ТЕМА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1. Основные понятия и определения

Под множеством, понимают совокупность определенных объектов, рассматриваемых как единое целое и хорошо различаемых между собой. Отдельные объекты, которые образуют множество, называются элементами множества. Обычно множества обозначаются прописными латинскими буквамиX, Y, Z, A, B, C,... Элементы множеств обозначаются соответственно строчными буквами х, у, z, a, b, с,... Если элемент x принадлежит множеству X, то используется запись x Î X (Î – символ принадлежности), в противном случае – x Î X . Множество считается заданным, если перечислены все его элементы или указано характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Для обозначения множества используют фигурные скобки { }, Например, множество X

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если содержит бесконечное число элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Любое множество можно характеризовать мощностью (кардинальным числом). Мощность конечного множества определяется числом его элементов. Понятие мощности позволяет сравнивать между собой два бесконечных множества, сопоставляя элементы любого из них элементам другого и образуя пары соответствующих элементов.

Множества А и В называются равными (А = В), если любой элемент одного из них принадлежит другому, т. е. А и В представляют собой одно и то же множество.

Множество называется подмножеством множества А, если любой элемент множества принадлежит множеству А. Записывается так:

Множество I, которое включает в себя все множества, участвующие в рассмотрении конкретной задачи, называется полным, или универсальным, или

множеству I.

1.2. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествА или В. Объединение обозначается знаком È – «чашка». В соответствии с определением

C = A È B ={c | c Î A, или с Î B}.

Если А и В имеют общие элементы, то каждый из них берется вС только один раз. Объединение множеств иногда называют суммой множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множествА и В. Пересечение обозначается знаком Ç – «крышка»:

C = A Ç B ={c | c Î A и с Î B}.

Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.e. если A Ç B =Ø. Пересечение множеств иногда называют произведением множеств.

На рис. 1.2 заштрихованные области дают геометрическую интерпретацию операций объединения (а) и пересечения (б) множеств А и В.

B

Рис. 1.2

4

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множествуВ. Обозначается C = A \ B = {c | c Î A и с Ï B}.

Если B Ì A, то разность множеств А и В называется дополнением множе-

Дополнением множества А до универсального множестваI называется

множество A , определяемое из соотношения A = I \ A. .

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих в точности одному из множествА и В. Обозначается ADB , т. е. C = ADB ={c | c Î( A \ B) È (B \ A)}.

Операции симметрической разности и дополнения до универсального множества проиллюстрированы на рис. 1.4, а и б соответственно.

ства С, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) любое множество А из x является подмножеством множества С:

"AÎx ® A Í C ;

5

2) любые два множества Ai и Ак из x являются непересекающимися:

"AÎx ® Ai Ç Aк = Æ , при i ¹ к ;

3)объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество С:

ÈAi = A1 È A2 ÈKÈ An = C .

1.3. Законы и тождества алгебры множеств

Алгебра множеств представляет собой теоретико-множественный аналог обычной алгебры действительных чисел. В алгебре множеств рассматриваются основные свойства операций объединения È, пересечения Ç, дополнения – и связей между ними, которые заданы в универсальном множествеI. Для перечисленных операций справедливы следующие законы [2]:

1) коммутативности объединения и пересечения A È B = B È A, AÇ B = B Ç A;

A È B(B ÈC) = ( A È B) ÈC,

2) ассоциативности объединения и пересечения A È B(B ÇC) = ( A Ç B) ÇC;

3) дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения

A Ç B(B ÈC) = ( A Ç B) È( A ÇC),

относительно пересечения A È B(B ÇC) = ( A È B) Ç( A ÇC);

4)идемпотентности объединения и пересечения A È A = A, AÇ A = A;

5)де Моргана A È B = A Ç B, A Ç B = A È B ;

6)двойного дополнения A = A;

7) действия с универсальным I и пустым Æ множествами A È I = I; A Ç I = A;

AÈ A = I; AÈÆ = A; A Ç Æ = Æ ; A Ç A = Æ.

Законы 1) и 2) имеют аналоги в обычной алгебре в виде переместительного и сочетательного законов для операций сложения и умножения. Однако дистрибутивный закон не имеет аналога, так как замена сложения умножением и наоборот привела бы к абсурдному выражению а + (вс) = (а+в)(а+с).

Справедливость любого из этих законов можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака равенства.