задающим нули, полюсы и коэффициент усиления системы. Например оператор формирует -объект, соот-

ветствующий передаточной функции =

При отсутствии нулей на их место записывается знак пусто [].

-форма информативней формы tf для человека и удобней для вычислений на ЭВМ. Нули и полюса отрицательны, если они вещественные, либо имеют отрицательную действительную часть.

При описании элементов и систем кроме входныхu(t) и выходных y(t) переменных можно выделить некоторые промежуточные переменныеx(t), которые связаны с внутренней структурой системы и называются переменными состояния. В параметрах пространства состояний система n-го порядка с одним входом и одним выходом описывается системой уравнений

(7.6)

Здесь A – квадратная матрица порядка , элементы которой определяются коэффициентами дифференциального уравнения, B – вектор-столбец постоянных коэффициентов, C – вектор-строка постоянных коэффициентов, D – одноэлементная матрица.

-форма представляет передаточную функцию в параметрах пространства состояний. Если объект с именем представлен в tf -форме, то переход к

- или -форме осуществляется командами или .

7.4. Передаточные функции различных соединений звеньев

При последовательном соединении звеньев с известными передаточными функциями W1(s), W2(s) ,…, Wn(s) (рис. 7.2) передаточные функции перемножаются:

. . .

Рис. 7.2. Последовательное соединение звеньев

При параллельном соединении звеньев с передаточными функциями W1(s), W2(s) ,…, Wn(s) (рис. 7.3) передаточные функции складываются

132

При охвате звена с передаточной функцией обратной связью с передаточной функцией (рис. 7.4)

где знак плюс соответствует отрицательной, а знак минус – положительной обратной связи. Если то обратная связь называется единичной.

)

)

M

Рис. 7.3. Параллельное соединение звеньев

Рис. 7.4. Охват звена обратной связью

7.5.Временные характеристики систем и их элементов

Квременным характеристикам линейных элементов и систем относятся переходная и импульсная переходная (весовая) функции.

Переходная функция – это функция, определяющая изменение выходной величины системы (или отдельного элемента) при воздействии на входе единичного ступенчатого сигнала 1(t) при нулевых начальных условиях.

Пусть сигнал 1(t) подается на устройство с передаточной функциейW(s) (рис. 7.5). Характер изменения h(t) определяется видом передаточной функции.

может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от изображения выходного сигнала:

133

1

б

a

Рис. 7.5. Получение переходной (а) и весовой (б) функции.

Импульсная переходная (или весовая) функция – это функция, определяющая изменение выходной величины системы (или отдельного элемента) при воздействии на входе дельта функции при нулевых начальных условиях.

Пусть сигнал подается на устройство с передаточной функцией (рис. 7.5, б). Изображение по Лапласу сигнала равно единице, Изображение по Лапласу сигнала на выходе таким образом передаточная функция является изображением весовой функции :

Переходная и импульсная переходная характеристики связаны между собой следующим образом:

Пример 7.1. Определить передаточную, переходную и весовую функции

звена, которое описывается дифференциальным уравнением

134

7.6. Понятие о частотных характеристиках систем и их элементов

Частотные характеристики определяют динамические свойства звеньев при воздействии на них гармонических сигналов. Если входное воздействие линейной стационарной системы(отдельного элемента) является гармонической функцией вида то выходной сигнал после окончания переходного процесса представляет собой гармоническую функцию той же частоты, но отличающуюся а общем случае по амплитуде и фазе, т. е. ). Комплексная передаточная функция – это отношение преобразования Фурье выходного гармонического сигнала к преобразованию Фурье входного гармонического сигнала при нулевых начальных условиях:

плитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ), она определяет изменение амплитуды и фазы выходного сигнала системы (отдельного элемента) в установившемся режиме по отношению к входному гармоническому воздействию.

(АЧХ), она показывает, во сколько раз амплитуда выходного гармонического сигнала отличается от амплитуды входного в зависимости от частоты сигнала.

135

называется фазовой частотной характеристикой(ФЧХ) и определяет сдвиг фазы между выходным и входным сигналами в зависимости от частоты.

Пример 7.2. Найти и построить частотные характеристики апериодиче-

ского звена с передаточной функцией , где – коэффициент уси-

ления, – постоянная времени.

Перейдем от в частотную область, делая подстановку :

Соответствующая АФЧХ изображена на рис. 7.6, а. Каждой точке харак-

теристики соответствует определенное значение частоты. Частота назы-

вектора, проведенного из начала координат в любую точку характеристики, определяет величину коэффициента усиления на соответствующей частоте. Угол характеризует сдвиг фаз между входным и выходным сигналом на этой же частоте. АЧХ определяется выражением:

Ее вид представлен на рис. 7.6, б. ФЧХ определяется выражением:

Ее вид показан на рис. 7.6, в.

jQ(w)

w®¥

в

Рис. 7.6. Частотные характеристики апериодического звена

136