Умножим 
на 
и проинтегрируем в плоскости 
по любому замкнутому контуру, на котором и вне которого
не имеет полюсов и является аналитической функцией. Тогда
где |
точки, в которых функция |
имеет полюсы. |
|
|
|
Значение интеграла равно сумме вычетов |
подинтегрального |
выражения |
|
|
в его особых точках. В |
технических |
приложениях |
является |
дробно-рациональной функцией 
. Особыми точками дробно-рациональных функций являются их полюсы, т. е. те точки, в которых дробь обращается в бесконечность.
Для перехода к оригиналу часто прибегают к разложению на простые дроби и пользуются затем таблицами соответствия для нахождения оригиналов для каждой дроби.
7.17. Уравнения состояния и моделирование дискретных систем
Разностное уравнение 
-го порядка
.
может быть представлено в виде системы 
разностных уравнений 1-го порядка в матричном виде
и матричным уравнением типа вход–состояние–выход
Правила нахождения матриц 
те же, что и в случае непрерывных систем.
Рассмотрим однородное нестационарное дискретное разностное уравнение
.
Если начальные условия заданы, то имеем
,
.
и так далее, так что
166
Определим дискретную переходную матрицу состояния с помощью соот-
ношений: |
|
|
1) |
. Она описывает |
процесс перехода системы из |
-го состояния в состояние ; |
|
|
2) |
. |
|
Тогда по определению |
. |
|
Сравнивая (1) и (2), найдем, что |
|
|
Если 
, т. е. постоянная матрица, то 
и для ее вычисления можно использовать теорему Кэли-Гамильтона.
Дискретная матрица перехода удовлетворяет следующим свойством
, 
.
Зная матрицу перехода, можно записать полное решение дискретного уравнения состояния
Рассмотрим принципы моделирования линейных разностных уравнений. Основными звеньями, необходимыми для построения схемы моделирова-
ния служат сумматор, усилитель и звено задержки. Сумматор и усилитель – те же звенья, что и в непрерывных системах. Блок задержки для разностных уравнений в некотором смысле аналогичен интегрирующему звену для дифференциальных уравнений, в нем осуществляется временная задержка на интервал дискретизации 
.
Пример 7.8. Записать уравнение состояния и построить схему моделирования системы, описываемой разностным уравнением
Выразим 
и изобразим схему моделирования, представленную на рис. 7.23.
+
- 
Звено задержки Звено задержки
-
a
b
Рис. 7.23. Схема моделирования к примеру 7.8
167
Количество последовательно включенных звеньев задержки определяется порядком системы, в данном случае их две. Входные и выходные сигналы этих звеньев подписаны на рисунке, схема замкнута, исходя из условия удовлетво-
рения разностному уравнению.
В качестве переменных состояния 
и 
обозначим выходы звеньев задержки, т. е. 
. Тогда 
,
или
,
где |
, |
, |
, |
168