Ì . Это отношение, обладающее свойствами транзитивности (если x1 < x2 и x2 < x3 , то x1 < x3 ) и антисимметричности (если x1 < x2 , то x2 < x1 ). Это отношение характерно для различного рода иерархий с

подчинением одного объекта другому.

При рассмотрении множеств людей, или группы людей, возникает отношение, которое называется отношением доминирования(доминировать ~ это значит преобладать). Обозначается оно символом >>.

Отношением доминирования на множестве х называется отношение, которое обладает свойствами антирефлексивности( x >> x ложно) и антисимметричности (если x1 >> x2 , то x2 >> x1 , ложно). Эти свойства означают, что ника-

кой индивидуум не может доминировать самого себя и в каждой паре только один элемент доминирует другого. Например, победившая команда или спортсмен; лицо, пользующееся авторитетом.

1.11. Нечёткие множества. Способы задания. Понятие лингвистической переменной

Теория нечётких множеств ведёт своё начало с1965 года. Основоположником теории нечётких множеств «Fuzzy Sets» является американский учёный Лотфи Заде, который ввёл понятие о нечётких множествах, как обобщение обычных (чётких) множеств. Прилагательное «fuzzy» переводится на русский язык как нечёткий, размытый.

Введение нечётких множеств – это попытка описать математически некоторую нечёткую информацию для создания математической модели. В нечётких множествах объекты, обладающие общим свойством, могут обладать им в различной степени. Поэтому высказывание типа («элемент принадлежит данному множеству») теряет смысл. Необходимо указать «насколько сильно» или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества.

Нечёткое или фази-множество (ФМ) характеризуется двумя показателями:

1)фактом принадлежности объектов к множеству;

2)степенью принадлежности объектов к данному множеству.

Для представления элемента x нечёткого множества A% используется функция принадлежности , которая равна 1, если этот элемент принадлежит к

14

циональными числами из интервала[0,1]. Конкретное значение функции при-

надлежности называется коэффициентом или степенью принадлежности.

Эта степень может быть определена явным образом в виде функциональной за-

Так, например, нечёткое множество целых чисел, определённое понятием «около 10», можно задать следующим образом

Другой способ задания этого же множества– задание его функции при-

надлежности зависимостью . График функции представлен

на рис. 1.12.

m

Рис. 1.12

Наибольшей популярностью пользуются функции принадлежности гауссовского типа, а также треугольной и трапецеидальной формы. Гауссовская функция принадлежности переменной с центром в и вариацией для множества описывается выражением

15

и приведена на рис 1.13.

форму (не обязательно симметричную) должен специалист в соответствующей

16

17