Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.А. КЛЯЧИН, А.Г. ЛОСЕВ, В.М. МИКЛЮКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В КРАТКОМ ИЗЛОЖЕНИИ
Учебное пособие для студентов и преподавателей
Волгоград 2009
УДК 517.1 ББК 22.161.0я73
К
Данная работа является объектом авторского права и находится под охраной Закона РФ "Об авторском праве и смежных правах". Использование данной работы или любой ее части без ссылок на авторов запрещается. Нарушители авторских прав авторов настоящей работы могут быть подвергнуты административному или уголовному преследованию в порядке ст. 7.12 КоАП РФ (Нарушение авторских и смежных прав). Защита авторских прав осуществляется силами коллектива студентов юридического факультета Волгоградского государственного университета.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Е.А.Щербаков; кандидат физико-математических наук А.Ю. Игумнов.
Клячин А.А., Лосев А.Г., Миклюков В.М. Математический анализ в кратком изложении: Учеб-
ное пособие. – Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2009.– 750 с.
Настоящее пособие составлено в соответствии с программой курса "Математический анализ" — важнейшего базового курса, целью изучения которого является закладка фундамента математического образования. Пособие содержит основные понятия и факты, изучаемые на первых курсах специальностей "Математика", "Прикладная математика и информатика", "Математическое обеспечение и администрирование информационных сетей", "Физика", "Математические методы в экономике", а также других специальностей, предполагающих углубленное изучение математики.
c А.А. Клячин, А.Г. Лосев, В.М. Миклюков, 2009
Содержание
Предисловие |
15 |
||
1 |
Предел последовательности |
16 |
|
|
§1 |
Множества и операции над ними . . . . . . . . |
16 |
|
§2 |
Множества на числовой прямой . . . . . . . . |
18 |
|
§3 |
Понятия последовательности и ее предела . . . |
23 |
|
§4 |
Простейшие свойства |
26 |
|
|
предела последовательности . . . . . . . . . . . |
|
|
§5 |
Предельный переход и неравенства . . . . . . . |
28 |
|
§6 |
Бесконечно малые |
29 |
|
|
и бесконечно большие последовательности . . |
|
|
§7 |
Предельный переход |
32 |
|
|
и арифметические операции . . . . . . . . . . . |
|
|
§8 |
Некоторые часто встречающиеся |
35 |
|
|
последовательности . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§9 |
Монотонные последовательности . . . . . . . . |
38 |
|
§10 |
Принцип вложенных отрезков . . . . . . . . . |
40 |
|
§11 |
Число "e". Натуральные логарифмы . . . . . |
41 |
|
§12 |
Подпоследовательности. Частичные пределы по- |
44 |
|
|
следовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§13 |
Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
2 |
Предел функции |
49 |
|
|
§1 |
Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
|
§2 |
Некоторые функции одной переменной . . . . |
53 |
|
§3 |
Точные грани, максимум и минимум функции |
57 |
|
§4 |
Пределы функции по Коши и по Гейне . . . . |
58 |
|
§5 |
Первый "замечательный" предел . . . . . . . . |
60 |
|
§6 |
Простейшие свойства предела функции. |
62 |
|
|
Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§7 |
Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
§8 |
Второй "замечательный" предел . . . . . . . . |
66 |
|
§9 |
Критерий Коши существования |
68 |
|
|
предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
4 |
|
Содержание |
|
3 |
Непрерывные функции |
70 |
|
|
и их свойства |
||
|
§1 |
Непрерывность и разрывы функции . . . . . . |
70 |
|
§2 |
Условие непрерывности и точки разрыва |
72 |
|
|
монотонной функции . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§3 |
Непрерывность обратной функции . . . . . . . |
73 |
|
§4 |
Теорема об обращении функции в нуль . . . . |
74 |
|
§5 |
Теорема о промежуточном значении . . . . . . |
76 |
|
§6 |
Существование максимума и минимума |
77 |
|
|
непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§7 |
Понятие равномерной непрерывности . . . . . |
78 |
|
§8 |
Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
|
§9 |
