Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf
81
sWOJSTWO OTOBRAVENIQ FUNKCIEJ w = f(z), IME@]EJ W TO^KE z0 NE RAWNU@ NUL@ PROIZWODNU@ f0(z0), | PEREWODITX STQGIWA@]IESQ K TO^KE z0 TREUGOLXNIKI (I DRUGIE FIGURY)
W FIGURY, W PREDELE IM PODOBNYE (I ODINAKOWO S NIMI ORI-
ENTIROWANNYE) | NAZYWA@T KONFORMNOSTX@1 OTOBRAVENIQ
(W TO^KE z0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|KWIWALENTNO KONFORMNOSTX OTOBRAVENIQ w = f(z) |
(W |
||||||||||
TO^KE z0 ) OZNA^AET WYPOLNENIE SLEDU@]IH DWUH USLOWIJ. |
|
||||||||||
\COHRANENIE UGLOW |
" 2. pUSTX TO^KI z1 I z2 STREMQTSQ K |
||||||||||
|
|
||||||||||
TO^KE z0 TAK, ^TO arg Mz1 |
! 1, A arg Mz1 |
! 2 (NAGLQDNO |
|||||||||
\TO SOOTWETSTWUET STREMLENI@ TO^EK z1 |
I z2 K TO^KE z0 |
||||||||||
WDOLX \LINIJ", IME@]IH W TO^KE z0 KASATELXNYE, WYHODQ- |
|||||||||||
]IE IZ NEE POD UGLAMI, SOOTWETSTWENNO, 1 |
I 2 K DEJSTWI- |
||||||||||
TELXNOJ OSI |
). |
tOGDA |
( |
ESLI |
f0(z0 )6=0) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Mw1 |
|
|
|
Mw1 |
+Mz1 ! arg f0(z0) + 1 |
|
|
argMw1 = arg |
|
Mz1 Mz1 = arg |
Mz1 |
, |
|||||||
|
|
|
|
Mw |
|
|
|
Mw |
+Mz2 ! arg f0(z0) + 2 |
|
|
argMw2 = arg;Mz22 Mz2 = arg;Mz22 |
, |
||||||||||
IZ ^EGO SLEDUET WYWOD |
PRI UKAZANNOM STREMLENII TO^EK |
z1 |
|||||||||
|
|
|
; |
|
|
: |
; |
|
|
|
|
I z2 K TO^KE z0 |
TO^KI w1 = f(z1) I w2 = f(z2) STREMQTSQ K |
||||||||||
TO^KE w0 = f(z0) WDOLX \LINIJ", UGOL PERESE^ENIQ KOTORYH (W TO^KE w0) RAWEN UGLU PERESE^ENIQ (W TO^KE z0) \LINIJ", WDOLX KOTORYH STREMQTSQ K TO^KE z0 TO^KI z1 I z2 (PRI ODNOM I TOM VE NAPRAWLENII OTS^ETA UGLOW RIS. 22).
1 sFORMULIROWANNOE SWOJSTWO OTMETIL gAUSS W RABOTE 1822 G. ([33],
Bd. IV, S. 189{216), OHARAKTERIZOWAW EGO KAK \PODOBIE W MALOM" (\in den kleinsten Theilen ahnlich") S WKL@^ENIEM \TOGO TERMINA W SAMOE NAZWA- NIE RABOTY. pOZDNEE (W 1844 G.) ON NAZWAL \TO SWOJSTWO KONFORMNOSTX@
OTOBRAVENIQ ([33], Bd. IV, S. 262) LAT. conformis | SHODNYJ, PODOB-
NYJ.
2 s WER[INOJ W TO^KE z0. CRAZU SLEDUET OTMETITX, ^TO ODNOGO \SO- HRANENIQ UGLOW" W TO^KE z0 E]E NEDOSTATO^NO DLQ KONFORMNOSTI OTO- BRAVENIQ W UKAZANNOJ TO^KE (PRIMER IZ UPRAVNENIQ 4 NA S. 87).
