Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

11

TOM WYSKAZYWANIJ PO \TOMU POWODU ODNOGO IZ OSNOWOPOLOVNIKOW SOWRE- MENNOGO MATEMATI^ESKOGO ANALIZA FRANCUZSKOGO MATEMATIKA kO[I1 .

w SWOIH RABOTAH DO 1847 G. (NAPRIMER, \kURSE ANALIZA" [26] 1821 G.) ON PONIMAL KOMPLEKSNYE ^ISLA (NE UPOTREBLQQ, ODNAKO \TOT TERMIN)

KAK \MNIMYE WYRAVENIQ" (\expressions imaginaires") a+bp;1, SOSTAW-

LENNYE IZ DWUH DEJSTWITELXNYH ^ISEL I SIMWOLA p;1, OBRA]ATXSQ S KOTORYMI NADLEVIT PO OBY^NYM PRAWILAM ALGEBRY, OPERIRUQ c p;1

KAK S DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, KWADRAT KOTOROJ RAWEN ;1.

w 1847 G. ON, ODNAKO, NAPISAL SLEDU@]EE: \nO POSLE NOWYH I ZRELYH RAZMY[LENIJ NAILU^[IM PUTEM MNE PREDSTAWLQETSQ POLNYJ OTKAZ OT SIMWOLA p;1 I ZAMENA TEORII MNIMYH WYRAVENIJ TEORIEJ WELI^IN, KOTORYE Q BUDU NAZYWATX GEOMETRI^ESKIMI : : : pROWEDEM W FIKSIRO- WANNOJ PLOSKOSTI ^EREZ FIKSIROWANNU@ TO^KU O, PRINQTU@ ZA NA^ALO,

ILI POL@S, POLQRNU@ OSX OX : : : bUDEM NAZYWATX GEOMETRI^ESKOJ WE-

LI^INOJ I OBOZNA^ATX rp RADIUS-WEKTOR OA, NAPRAWLENNYJ IZ O K A. eGO DLINA, OBOZNA^AEMAQ BUKWOJ r, BUDET NAZYWATXSQ ^ISLENNYM ZNA^E- NIEM, ILI MODULEM GEOMETRI^ESKOJ WELI^INY rp UGOL p, UKAZYWA@]IJ NAPRAWLENIE RADIUSA-WEKTORA OA, | ARGUMENTOM, ILI AZIMUTOM \TOJ VE WELI^INY. dWE GEOMETRI^ESKIE WELI^INY BUDUT RAWNY MEVDU SOBOJ, KOGDA ONI BUDUT PREDSTAWLQTX ODIN I TOT VE RADIUS-WEKTOR."2

iSTORI^ESKI VE KOMPLEKSNYe ^ISLa WOZNIKLI WNE KAKIH-LIBO GEO- METRI^ESKIH ASSOCIACIJ. iH POQWLENIE W XVI W. BYLO WYZWANO OTKRY-

1 Cauchy, Augustin-Louis, 1789{1857.

2 w ORIGINALE: \Mais, apres de nouvelles et m^ures re exions le meilleur parti a prendre me para^t ^etre d'abandonner entierement l'usage du signe p;1, et de remplacer la theorie des expressions imaginaire par la theorie des quantites que j'appellerai geometriques : : : Menons, dans un plan xe et par un point xe O pris pour origine ou p^ole, un axe polaire OX : : :

Nous appellerons quantite geometrique, et nous designerons par la notation rp le rayon vecteur OA dirige de O vers A. La longueur de ce rayon, representee par la lettre r sera nommee la valeur numerique ou le module de la quantite geometrique rp l'angle p, qui indique la direction du rayon vecteur OA, sera l'argument ou l'azimut de cette m^eme quantite. Deux

quantites geometriques seront egales entre elles, lorsqu'elles representeront

le m^eme rayon vecteur." ([28], ser. 1, t. II, p. 283 kO[I PRAKTIKOWAL MNOGOKRATNU@ PUBLIKACI@ SWOIH REZULXTATOW, PO\TOMU SSYLKI NA NIH DOPUSKA@T WARIANTY).

