3.3. Транспортная задача

ны: Cij = С(хi, xj) – пропускная способность дуги (хi, xj); dij = d(хi, xj) – стоимость доставки единицы потока по дуге (хi, xj). Требуется найти такое распределение потока j по дугам сети, которое обеспечивает минимальную стоимость прохождения потока.

Если рассматривать величины dij как длины соответствующих дуг, то задача минимизации стоимости прохождения потока j по сети сведется к решению рассмотренной ранее задачи нахождения кратчайшего пути в графе отх0 до хn.

При этом стоимость прохождения потока j по найденному пути будет равна произведению длины этого пути на величину потока j. Итак, если нет ограничений на пропускную способность дуг, кратчайший путь является путем, который обеспечивает минимальную стоимость прохождения потока.

При наличии ограничений на пропускные способности дуг нужно последовательно находить различные пути минимальной стоимости и пропускать потоки по ним до тех пор, пока суммарная величина потока по всем путям не будет равна заданной величине потока.

Рассмотрим алгоритм решения этой задачи при наличии ограничений на пропускные способности дуг.

Первый шаг. В исходной сети S1 с длинами дуг dij устанавливается кратчайший путь l1 от х0 до хn.

Второй шаг. Определяется пропускная способность пути l1 С1 = min Cij. По

При этом дуги, у которых С = О, исключаются из рассмотрения. Поток, распределение которого ищется в сетиS2, принимается равным j¢ = j - j1. Теперь

возникает первоначальная задача отыскания наиболее экономичного распределения потока j¢ в сети S2. Возвращаемся к шагам 1 и 2.

Четвертый шаг. Стоимость перевозки грузов по транспортной сети опре-

m k

деляется выражением Z = å å dij jij .

i =1 j =1

Разобранный метод решения транспортной задачи дает способ нахождения величин частичных потоков, минимизирующих сумму Z.

Пример 3.1. [4]. В сети, представленной на рис. 3.2, найти такое распределение потока j = 3 по дугам, которое обеспечивает минимальную стоимость

47

прохождения потока. Первое число, приписанное каждому ребру, соответствует пропускной способности с, а второе – стоимости d доставки единицы потока по ребру (j) из одной вершины в другую в любом направлении.

Итерация 1.

Первый шаг. Применяя алгоритм нахождения кратчайшего пути, опреде-

C1 = min{2, 1, 1} = 1, С2 = min{1, 1, 1} = 1. Дуга (х3, х5) с пропускной способно-

стью С35 = 1 является общей для обоих путей. Два потока она не пропустит. Выбираем первый путь. По этому пути протекает поток j1 =1. Будем рассматри-

вать его как частичный.

Третий шаг. Переходим к сети S2. Для этого определим пропускные спо-

1=0. Все остальные Cij¢ = Cij , так как соответствующие им дуги не принадлежат

рассматриваемому пути. Дуги C13 и С35 исключаем из рассмотрения(штриховые линии на рис. 3.2, б). Поток, распределение которого ищется в сетиS2, j¢ = j - j1 = 3 -1 = 2.

Рис. 3.2

Итерация 2.

Первый шаг. Находим кратчайший путь в сети S2. Это будет l2 = (x0, х1, х4,

х5) c d2 = 5.

Второй шаг. Пропускная способность этого пути С= min{l, 2, 2}=1. По

2

пути l2 пропускается поток j2 =1.

единице. Возвращаемся к исходному графу и суммируем частичные потоки. По дугам (х0. xi), (x1, х4) и (х4, х5) два раза пропускали потоки, равные единице. Поток по дугам (х3 x1) и (x1 х3) компенсировался.

48

Рассмотрим наиболее часто встречающийся вариант транспортной задачи

по критерию стоимости [1]. Однородный груз имеется в пунктахx1, x2,..., xn в количествах a1, а2,…, am . Его требуется доставить в пункты у1, у2,...,уr в количествах b1, b2,.., be. Предполагается, что общее количество требуемого груза равно имеющимся запасам:

Стоимость перевозки единицы потока из пункта хi в пункт уj равна dij. Требуется найти наиболее экономичные маршруты перевозки грузов.

Транспортная сеть, соответствующая этой задаче, строится следующим образом. Вход x0 соединяется с каждой из вершинхi дугой с пропускной способностью C01 = ai. Каждая из вершин уj соединяется с выходом хп дугой с пропускной способностью Cjn=bj. Стоимость прохождения потока по введенным дугам (x0, хi) и (yj, xn) считается равной нулю. Далее каждая вершина хi соединяется с каждой вершинойyj дугой с бесконечной пропускной способностью, стоимость прохождения единицы потока по которой равна dij.

Пример 3.2. [1]. Найти наиболее экономичные маршруты для транспортной задачи, заданной табл. 3.7.

Рис. 3.4

49