82
rIS. 22
\pOSTOQNSTWO RASTQVENIQ". eSLI lim jMwj = jf0(z)j 6= 0,
Mz!0 jMzj
TO KAKIM BY MALYM NI BYLO ^ISLO ">0, NERAWENSTWA
;jf0(z)j;" jMzj < jMwj < (jf0(z)j+")jMzj
WYPOLNQ@TSQ DLQ WSEH WYHODQ]IH IZ TO^KI z0 NENULEWYH WEKTOROW Mz DOSTATO^NO MALOJ DLINY WNE ZAWISIMOSTI OT
IH NAPRAWLENIJ. |TO OZNA^AET, ^TO W PREDELE PRI Mz |
|
0 |
|||
OTOBRAVENIE z |
!7 |
1 |
z W ODNO I |
||
|
w IZMENQET DLINY WEKTOROW |
||||
M |
|
M |
M |
! |
|
TO VE ^ISLO (jf0(z0)j) RAZ. kAK SLEDSTWIE, PRI L@BOM STREMLENII TO^EK z1 z2 K TO^KE z0 S USLOWIEM, ^TO OTNO[ENIE DLIN WEKTOROW Mz1 Mz2 OSTAETSQ RAWNYM (ILI STREMITSQ K) NEKOTOROMU ^ISLU , OTNO[ENIE DLIN WEKTOROW Mw1 Mw2 STREMITSQ K TOMU-VE ^ISLU .
w ^ASTNOSTI, OKRUVNOSTX S CENTROM z0 DOSTATO^NO MALOGO RADIUSA r OTOBRAVENIEM w=f(z) PREOBRAZUETSQ W PODMNOVESTWO2 KOLXCA S CENTROM w0, OBA RADIUSA KOTOROGO (WNE[NIJ I WNUTRENNIJ) \KWIWALENTNY jf0(z0)jr PRI r ! 0, A SLEDOWATELXNO, ^TO SU]ESTWENNO, [IRINA
1 ~ISLO jf0(z0)j IMEET PO\TOMU SMYSL KO\FFICIENTA LOKALXNOGO RASTQVENIQ W TO^KE z0 PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ w =f(z).
2 |TO PODMNOVESTWO (ESLI OTNOSITELXNO FUNKCII w=f(z) PREDPO- LAGATX LI[X SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ W TO^KE z0) NE OBQZANO BYTX \NEPRERYWNOJ LINIEJ".
83
\TOGO KOLXCA QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ BOLEE WYSOKOGO PORQDKA PO SREWNENIE@ S EGO RADIUSAMI PRI r ! 0 (RIS. 23).
rIS. 23
sWOJSTWO KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ w = f(z) (W TO^- KAH, GDE f0(z) =6 0) I EGO NARU[ENIE (W TO^KAH, GDE f0(z) = 0) ILL@STRIRUET NA PROSTYH PRIMERAH RIS. 14 (S. 57)1. w ^AST- NOSTI, PRI OTOBRAVENII RASTWORY UGLOW, WYHODQ]IH IZ TO^KI 0, UWELI^IWA@TSQ W DWA RAZA, A WEKTORY Mz I Mz PEREHODQT W WEKTORY, RAZLI^A@]IESQ PO DLINE W 2 RAZ (HO- TQ PRI \TOM KAVDAQ OKRUVNOSTX S CENTROM 0 PEREHODIT W
OKRUVNOSTX).
gIDROMEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ
pUSTX W NEKOTOROJ ^ASTI PROSTRANSTWA ZADANO WEKTORNOE POLE, PO SMYSLU QWLQ@]EESQ POLEM SKOROSTEJ ^ASTIC VIDKOSTI. pREDPOLAGAET- SQ, ^TO
A) POLE QWLQETSQ PLOSKOPARALLELXNYM: WSE WEKTORY PARALLELXNY FIKSIROWANNOJ PLOSKOSTI (PRINIMAEMOJ ZA PLOSKOSTX KOORDINAT x y ILI KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX PEREMENNOJ z = x + iy) I NE ZAWISQT OT RASSTOQNIQ DO \TOJ PLOSKOSTI
1 sLEDUET POD^ERKNUTX LOKALXNOSTX cWOJSTWA KONFORMNOSTI: QW- LQQSX KONFORMNYM W OTDELXNO WZQTYH TO^KAH, OTOBRAVENIE w = f(z) MOVET SU]ESTWENNO IZMENITX FORMU FIGURY W CELOM (^TO I WIDNO NA RIS. 14).