12

TIEM ITALXQNSKIMI MATEMATIKAMI FORMULY KORNEJ NEPOLNOGO KUBI-

^ESKOGO URAWNENIQ z3+pz+q =0, IME@]EJ (W SOWREMENNOJ ZAPISI) WID

z = r3 ;q +q;q 2 +;p 3 + r3 ;q ;q;q 2 +;p 3

2 2 3 2 2 3

I IZWESTNOJ POD NAZWANIEM FORMULY kARDANO1. oKAZALOSX, ^TO W SLU- ^AE URAWNENIQ S TREMQ RAZLI^NYMI DEJSTWITELXNYMI KORNQMI (NAPRI- MER, z3;z =0) W WY^ISLENIQ PO FORMULE kARDANO WOWLEKA@TSQ \NESU-

]ESTWU@]IE ^ISLA" | KWADRATNYE KORNI IZ OTRICATELXNYH ^ISEL.

|TI \^ISLA" SO STRANNYM POSTOQNSTWOM WOZNIKALI W HODE WY^ISLENIJ, PRI^EM OKAZYWALOSX, ^TO ESLI DEJSTWOWATX S NIMI KAK S OBY^NYMI ^ISLAMI, TO NA KONE^NOM [AGE ONI SOKRA]ALISX I ITOGOWYJ OTWET OKA- ZYWALSQ WERNYM. nE OSTAWALOSX DRUGOGO WYHODA KAK LEGALIZOWATX \TI DEJSTWIQ, ^TO I SDELAL ITALXQNSKIJ MATEMATIK I INVENER-GIDRAWLIK bOMBELLI2 W SWOEJ \aLGEBRE" (\L'Algebra"), IZDANNOJ W 1572 G.

sUTX \TOJ LEGALIZACII SWODITSQ K PRISOEDINENI@ K SISTEME DEJST- WITELXNYH ^ISEL OTSUTSTWU@]EGO W NEJ KORNQ URAWNENIQ x2+ 1=0, SO WREMENEM POLU^IW[EGO OBOZNA^ENIE i I NAZWANIE \MNIMOJ EDINICY"3.

pOD PRISOEDINENIEM \MNIMOJ EDINICY" K SISTEME DEJSTWITELX-

NYH ^ISEL R PONIMAETSQ RASPROSTRANENIE NA \LEMENT i IME@]IHSQ W

1 sArdano, Gerolamo, 1501{1576, ITALXQNSKIJ WRA^, FILOSOF, MA-

TEMATIK I IZOBRETATELX (\KARDANNYJ WAL"), NE BYL AWTOROM DANNOJ FORMULY, NO PERWYM OPUBLIKOWAL EE W 1545 G. W TRAKTATE \wELIKOE

ISKUSSTWO" (\Ars magna"). zABAWNYE PODROBNOSTI \TOJ ISTORII WMES- TE S OPISANIEM VIZNI kARDANO MOVNO NAJTI W KNIGE [40], SODERVA]EJ

TAKVE PEREWOD S LATINSKOGO EGO \kNIGI OB AZARTNYH IGRAH" (\Liber de Ludo Aleae") | PERWOGO W ISTORII U^EBNIKA PO TEORII WEROQTNOSTEJ.

2 Bombelli, Ra aele, 1526{1573.

3 tERMIN \MNIMYJ" W SMYSLE WOOBRAVAEMYJ (\imaginaire") WWEL W MATEMATIKU FRANCUZSKIJ MATEMATIK I FILOSOF dEKART (Descartes, ILI Cartesius, Rene, 1596{1650), UKAZAW[IJ W SWOEJ \gEOMETRII" (WPERWYE IZDANNOJ W 1637 G.), ^TO \KORNI : : : NE WSEGDA BYWA@T DEJSTWITELX-

NYMI, NO INOGDA LI[X WOOBRAVAEMYMI" (\les racines : : : ne sont pas

toujours reelles, mais quelquefois seulement imaginaires" [30], p. 63). sIM-

WOL i WMESTO p;1 WWEL (W 1777 G.) |JLER, ODNAKO AKTIWNO WNEDRQTX EGO NA^AL (S 1801 G.) gAUSS: \scribendo brevitatis caussa i pro quantitate imaginaria p;1" ([33], Bd. I, S. 414) WNEDRENIE [LO POSTEPENNO: kO[I,

NAPRIMER, DO 1847 G. PISAL ISKL@^ITELXNO p;1 ;TO^NEE, p ;1 .

