На рис. 1.5 приведены диаграммы Эйлера-Венна, подтверждающие, что выражения в правой и левой части доказываемого закона определяют одно и то же множество.
A |
I |
A |
|
||
B |
|
B |
|
C |
|
C |
|
|
а) A È(B ÇC) |
|
б) (AÈ B) Ç(B ÇC) |
|
|
Рис. 1.5 |
Тождества алгебры множеств – это равенства, справедливые независимо от того, каково универсальное множество I и какие именно конкретные подмножества множества Т обозначаются входящими в эти равенства буквами. Законы алгебры множеств позволяют упрощать различные сложные выражения, доказывать тождества подобно тому, как это делается в алгебре. При этом сначала выполняется операция дополнения, затем пересечения и только затем операция объединения (разности). Для изменения этого порядка используют скобки.
Пример 1.2. Доказать тождество (X ÇY ) È(X ÇY ÇZ Ç L) È(L ÇY ) =Y . На основании дистрибутивного закона«вынесем» из каждой скобки Y , a
затем применим коммутативный закон, двойное дополнение и закон де Моргана. Тогда
Y Ç [( X Ç Z Ç L) È X È Z È L ] = Y Ç [(X Ç Z Ç L) È ( X È Z È L )] = = Y Ç [( X Ç Z Ç L) È ( X Ç Z Ç L)] = Y Ç I = Y.
Пример 1.3. Упростить выражение
[(A Ç B) \ C È A È B È C] Ç D = [(A Ç B Ç C ) È (A È B È C)] Ç D =
= [(A Ç B Ç C ) È (A È B È C)] Ç D = [(A È B È C) È (A È B È C)] Ç D = I Ç D = D.
1.4. Принцип двойственности
Пусть F ( A1,K, An ) – некоторая формула алгебры множеств, написанная с помощью символов Ç, È, -, пустого Æ и универсального I множеств.
Если есть операции \ и ∆, то их можно исключить с помощью формул
A \ B = A Ç B; ADB = ( A Ç B ) È (B Ç A).
Формулу F*(A1,…, An) называют двойственной, если она может быть получена из F, путем формальной замены символов Ç на È, È на Ç, Æ на I, I на Æ и, возможно, последующих преобразований.
7
Примеры двойственных формул:
F = ( A Ç B) È ( A Ç I ); F * = ( A È B) Ç ( A È Æ) .
Если F ( A1,..., An ) = F * ( A1,..., An ) , т. е. двойственные формулы тождествен-
ны, то F ( A1,..., An ) называется самодвойственной.
Пример самодвойственной формулы:
( A Ç B) È ( A Ç C) È (B Ç C) = ( A È B) Ç ( A È C) Ç (B È C).
Докажем ее, используя дистрибутивный закон:
[ A Ç (B È C)] È (B Ç C) = [(B Ç C) È A] Ç[(B Ç C) È (B È C)] = =[( A È B) Ç ( A È C)] Ç (B È C).
1.5. Уравнение с множествами
Наряду с тождествами алгебра множеств рассматривает уравнения, которые содержат фиксированные подмножества A1, A2 ,..., An и неизвестные, подлежащие определению подмножества X1, X 2 ,..., X m . В простейшем случае в уравнение входит только одно такое подмножество X .
Решение уравнения осуществляется в следующей последовательности:
1) если в уравнении есть правая часть, то равенство преобразуется в симметрическую разность его левой и правой частей, которая приравнивается пустому множеству; это возможно на основании равенстваА = B, если ADB = Æ
или (A Ç B) È ( A Ç B) = Æ ;
2) полученное уравнение преобразуется к виду(M Ç X ) È (N Ç X ) = Æ, где М и N – некоторые множества, не содержащие X;
3) объединение множеств пусто только при условии, что каждое из них также пустое множество, поэтому преобразованное уравнение можно заменить зависимой системой двух уравнений
ìM Ç X = Æ,
í
îN Ç X = Æ;
4) пара уравнений, а следовательно, и исходное уравнение имеет смысл, когда x Ì M и x Ì N или N Ì X . Если N Ì X и X Ì M , то N Ì M . Решением уравнения является любое множество X, такое, что N Ì X Ì M .
Пример 1.4. Найти множество X, если X È C = D . 1. Симметрическая разность имеет вид:
( X È C)DD = [( X È C) Ç D] È[( X È C) Ç D] = Æ . 2. Преобразуем выражение в квадратных скобках:
8
[( X È C) Ç D ] È [( X È C) Ç D] = ( X Ç D ) È (C Ç D ) È ( X Ç C Ç D) =
= ( X Ç D ) È [(C Ç D ) Ç ( X È X )] È ( X Ç C Ç D) =
= ( X Ç D ) È (C Ç D Ç X ) È (C Ç D Ç X ) È ( X Ç C Ç D) =
= X Ç [D È (C Ç D )] È X È [(C Ç D ) È (C Ç D)] =
=( X Ç D) È X Ç[(CDD)] = Æ.