84
B) PROEKCIQ NA UKAZANNU@ PLOSKOSTX TOJ ^ASTI PROSTRANSTWA, W KOTOROJ ZADANO POLE, QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ OBLASTX@1
W) POLE2 QWLQETSQ BEZWIHREWYM
pERWOE PREDPOLOVENIE POZWOLQET ZAPISATX POLE W WIDE v = fp qg,
GDE p=p(x y) q =q(x y) | FUNKCII, IME@]IE NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I y W UPOMQNUTOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI.
pREDPOLOVENIE O TOM, ^TO WEKTORNOE POLE QWLQETSQ BEZWIHREWYM I NE IMEET ISTO^NIKOW (I STOKOW), OZNA^AET WYPOLNENIE RAWENSTW
@x@q = @y@p (rotv=0) |
I |
|
@x@p =; @y@q (divv=0). |
|
|
|||||||||
wWIDU ODNOSWQZNOSTI OBLASTI, GDE SPRAWEDLIWY \TI RAWENSTWA, |
||||||||||||||
IZ NIH WYWODITSQ3, SOOTWETSTWENNO, ^TO pdx +qdy = du, A |
; |
qdx + |
||||||||||||
pdy = dv DLQ NEKOTORYH FUNKCIJ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
u = u(x y) I v = v(x y). pERWU@ |
|||||||||||||
IZ NIH NAZYWA@T |
POTENCIALXNOJ FUNKCIEJ |
(SKOROSTI), A WTORU@ | |
||||||||||||
FUNKCIEJ TOKA |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kAK SLEDSTWIE, |
@u |
=p, |
@u |
=q, |
@v |
=;q, |
@v |
=p, W SILU ^EGO FUNK- |
||||||
@x |
@y |
@x |
@y |
|||||||||||
CII u = u(x y) I v = v(x y) |
UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM kO[I{rI- |
|||||||||||||
MANA, A POTOMU | SOGLASNO USTANOWLENNOMU KRITERI@ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ (S. 73) | PREDSTAWLQ@T SOBOJ, SOOTWETSTWENNO, DEJSTWI-
TELXNU@ I MNIMU@ ^ASTI NEKOTOROJ FUNKCII w = f(z) KOMPLEKSNOJ
PEREMENNOJ z =x+iy, IME@]EJ (W KAVDOJ TO^KE UPOMQNUTOJ ODNOSWQZ-
NOJ OBLASTI) PROIZWODNU@ f0(z)= @(u+iv) =p;iq.
@x
|TA FUNKCIQ w = f(z) (OPREDELQEMAQ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNO-
GO KOMPLEKSNOGO SLAGAEMOGO) NAZYWAETSQ KOMPLEKSNYM POTENCIALOM WEKTORNOGO POLQ v = fp qg: NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI SWQZX MEVDU NIMI WYRAVAETSQ RAWENSTWOM f0(z) = v. |KWIWALENTNO: MODULX PRO- IZWODNOJ KOMPLEKSNOGO POTENCIALA WYRAVAET ABSOL@TNU@ WELI^INU
1 pODROBNO PONQTIE ODNOSWQZNOJ OBLASTI OBSUVDAETSQ NIVE (X,
S. 149{151), SUTX VE ODNOSWQZNOSTI SOSTOIT W TREBOWANII, ^TO ESLI
GRANICA KAKOJ-LIBO PLOSKOJ FIGURY PRINADLEVIT OBLASTI, TO I SAMA
\TA FIGURA PRINADLEVIT \TOJ OBLASTI.
2 eGO KOMPONENTY PREDPOLAGA@TSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYMI FUNKCIQMI TO^KI.
3 pRIMENENIEM FORMULY gRINA K MNOGOUGOLXNIKAM.
4 oPREDELQEMYH S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO. eSLI NE TREBOWATX ODNOSWQZNOSTI OBLASTI, TO \TI FUNKCII MOGUT OKAZATXSQ
MNOGOZNA^NYMI.