13

\TOJ SISTEME OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ S SOHRANENIEM PRIWY^-

NYH PERESTANOWO^NOGO, SO^ETATELXNOGO I RASPREDELITELXNOGO ZAKO-

NOW I WOZMOVNOSTX@ WYPOLNENIQ OBRATNYH DEJSTWIJ WY^ITANIQ I DELENIQ. rEZULXTATY UMNOVENIQ \LEMENTA i NA NENULEWYE DEJSTWITELX- NYE ^ISLA b, ZAPISYWAEMYE KAK ib ILI (WWIDU PERESTANOWO^NOGO ZA-

KONA) bi, NAZYWA@T ^ISTO MNIMYMI ^ISLAMI. |TO I ESTX KWADRATNYE

KORNI IZ OTRICATELXNYH ^ISEL: (ib)2 = (ib)(ib) = biib = b(;1)b = ;b2 . mNIMYMI VE ^ISLAMI NAZYWA@T REZULXTATY SLOVENIQ a+bi DEJST-

WITELXNYH ^ISEL c ^ISTO MNIMYMI.

mNIMYE ^ISLA WMESTE S DEJSTWITELXNYMI I SOSTAWLQ@T POLE C

KOMPLEKSNYH ^ISEL (campus numerorum complexorum)1 | WSEWOZMOV-

NYH SO^ETANIJ a + bi a b 2 R, RACIONALXNYE OPERACII S KOTORYMI SOWER[A@TSQ PO TEM VE PRAWILAM, KAK ESLI BY i BYLA DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, S DOBAWLENIEM K NIM SWOJSTWA i2 = ;1, PRIWODQ]EGO K TOMU, ^TO REZULXTATAMI \TIH OPERACIJ OKAZYWA@TSQ TAKIE VE TANIQ (O ^EM UVE GOWORILOSX WY[E).

pO SWIDETELXSTWU kO[I ([28], ser. I, t. II, p. 282) PERWYM GEOMETRI- ^ESKU@ TRAKTOWKU KOMPLEKSNOGO ^ISLA DAL W 1786 G. \SKROMNYJ U^ENYJ

G-N aNRI-dOMINIK tR@ELX" (\un savant modeste M. Henri-Dominique Truel"). oBY^NO VE IZOBRETATELQMI IZOBRAVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL W

WIDE NAPRAWLENNYH OTREZKOW NA PLOSKOSTI NAZYWA@T ANGLIJSKOGO MA- TEMATIKA I RELIGIOZNOGO DEQTELQ wALLISA2 (O EGO TRAKTOWKE MNIMYH ^ISEL NIVE, W XV, S. 246), NORWEVSKOGO TOPOGRAFA wESSELQ3, PREDSTA- WIW[EGO W 1797 G. DOKLAD4 NA \TU TEMU W dATSKU@ KOROLEWSKU@ AKADE- MI@ (nORWEGIQ TOGDA BYLA ^ASTX@ DATSKOGO KOROLEWSTWA) I FRANCUZ- SKOGO MATEMATIKA-L@BITELQ aRGANA5, IMEQ W WIDU WY[ED[EE W 1806 G. PERWOE (ANONIMNOE) IZDANIE EGO KNIGI [21], ZNAKOMQSX S KOTOROJ, MOV- NO OT^ETLIWO O]UTITX SEBQ PRISUTSTWU@]IM PRI ROVDENII PONQTIQ

1 tERMIN WWEDEN gAUSSOM ([33], Bd. II, S. 102) W 1837 G.