3.Уравнение разбивается на два: D Ç X = Æ и (CDD) Ç X = Æ.
4. Так как X Ç D = Æ , x Ì D . В то же время CDD Ì X . Если C Ì D, то и
C Ç D = Æ и CDD = Æ È [(C Ç D)] = D Ç C = D \ C. Поэтому D \ C Ì x Ì D .
Следовательно, любое X, которое входит в D и |
||
содержит дополнение множества С до D, является |
||
решением уравнения X È C = D. |
|
|
Геометрическое |
решение |
иллюстрируется |
рис. 1.6. Множество X |
обязательно |
содержит -за |
штрихованную область и может включать любое подмножество из С.
I
C
D
Рис. 1.6
1.6. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств
Упорядоченным множеством, или кортежем, называется последовательность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Например, множество людей, стоящих в очереди, – множество слов в фразе. Число элементов кортежа называется его длиной. Для обозначения кортежа используются круглые скобки. Так, множество A = (a1, a2 ,..., an ) является кор-
тежем длины n с элементами a1, ..., an ) . Кортежи длины 2 называются парами,
или упорядоченными парами, кортежи длины 3 – тройками, 4 – четверками и т. д. В общем случае кортежи длины n называются n-ками.
Прямым декартовым произведением множествА и В называется множество, элементами которого являются упорядоченные пары(а, в), в которых первая компонента принадлежит множествуА, а вторая принадлежит множеству В [1]. Прямое произведение множеств обозначается А×В. Таким образом, по определению A ´ B ={(a, b) : a Î A, b Î A}. Если и
B ={b1,b2 ,b3 ,b4} , то A ´ B ={(a1, b1), (a1, b2 ), (a1, b3 ), (a1, b4 ),..., (a3 , b4 )} . Опе-
рация прямого произведения распространяется и на большее число множеств. Прямым произведением r множеств называется множество, состоящее
из кортежей длины r, первая компонента которых принадлежит первому мно-
жеству, вторая – второму, третья – третьему и т. д. |
|
|
|||
Пусть |
к |
предыдущему |
произведению |
добавится |
третий - сомнож |
тель D ={d1,d2,d3}, |
тогда декартово |
произведение A´ B´D ={(a1,b1,d1),(a1,b1,d2), |
|||
(a1,b1, d3), (a1,b2 , d1),..., (a3, b4 , d3 )} . Частным случаем операции прямого произ- |
|||||
ведения является |
понятие степеней множества. S-й |
степенью |
множества X, |
||
|
|
|
|
|
9 |
обозначаемой X, называется прямое произведение S одинаковых множеств, равных X.
Геометрической интерпретацией упорядоченной двойки (a1, a2 ) является
точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Компоненты a1 и a2 будут проекциями вектора на оси 1 и 2.
Пр1(а1, а2 ) = а1; Пр2 (а1, а2 ) = а2 |
(рис. 1.7). |
Пусть {X = 1, 2}, Y = 1, 3, 4}, тогда |
X ´Y ={(1, 1), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)} |
(рис. 1.8, а). Если Х и Y – отрезки вещественной оси, то прямое произведение – заштрихованная область (рис. 1.8, б). Кортеж (a1, a2 , a3 ) может рассматри-
ваться как точка в трехмерном пространстве или трехмерный вектор, проведенный из начала координат в эту точку.
2 |
|
4 |
|
|
a2 |
(a1, a2 ) |
3 |
|
Y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
y |
|
|
|
X |
|
|
a1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
x |
|
|
|
|||
|
Рис. 1.17 |
|
а |
б |
Рис. 1.8
1.7. Соответствия
Рассмотрим два множества X ={x1, x2 ,..., xn } и Y ={y1, y2 ,..., ym }. Если для элементов множества X указаны элементы множества Y, с которыми они сопоставляются, то говорят, что между множествами X и Y установлено со-
ответствие. При этом не обязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и Y. Соответствие q представляет собой тройку множеств q = (X, Y, Q), где X и Y – это множества, элементы которых сопоставляются.
Множество Q Í X ´Y определяет закон, по которому осуществляется соответствие, т. е. перечисляет все пары, участвующие в сопоставлении. Для каж-
дого q = (X, Y, Q) можно указать обратное соответствиеq-1 =(X,Y,Q-1), где
Q-1 = Y ´ X .
Композицией соответствий называется последовательное применение двух или более соответствий. Геометрическое представление прямого и обратного соответствий показано на рис. 1.9, а и б соответственно.
10