85
SKOROSTI POTOKA, A EE ARGUMENT | WZQTYJ S OBRATNYM ZNAKOM UGOL MEVDU WEKTOROM SKOROSTI I OSX@ x.
lINII TOKA1 WEKTORNOGO POLQ v =fp qg | A \TO RE[ENIQ DIFFE- RENCIALXNOGO URAWNENIQ dxp = dyq (WEKTORY POLQ QWLQ@TSQ KASATELXNYMI K NIM) | IME@T WID v = const, TAK KAK W SILU \TOGO URAWNENIQ
dv =;qdx+pdy = 0. |
|
|
||
eSLI v = v1 I v = v2 | DWE LINII TOKA, A y1 y2 |
OPREDELQ@TSQ |
|||
(DLQ FIKSIROWANNOGO x) IZ URAWNENIJ v(x y1) = v1 v(x y2) = v2 , TO |
||||
(POSKOLXKU |
@v |
= p) |
|
|
|
|
|
||
|
@y |
|
|
|
|
|
y2 @v(x y) |
y2 |
|
v2 ;v1 = v(x y2);v(x y1) = yR1 @y |
dy = yR1 p(x y)dy |
|||
ESTX RASHOD (KOLI^ESTWO PROTEKA@]EJ W EDINICU WREMENI) VIDKOSTI |
||||
^EREZ WERTIKALX (S KOORDINATOJ x) MEVDU UROWNQMI y1 |
I y2. |
|||
oTYSKANIEM KOMPLEKSNOGO POTENCIALA (I ^EREZ NEGO RASPREDELE- NIQ SKOROSTEJ) POTOKA VIDKOSTI ZANIMALSQ E]E d'aLAMBER (c. 75). o TOM, KAK EGO NAHODQT W TAK NAZYWAEMYH ZADA^AH NA OBTEKANIE, MOVNO PONQTX NA SLEDU@]EM PROSTEJ[EM PRIMERE.
rIS. 24
pUSTX PLOSKOPARALLELXNYJ POTOK VIDKOSTI | NASTOLXKO BOLX[OJ GLUBINY, ^TO EE MOVNO S^ITATX BESKONE^NOJ, | WSTRE^AET PREPQTSTWIE W WIDE WERTIKALXNOGO OTREZKA WYSOTY h (RIS. 24, a).2 s^ITAQ, ^TO
1 w PROSTRANSTWE IM OTWE^A@T CILINDRI^ESKIE POWERHNOSTI
RAZU@]IMI, PERPENDIKULQRNYMI PLOSKOSTI x y.
2 w PROSTRANSTWE \TOMU OTREZKU SOOTWETSTWUET PERPENDIKULQRNAQ PLOSKOSTI DNA I WEKTORU SKOROSTI POLOSA [IRINOJ h.
86
SKOROSTX POTOKA WDALI OT PREPQTSTWIQ RAWNA v1 I NAPRAWLENA WDOLX OSI x, NAJTI KOMPLEKSNYJ POTENCIAL w =f(z) \TOGO POTOKA.
pOSKOLXKU KAVDOJ ^ASTICE VIDKOSTI OTWE^AET SWOQ LINIQ TOKA, I
GRANI^NOJ (v(x y)=v0) DLQ NIH QWLQETSQ OSX x S OTREZKOM-PREPQTST-
WIEM, A WWIDU BESKONE^NOJ GLUBINY POTOKA RASHOD VIDKOSTI SLEDUET S^ITATX BESKONE^NYM, ISKOMAQ FUNKCIQ w = f(z) DOLVNA WZAIMNO-
ODNOZNA^NO OTOBRAVATX POLUPLOSKOSTX fz 2 C : Im z > 0g, \RAZREZANNU@" PO OTREZKU [0 ih], NA POLUPLOSKOSTX fw 2 C : Imw > v0g2 PRI \TOM | TAK KAK KOMPLEKSNYJ POTENCIAL OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO
| MOVNO S^ITATX v0 =0 (RIS. 24, B).
|
rIS. 25 |
|
oDNOJ IZ TAKIH FUNKCIJ QWLQETSQ w = pz2 +h2, DEJSTWIE KOTOROJ |
SWODITSQ K POSLEDOWATELXNOMU WYPOLNENI@ SLEDU@]IH (RIS. 25): |
|
|
A) =z2 (LU^I PLOSKOSTI C z , WYHODQ]IE IZ TO^KI z =0 POD UGLA- |
MI IZ PROMEVUTKA (0 ), ODIN IZ KOTORYH | WYHODQ]IJ POD UGLOM |
|
|
| NEPOLNYJ, PEREHODQT W LU^I, WYHODQ]IE IZ TO^KI =0 POD WDWOE |
2 |
|
2 iLI NA POLUPLOSKOSTX fw2C : Im w <v0g.
