ТЕМА 3. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ

3.1.Основные понятия и определения

Канализу транспортных сетей сводятся многие задачи, возникающие при планировании поставок, распределении грузопотоков между потребителями и т. д.

Транспортной сетью называется ориентированный связный мультиграф без петель, в котором:

существует одна и только одна вершинаx0, называемая входом сети, что

Г-1 = Æ ;

х0

существует одна и только одна вершина хn, называемая выходом сети, что

Г хn = Æ ;

каждой дуге (xi , x j ) графа отнесено целое число Cij называемое пропуск-

ной способностью дуги [1].

Очевидно, что вершина x0 является источником, а вершина хn – стоком. Величина Cij характеризует максимальное количество груза, который соответству-

ющая коммуникация может пропустить за единицу времени. В общем случае Cij ¹ Cij . Если Cij = Cij , то соответствующие дуги могут быть заменены реб-

ром. В силу этого рассматриваемые вопросы будут справедливы также для смешанных и неориентированных графов.

Поток jij характеризует количество груза, перемещаемого в единицу вре-

мени из пункта i в пункт j. Считается, что jij = -j ji . Из физических соображе-

ний возникают следующие ограничения на числа jij :

1) поток по любому ребру не может быть больше его пропускной способности, т. е.

2) в каждой вершине, не являющейся ни источником ни стоком, количество прибывающего вещества должно быть равно количеству отправляющегося:

ii

3)поток, выходящий из источника x0, в точности равен потоку, входящему

всток хn , т. е.

3.2. Задача о максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона

При анализе транспортных сетей часто возникает задача определения максимального потока, который может пропустить данная сеть, а также задача распределения этого потока по дугам сети.

С математической точки зрения задача о максимальном потоке формулируется следующим образом: при заданной конфигурации сети и известной пропускной способности Cij найти неотрицательные значения jij , удовлетворяю-

щие условиям (3.1)–(3.3) и максимизирующие функцию j, т. е.

j = åj0i = åjjn ® max.

i j

43

Алгоритм для нахождения максимального потока был предложен Фордом и Фалкерсоном и заключается в постепенном увеличении потока, пропускаемого по сети, до тех пор, пока он не станет наибольшим. Алгоритм основан на теореме Форда-Фалкерсона: в любой транспортной сети максимальный поток из источника х0 в сток хn, равен минимальной пропускной способности разреза, отделяющего х0 от хn.

Рассмотрим табличный алгоритм нахождения максимального потока в сети из х0 в хп на примере сети, изображенной на рис. 3.1. Алгоритм состоит из подготовительного этапа и конечного числа шагов, на каждом из которых происходит допустимое увеличение потока. На подготовительном этапе формируется матрица пропускных способностей дуг сети(табл. 3.1). Если пропускная способность дуги (xi , x j ) больше нуля, а пропускная способность симметрич-

ной ей дуги (xi , x j ) равна нулю, то в клетку (i, j) заносится элемент Cij, а в клет-

ку (i, j) – (j, i) не заполняются.

торых совпадают с номерами помеченных столбцов. В каждой такой

i-й строке отыскиваются элементы Cij > 0, находящиеся в непомеченных столбцах, и помечаются эти столбцы номером просматриваемой строки. Так выделяются вторые дуги путей из х0 в х5. Это дуги (х1, х3) и (х2, х4). Просмотр строк продолжается до тех пор, пока не будет помечен столбец, соответствующий стоку x5. Это означает, что существует путь с положительной пропускной способностью из источника в сток. Столбец, соответствующий последней вершине х5, помечен номером (3). По нему находим предшествующую вершину х3, столбец которой помечен в свою очередь номером(1), приводящим к столбцу x1, помеченному номером (0). Достигли истока. В результате получен путь l1 = (x0,х1,х3,х5,). Элементы этого пути Cij помечаем знаком минус, а симметричные элементы Cji – знаком плюс. Если при просмотре таблицы столбец, соответствующий стоку, не будет помечен, то путь х0 в хп будет отсутствовать.

2. Определяется пропускная способность найденного пути, которая равна наименьшей из пропускных способностей дуг:

C1 = min{C 01- , C13- , C 35- }= min{15, 13,8 } = 8.

44