Обобщения понятия предела функции . . . . . |
80 |
|
§10 |
Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
82 |
|
§11 |
Асимптотические формулы. Классификация бес- |
83 |
|
|
конечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§12 |
Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . |
88 |
4 |
Производная |
91 |
|
|
§1 |
Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
|
§2 |
Примеры вычисления производных . . . . . . |
95 |
|
§3 |
Производная обратной функции . . . . . . . . |
97 |
|
§4 |
Производные обратных тригонометрических |
98 |
|
|
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§5 |
Дифференцируемость и непрерывность . . . . |
99 |
|
§6 |
Правила вычисления производных . . . . . . . |
101 |
|
§7 |
Производная сложной функции . . . . . . . . . |
103 |
|
§8 |
Производные высших порядков. |
103 |
|
|
Формула Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§9 |
Производная функции, заданной в параметри- |
106 |
|
|
ческом виде. Логарифмическая производная . |
|
|
§10 |
Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
108 |
|
§11 |
Дифференциалы высших порядков. Инвариант- |
110 |
|
|
ность формы первого дифференциала . . . . . |
|
5 Основные теоремы дифференциального исчис- |
|||
|
ления |
113 |
|
|
§1 |
Необходимое условие локального экстремума . |
113 |
|
§2 |
Условие обращения в нуль производной |
115 |
|
|
(теорема Ролля) . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§3 |
Первая теорема "о среднем" дифференциаль- |
117 |
|
|
ного исчисления (формула Лагранжа) . . . . . |
|
|
§4 |
Некоторые следствия из формулы Лагранжа . |
118 |
4.1Условия постоянства функции . . . . . 118
4.2Условия монотонности функции . . . . 118
4.3 |
Условие Липшица . . . . . . . . . . . . |
119 |
§5 Вторая разность . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
|
Содержание |
|
5 |
§6 Вторая теорема "о среднем" дифференциаль- |
121 |
|
ного исчисления (формула Коши) . . . . . . . |
||
§7 Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
122 |
|
§8 Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
8.1 |
Раскрытие неопределенностей вида 00 . |
123 |
8.2Раскрытие неопределенностей вида ∞∞ . 126
8.3Раскрытие неопределенностей других видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§9 Приближенное вычисление корней уравнений . 129
9.1Метод итераций . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2Метод касательных . . . . . . . . . . . . 132
|
9.3 |
Метод хорд . . . . . . . . . . . . . . . . |
133 |
6 Формула Тейлора |
134 |
||
§1 |
Производные многочлена |
134 |
|
§2 |
и его разложение по степеням . . . . . . . . . . |
||
Формула Тейлора с остаточным членом |
|
||
вформе Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 §3 Формула Тейлора с остаточным членом
вформе Лагранжа и в форме Коши . . . . . . 138 §4 Примеры разложения функций по формуле
Маклорена. Использование в приближенных вычислениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§5 Приложения формулы Тейлора к
|
|
исследованию графиков функций . . . . . . . |
141 |
7 |
Выпуклые функции |
143 |
|
|
§1 |
Понятие выпуклой функции . . . . . . . . . . |
143 |
|
§2 |
Простейшие свойства выпуклых функций . . . |
144 |
|
§3 |
Условия выпуклости . . . . . . . . . . . . . . . |
146 |
|
§4 |
Неравенство Иенсена . . . . . . . . . . . . . . . |
149 |
|
§5 |
Замечания о построении графика функции . . |
150 |
8 |
Неопределенный интеграл |
151 |
|
|
§1 |
Понятие неопределенного интеграла . . . . . . |
151 |
|
§2 |
Замена переменной |
153 |
|
§3 |
в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . |
|
|
Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . |
154 |
|
|
§4 |
Простые дроби и их интегрирование . . . . . . |
157 |
|
§5 |
Разложение правильных дробей на простые . . |
158 |
|
§6 |
Интегрирование дробно-линейных |
162 |
|
§7 |
иррациональностей . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . |
164 |
|
|
§8 |
Интегрирование тригонометрических |
168 |
|
§9 |
выражений. Универсальная подстановка . . . |
|
|
Замечания об эллиптических интегралах . . . |
169 |