B) ! = +h2 (NA^ALO \RAZREZA" PEREME]AETSQ W TO^KU ! = 0 PLOS- KOSTX C ! S \TIM \RAZREZOM" MOVNO RASSMATRIWATX KAK SOWOKUPNOSTX
LU^EJ, WYHODQ]IH IZ TO^KI ! =0 POD UGLAMI IZ PROMEVUTKA (0 2 )) |
||||||||
W) w = p! = pz2 +h2 (LU^I PLOSKOSTI C ! , WYHODQ]IE IZ TO^KI |
||||||||
! = 0 POD UGLAMI IZ PROMEVUTKA (0 2 ), PEREHODQT W LU^I PLOSKOSTI |
||||||||
C w , WYHODQ]IE IZ TO^KI w =0 POD WDWOE MENX[IMI UGLAMI). |
||||||||
l@BAQ DRUGAQ FUNKCIQ w = f(z) S UKAZANNYMI OTOBRAVA@]IMI |
||||||||
|
|
|
|
|
apz2+h2 +b |
|
||
SWOJSTWAMI OBQZANA IMETX WID f(z) = cp |
z2+h2 |
+d , GDE a b c d | |
||||||
DEJSTWITELXNYE ^ISLA S ac;bd>0 |
(VI, S. 99 XVIII, S. 307). oSTAETSQ |
|||||||
U^ESTX DOPOLNITELXNYE TREBOWANIQ, WYTEKA@]IE IZ PRIRODY ZADA^I: |
||||||||
f(1)=1 (\BESKONE^NOSTX" QWLQETSQ EDINSTWENNOJ \TO^KOJ", W KOTOROJ |
||||||||
PERESEKA@TSQ WSE LINII TOKA) I f0( )=v . |
||||||||
|
apz2+h2 +b |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
sREDI FUNKCIJ w = cp |
z2 +h2 |
+d |
EDINSTWENNOJ (S TO^NOSTX@ DO PO- |
|||||
STOQNNOGO SLAGAEMOGO), UDOWLETWORQ@]EJ DANNYM TREBOWANIQM QWLQ- |
||||||||
ETSQ w=v pz2 +h2 | \TO I ESTX ISKOMYJ KOMPLEKSNYJ POTENCIAL. |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
wY^ISLENIE PROIZWODNOJ NAJDENNOGO KOMPLEKSNOGO POTENCIALA W |
||||||||
TO^KAH z = ih I z = 0 POKAZYWAET, ^TO W KONCEWOJ TO^KE PREPQTSTWIQ SKOROSTX POTOKA OKAZYWAETSQ BESKONE^NOJ, TOGDA KAK W UGLOWYH TO^- KAH ONA RAWNA NUL@.
pREDSTAWLENIE VE NAJDENNOGO KOMPLEKSNOGO POTENCIALA W WIDE u+iv =v1p(x+iy)2+h2 S POSLEDU@]IM WOZWEDENIEM W KWADRAT I PRO- WEDENIEM \LEMENTARNYH ALGEBRAI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ POZWOLQET PO- LU^ITX URAWNENIE LINIJ TOKA (v =const): x2y2 = c4 ; c2(y2 ; x2 ; h2).
uPRAVNENIQ. 1. nAJTI TO^KI z = x +iy, W KOTORYH SU]ESTWU@T
PROIZWODNYE FUNKCIJ: a) w = z2+ z2 B) w=sin2(x+y) + i cos2 (x+y).
2. pUSTX PODMNOVESTWO S R2 ESTX OB_EDINENIE ODNOJ IZ KOORDINATNYH OSEJ I DWUH KRUGOW, RASPOLOVENNYH PO OBE STORONY I KASA-
@]IHSQ EE W NA^ALE KOORDINAT. pROWERITX, ^TO W NA^ALE KOORDINAT |
|||||||
|
|
( |
ESLI (x y) |
2 |
|
|
|
FUNKCIQ |
def 1 |
2 |
S |
IMEQ PROIZWODNU@ |
PO L@- |
||
w = f(x y) = |
0 |
|
|
||||
|
|
ESLI (x y) = S |
|
|
|||
BOMU NAPRAWLENI@ (S WYPOLNENIEM USLOWIQ kO[I{rIMANA), NE IMEET
PROIZWODNOJ KAK FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z =x+iy.
