Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями называют чистым случайным процессом или белым

Белый шум в чистом виде не существует в природе (является физически нереальным), однако он представляет собой абстракцию, удобную для решения некоторых задач.

6.12. Спектральные плотности стационарных случайных процессов

Для стационарных случайных функций возможно использование аппарата спектрального анализа. Спектральная плотность случайного процесса определяется как преобразование Фурье автокорреляционной функции , т. е.

Так как Kx (t)sin wt – нечётная функция, то второй интеграл равен нулю. Kx (t)cos wt – чётная функция, следовательно

Спектральная плотность является действительной и чётной функцией частоты ω. На графике всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти автокорреляционную функцию.

Зная, что , можно установить важную зависимость между дисперсией и спектральной плотностью случайного процесса

126

Взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов x(t) и y(t) определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции

Спектральная плотность белого шума постоянна во всём диапазоне - ча стот тогда корреляционная функция

номерно по всему диапазону частот, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость процесса.

удельную меру мощности, выделяемой на единичном резисторе.

По физическому смыслу , это накладывает жёсткие ограничения на вид допустимых функций корреляции.

При анализе случайных процессов вводится понятие эффективной ширины спектра. Пусть исследуемый процесс имеет спектральную плотность , приведённую на рис. 6.33, где – максимальное значение. Заменим его другим процессом, у которого спектральная плотность постоянна и равна в пределах некоторой полосы частот , а вне этой полосы равна нулю.

Sx (w)

Smax

Dwэф w

Рис. 6.33

Эффективная ширина спектра – это величина, определяемая выражением

¥

Dwэф = S 1(0) 0ò S (w)d w.

127