|
|
§10 |
Биномиальные дифференциалы. |
170 |
|
|
Теорема Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
6 |
|
|
Содержание |
|
|
§11 |
Метод Остроградского выделения |
173 |
|
|
|
рациональной части интеграла . . . . . . . . . |
||
9 |
Определенный интеграл |
177 |
||
|
§1 |
Понятие определенного интеграла . . . . . . . |
177 |
|
|
§2 |
Геометрический смысл определенного |
178 |
|
|
|
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
|
§3 |
Физический смысл определенного интеграла . |
179 |
|
|
§4 |
Пример неинтегрируемой по Риману функции |
181 |
|
|
§5 |
Ограниченность интегрируемых по Риману |
181 |
|
|
|
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
|
§6 |
Понятие несобственного интеграла . . . . . . . |
182 |
|
|
§7 |
Суммы Дарбу, их геометрический смысл. |
183 |
|
|
|
Верхний и нижний интегралы Дарбу . . . . . |
||
|
§8 |
Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
186 |
|
|
§9 |
Критерий интегрируемости функции |
189 |
|
|
|
по Риману . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
|
§10 |
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . |
190 |
|
|
|
10.1 |
Интегрируемость непрерывных функций |
190 |
|
|
10.2 |
Интегрируемость кусочно-непрерывных |
191 |
|
|
|
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
10.3 |
Интегрируемость монотонных функций |
192 |
10 |
Свойства интегрируемых функций |
193 |
||
|
§1 |
Свойства определенного интеграла . . . . . . . |
193 |
|
|
|
1.1 |
Аддитивность определенного интеграла |
193 |
|
|
1.2 |
Интеграл по ориентированному отрезку |
194 |
|
§2 |
Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . |
196 |
|
|
§3 |
Теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . |
199 |
|
|
§4 |
Обобщенная теорема о среднем . . . . . . . . . |
200 |
|
|
§5 |
Определенный интеграл с переменным |
201 |
|
|
|
верхним пределом . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
5.1Непрерывность по верхнему пределу . . 201
5.2Дифференцируемость по переменному верхнему пределу . . . . . . . . . . . . . 202
5.3Интегрируемая по Риману функция, не
имеющая первообразной . . . . . . . . . . . . . . 203
5.4Неинтегрируемая по Риману функция, имеющая первообразную . . . . . . . . . . . . . . 204
§6 Связь определенного интеграла с неопределен- |
204 |
ным. Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . |
|
§7 Замена переменной в определенном интеграле |
205 |
§8 Интегрирование по частям в определенном |
207 |
интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§9 Формула Валлиса . . . . . . . . . . . . . . . . . |
207 |
Содержание |
7 |
§10 Приближенные методы вычисления |
209 |
определенного интеграла . . . . . . . . . . . . |
|
10.1 Формула прямоугольников . . . . . . . |
210 |
10.2Формула трапеций . . . . . . . . . . . . 212
10.3 Формула парабол (формула Симпсона) |
214 |
11 Приложения определенного интеграла |
216 |
§1 Кривые и дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
216 |
1.1Уравнения касательной и нормали к кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
1.2Длина дуги . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1.3Вычисление длины дуги в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1.4Длина непараметрической дуги . . . . . 223
|
1.5 |
Длина дуги в полярных координатах . |
223 |
§2 |
Площадь криволинейной трапеции . . . . . . . |
225 |
|
§3 |
Площадь криволинейного сектора . . . . . . . |
227 |
|
§4 |
Фигуры вращения . . . . . . . . . . . . . . . . |
230 |
|
§5 Поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . |
232 |
||
§6 |
Некоторые приложения из механики . . . . . . |
233 |
|
|
6.1 |
Масса неоднородного стержня . . . . . |
233 |
|
6.2 |
Центр тяжести неоднородного стержня |
234 |
6.3Работа переменной силы . . . . . . . . . 235
12 Функции нескольких переменных |
237 |
|
§1 |
Евклидово пространство Rn. Неравенства |
237 |
|
Коши и Минковского . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§2 |
Топология пространства Rn . . . . . . . . . . . |
239 |
§3 |
Ограниченные множества. Теорема Больцано – |
|
|
Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости |
243 |
|
последовательности . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§4 |
Предел и непрерывность функции нескольких |
244 |
|
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§5 |
Повторные пределы . . . . . . . . . . . . . . . |
246 |
§6 |
Основные свойства непрерывных функций |
249 |
|
нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . |
|
§7 |
Понятие области. Теорема об обращении |
250 |
|
функции в нуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§8 |
Частные производные . . . . . . . . . . . . . . |
251 |
§9 |
Полный дифференциал . . . . . . . . . . . . . |
252 |
§10 |
Условия существования полного |
254 |
|
дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§11 |
Равенство смешанных производных. Конечно- |
|
|
разностная аппроксимация частных производ- |
256 |
|
ных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . |
|
§12 |
Частные производные сложной функции . . . |
258 |
8 |
Содержание |
§13 Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
§14 Дифференциалы высшего порядка . . . . . . . 262 §15 Однородные функции. Формула Эйлера . . . . 263 §16 Производная по направлению и градиент . . . 264 §17 Формула Тейлора для функций нескольких пе-
ременных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 §18 Необходимые условия локального экстремума
функции нескольких переменных . . . . . . . . 269 §19 Достаточные условия локального экстремума функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . 270
§20 Линии уровня функции двух переменных и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
§21 Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . 281 §22 Понятие об условном экстремуме. Правило неопре-
деленных множителей Лагранжа . . . . . . . . 284
13 Числовые ряды |
288 |
|
§1 |
Понятие числового ряда . . . . . . . . . . . . . |
288 |
§2 |
Простейшие теоремы о числовых рядах . . . . |
290 |
§3 |
Критерий Коши для числовых рядов . . . . . |
292 |
§4 |
Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . |
295 |
§5 |
Ряды с неотрицательными членами . . . . . . |
298 |
§6 |
Интегральный признак сходимости . . . . . . . |
304 |
§7 |
Признаки сходимости Коши и Даламбера . . . |
307 |
§8 |
Теорема Лейбница. Абсолютная |
312 |
|
и неабсолютная сходимость . . . . . . . . . . . |
|
§9 |
Арифметические операции над рядами . . . . |
316 |
§10 |
Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . |
317 |
§11 |
Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . |
320 |
§12 |
Перестановки абсолютно сходящихся рядов . . |
324 |
§13 |
Повторные и двойные ряды . . . . . . . . . . . |
326 |
§14 |
Ряды векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
328 |
§15 |
Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . |
330 |
14 Функциональные последовательности и ряды 332
§1 Равномерная сходимость функциональных по- |
332 |
следовательностей и функциональных рядов . |
|
§2 Признаки равномерной сходимости |
|
функциональных последовательностей |
335 |
и функциональных рядов . . . . . . . . . . . . |
|
§3 Критерий Коши равномерной сходимости |
|
функциональной последовательности |
338 |
и функционального ряда . . . . . . . . . . . . |
|
§4 Непрерывность суммы функционального ряда |
339 |
§5 Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
341 |
Содержание |
9 |
|
§6 |
Перестановка предельных переходов |
343 |
§7 |
в равномерно сходящейся последовательности |
|
Равномерная сходимость и интегрирование . . |
345 |
|
§8 |
Равномерная сходимость |
347 |
§9 |
и дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . |
|
Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . |
349 |
|
§10 |
Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . |
351 |
§11 |
Аналитические функции вещественного |
353 |
§12 |
переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Ряды Тейлора и Маклорена. Условие предста- |
|
|
|
вимости бесконечно дифференцируемой |
354 |
§13 |
функции рядом Маклорена или Тейлора . . . |
|
Разложения функций ex, sin x, cos x в ряд Ма- |
357 |
|