88
|
|
( |
|
ESLI |
|
|
|
3. pUSTX |
def |
|
z |
Imz >0 |
uBEDITXSQ, ^TO OTOBRAVENIe |
||
f(z) = |
|
|
|
ESLI |
Imz <0: |
||
|
z |
||||||
w=f(z) W TO^KE z =0 OBLADAET SWOJSTWOM POSTOQNSTWA RASTQVENIQ,
NO NE SOHRANQET UGLY. w KAKIH TO^KAH SU]ESTWUET PROIZWODNAQ f0(z)?
^ASTNYE PROIZWODNYE |
@f |
@f ? WYPOLNQETSQ USLOWIE kO[I{rIMANA ? |
||||||||||||||||||||
|
|
|
@x |
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. pUSTX f(0)=0, A DLQ |
z =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
|
6 |
|
|
;1 |
ESLI |
|
Im z |
|
|
|
|
Re z |
|
||||||
f(z)= |
j |
cos(arg z) |
|
j |
j |
6 |
j |
|||||||||||||||
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|||||||
|
z |
j |
sin(arg z) |
; |
|
ESLI |
j |
Im z |
j |
> |
j |
Re z |
|
: |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|||||||
(w =f(z) ESTX UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ |
arg w = arg z |
TO^KA KWADRA- |
||||||||||||||||||||
TA, OPISANNOGO OKOLO PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU z OKRUVNOSTI
ROM 0 RIS. 26). pROWERITX, ^TO FUNKCIQ w =f(z) IMEET W NA^ALE KOOR-
DINAT KAK ^ASTNYE PROIZWODNYE @f@x @f@y (UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@
kO[I{rIMANA), TAK I PROIZWODNU@ PO L@BOMU NAPRAWLENI@, ODNAKO PROIZWODNAQ f0(0) NE SU]ESTWUET. qWLQETSQ LI OTOBRAVENIE w =f(z)
KONFORMNYM W TO^KE z = 0? oBLADAET LI ONO W NEJ SWOJSTWOM POSTO-
QNSTWA RASTQVENIQ? SOHRANENIQ UGLOW?
rIS. 26
5. oPERACIQ KOMPLEKSNOGO SOPRQVENIQ z 7! z, SOHRANQQ UGLY, ME- NQET NAPRAWLENIE IH OTS^ETA (QWLQQ SOBOJ PRIMER ANTIKONFORMNOGO OTOBRAVENIQ, ILI KONFORMNOGO OTOBRAVENIQ 2-GO RODA). pO^EMU \TA OPERACIQ U^ASTWUET W PROEKCII mERKATORA (III , S. 48{49)?
89
VI. kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T OTOBRAVENIQ DROBNO-LINEJNYMI FUNKCIQMI
pROSTAQ, NO ISKL@^ITELXNO WAVNAQ PO OTOBRAVA@]IM |
||||||||||
SWOJSTWAM RAZNOWIDNOSTX FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMEN- |
||||||||||
NOJ | \TO |
DROBNO-LINEJNYE FUNKCII |
w = |
az+b |
(S L@BYMI |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cz+d |
|
KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI a b c d DLQ KOTORYH, OD- |
||||||||||
NAKO, |
a b |
=0)1. |
|
|
|
|
|
|||
|
c d |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
pRI c = 0 DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ PRIWODITSQ K WIDU |
||||||||||
w = az+b, T. E. OKAZYWAETSQ |
LINEJNOJ |
. |
||||||||
|
||||||||||
w OBRAZNOM PREDSTAWLENII PEREMENNYH z I w TO^KAMI |
||||||||||
e |
e |
|
|
C |
(ILI DWUH EE \KZEMPLQROW) DROBNO-LINEJNYE |
|||||
PLOSKOSTI |
|
|||||||||
FUNKCII NAZYWA@T DROBNO-LINEJNYMI OTOBRAVENIQMI.
|
|
nA SAMOM DELE DROBNO-LINEJNYE FUNKCII w = |
az+b |
RAS- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cz+d |
|
||||||
PROSTRANQ@T NA WS@ RAS[IRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX |
||||||||||||||||||||||||||||||
C |
, |
POLAGAQ PO DOGOWORENNOSTI W |
|
|
OSOBYH TO^KAH |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
I |
|||||||||||||||
\ |
" z0 =; c |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
\TIH FUNKCIJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az+b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||
|
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
w(z0) = lim |
az+b |
|
= |
w( ) = lim |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
z!; |
d |
|
cz+d |
1 |
|
|
|
|
1 |
z!1 |
|
cz+d |
|
|
|
c |
|
|||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
az+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
zAPISX SOOTNO[ENIQ w = |
W WIDE z = |
|
dw;b |
|
|
I, S DRU- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cz+d |
|
+ |
|
;cw+a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
GOJ STORONY, PODSTANOWKA W NEGO z = |
S REZULXTATOM |
|
||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a( + )+b( + ) (a +b ) +(a +b ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
w = c( + )+d( + ) = (c +d ) +(c +d ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
DOKAZYWA@T SPRAWEDLIWOSTX SLEDU@]IH UTWERVDENIJ. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 iNA^E w const. kO\FFICIENTY a b c d |
DOPUSKA@T UMNOVENIE |
||||||||||||||||||||||||||||
NA OB]IJ NENULEWOJ MNOVITELX: w= |
|
|
(1+i)z+i |
|
I w = (3;i)z+2+i |
| |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+2i)z;i |
|
|
|
5z;2;i |
|
|||||||||||||
\TO ODNa I Ta VE DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 dLQ LINEJNYH FUNKCIJ \OSOBYE TO^KI" SLIWA@TSQ W ODNU z0 =1.
90
wSQKAQ DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAET (WS@) RAS[IRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX NA. (WS@) RAS[IRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX1.
l@BAQ DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ IMEET OBRATNU@, TAKVE QWLQ@]U@SQ DROBNO-LINEJNOJ.
kOMPOZICIQ (REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO WYPOLNENIQ) DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ ESTX DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ.
|
|
dROBNO-LINEJNYE FUNKCII OTNOSITELXNO OPERACII KOMPOZICII SO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
STAWLQ@T GRUPPU, PRI^EM NEKOMMUTATIWNU@ W NEJ [ESTX FUNK- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
CIJ: w = z |
|
w = |
1 |
|
|
w = 1 |
; |
z |
|
w = |
1 |
, w = |
z |
|
, |
w = |
z;1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1;z |
z;1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||||
|
|
SOSTAWLQ@T PODGRUPPU. |
|
DROBNO-LINEJNOJ FUNKCII (OTO- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
nEPODWIVNOJ TO^KOJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
BRAVENIQ) w = |
az+b |
|
NAZYWA@T L@BOE ZNA^ENIE z 2 C , DLQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
cz+d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
KOTOROGO |
az+b |
= z, PRI \TOM |
|
|
|
OKAZYWAETSQ NEPODWIVNOJ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cz+d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
TO^KOJ LI[X W SLU^AE c = 0,1T. E. KOGDA FUNKCIQ QWLQET- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
SQ LINEJNOJ (DLQ TOVDESTWENNOJ FUNKCII w = z L@BAQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
TO^KA z 2C |
QWLQETSQ NEPODWIVNOJ).2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ (OTLI^NAQ OT TOVDESTWENNOJ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
NE MOVET IMETX BOLEE DWUH NEPODWIVNYH TO^EK. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dOKAZATELXSTWo |
. |
sOOTNO[ENIE cz+d = z |
W SLU^AE c 6= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
DLQ z = 1 |
NE WYPOLNQETSQ, A DLQ KONE^NYH |
|
z RAWNOSILX- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
NO KWADRATNOMU URAWNENI@, W SILU ^EGO TAKIH ZNA^ENIJ z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
DWA ILI ODNO3 W SLU^AE VE c = 0 (LINEJNOJ FUNKCII) UKA- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ZANNOMU SOOTNO[ENI@ UDOWLETWORQ@T z = |
1 |
I |
z = |
b |
|
(OBA |
||||||||||||||||||||||||||||
d;a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
RAWNYE |
|
|
PRI d = a |
I b = 0) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
SLU^AJ c = 0 |
d = a, b = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SOOTWETSTWUET TOVDESTWENNOJ FUNKCII. Q.E.D. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 tU VE SAMU@ ILI DRUGOJ EE \KZEMPLQR.
2 pODROBNU@ KLASSIFIKACI@ DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ NA OSNOWE MOVNO NAJTI U l. fORDA [18].
3 z TOGDA NAZYWA@T DWOJNOJ NEPODWIVNOJ TO^KOJ.