§14 |
клорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Разложение функции y = arctgx в ряд Маклорена360 |
||
§15 |
Разложение функции y = ln(1 + x) |
361 |
§16 |
в ряд Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Биномиальный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . |
362 |
|
§17 Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . |
364 |
|
15 Несобственные интегралы |
368 |
|
§1 |
Несобственные интегралы с бесконечными |
368 |
§2 |
пределами интегрирования . . . . . . . . . . . |
|
Несобственные интегралы от неограниченных |
|
|
|
функций. Критерий Коши сходимости |
372 |
§3 |
несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . |
|
Абсолютная сходимость несобственного |
374 |
|
§4 |
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Условная сходимость |
378 |
|
§5 |
несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . |
|
Главное значение несобственного интеграла . . |
380 |
|
16 Ряды Фурье |
383 |
|
§1 |
Ортонормированные системы функций . . . . |
383 |
§2 |
Система Уолша . . . . . . . . . . . . . . . . . |
385 |
§3 |
Понятие ряда Фурье по ортонормированной си- |
387 |
§4 |
стеме функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Свойство минимальности отрезков ряда |
|
|
|
Фурье. Неравенство Бесселя. Сходимость |
389 |
§5 |
"в среднем". Равенство Парсеваля . . . . . . . |
|
Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . |
392 |
|
§6 |
Теорема о локализации . . . . . . . . . . . . . |
396 |
§7 |
Представление 2π-периодической функции |
398 |
§8 |
рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Представление функции рядом Фурье |
402 |
|
§9 |
на отрезке [−π, π] . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Представление функции рядом Фурье |
404 |
|
|
на произвольном отрезке . . . . . . . . . . . . |
|
10 |
Содержание |
|
§10 |
Теорема Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
405 |
§11 |
Полнота тригонометрической |
409 |
§12 |
системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Связь между алгебраическими |
|
|
|
и тригонометрическими многочленами. |
411 |
§13 |
Многочлены Чебышева . . . . . . . . . . . . . |
|
Теорема Вейерштрасса (о равномерном |
|
|
|
приближении непрерывной функции |
412 |
§14 |
многочленами) . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Другие доказательства |
413 |
|
§15 |
теоремы Вейерштрасса. . . . . . . . . . . . . . |
|
Замкнутость тригонометрической |
415 |
|
§16 |
системы функций. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
Комплексная форма записи ряда Фурье . . . . |
418 |
|
§17 |
Дифференцирование и интегрирование рядов Фу- |
|
|
рье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
420 |
17 Интегралы, зависящие от параметра |
424 |
|
§1 |
Семейства функций, зависящих от параметра |
424 |
§2 |
Перестановка предельных переходов в семей- |
427 |
§3 |
ствах функций, зависящих от параметра . . . |
|
Предельный переход под знаком интеграла . . |
429 |
|
§4 |
Дифференцирование под знаком интеграла . . |
430 |
§5 |
Обобщенная формула Лейбница |
|
|
(случай, когда пределы интегрирования |
|
§6 |
зависят от параметра) . . . . . . . . . . . . . . |
432 |
Интегрирование интеграла, зависящего |
434 |
|
|
от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
18 Несобственные интегралы, зависящие от параметра 437
§1 Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку . 437
§2 Критерий Коши и достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
§3 Понятие равномерной сходимости интегралов с конечными пределами . . . . . . . . . . . . . . 441
§4 Предельный переход по параметру под знаком несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . 443
§5 Интегрируемость несобственного интеграла по параметру (случай конечных пределов интегрирования) . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
§6 Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай бесконечного предела интегрирования) . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
§7 Дифференцирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . 451