2pRAWILXNEE uOLLISA Wallis, John, 1616{1703 (PODROBNO OB \TOM UDIWITELXNOM ^ELOWEKE MOVNO PRO^ITATX W KNIGE dV. sKOTTA [42]).

3 Wessel, Caspar, 1745{1818.

4 k DWUHSOTLETI@ EGO OPUBLIKOWANIQ (W 1799 G. NA DATSKOM QZYKE) WY[LO EGO ANGLIJSKOE IZDANIE [44], WKL@^A@]EE BIOGRAFI@ wESSELQ I PODROBNYJ ISTORI^ESKIJ O^ERK IZOBRAVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL.

5 Argand, Jean-Robert, 1768{1822 BYL RODOM IZ vENEWY, DERVAL KNIVNU@ LAWKU W pARIVE.

14

WEKTOR, SOEDINIW[EGO W SEBE DLINU I NAPRAWLENIE. mOVNO LI[X PO- VALETX TEH, KOGO ^REZMERNOE RASPROSTRANENIE W SOWREMENNOM OB]ESTWE NEZNANIQ FRANCUZSKOGO QZYKA LI[AET \TOGO UDOWOLXSTWIQ.

hOTQ DLQ aRGANA GLAWNYM BYLO GEOMETRI^ESKOE PREDSTAWLENIE

KOMPLEKSNYH ^ISEL, A DLQ wESSELQ | ALGEBRAI^ESKIE OPERACII S NA-

PRAWLENIQMI, ONI OBA PREDSTAWILI p;1 \NAPRAWLENNYMI OTREZKA-

MI" (\lignes dirigees" U aRGANA), PERPENDIKULQRNYMI K NAPRAWLENI@ \POLOVITELXNOJ EDINICY\ +1, I OB]IM DLQ NIH BYLO PONIMANIE TOGO,

^TO UMNOVENIE NA WEKTOR SWODITSQ K POWOROTU W PLOSKOSTI \TOGO WEKTORA I \POLOVITELXNOJ EDINICY" NA UGOL, RAWNYJ UGLU MEVDU NIMI, I RASTQVENI@ S KO\FFICIENTOM, RAWNYM DLINE \TOGO WEKTORA.

kAK UVE OTME^ALOSX (S. 9), IZOBRAVATX KOMPLEKSNYE ^ISLA NA PLOS-

KOSTI TO^KAMI (A NE NAPRAWLENNYMI OTREZKAMI) NA^AL gAUSS.

dEJSTWITELXNYE ^ISLA x I y NAZYWA@T SOOTWETSTWENNO

DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ ^ASTQMI KOMPLEKSNOGO ^ISLA z = x+iy c ISPOLXZOWANIEM OBOZNA^ENIJ x = Rez y = Imz.

pRIMER. iZOBRAZITX NA PLOSKOSTI KOMPLEKSNYE ^ISLA z,

UMNOVENIQ WEKTOROW PLOSKOSTI C (S. 5) WEKTORY z;z1 I z ;z2 SOOT-

WETSTWENNO a) KOLLINEARNY I B) PERPENDIKULQRNY, A POTOMU ^ISLA z

15

IZOBRAVA@TSQ TO^KAMI SOOTWETSTWENNO a) PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI, IZOBRAVA@]IE ^ISLA z1 z2 (RIS. 5, a), I B) OKRUVNOSTI, DLQ KOTOROJ \TI TO^KI SLUVAT KONCAMI DIAMETRA (W OBOIH SLU^AQH, TO^KA, IZOBRAVA@]AQ ^ISLO z2, ISKL@^AETSQ RIS. 5, B).

HAZWANIQ DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ RASPROSTRANQ- @T I NA KOORDINATNYE OSI PLOSKOSTI C , NO S ZAPISX@ IH \LEMENTOW UVE NE x I y (KAK NA PLOSKOSTI R2 ), a x I iy.

pEREHODU NA PLOSKOSTI R2 OT DEKARTOWYH KOORDINAT x y K POLQRNYM r ' SOOTWETSTWUET NA PLOSKOSTI C ZA-

PISX KOMPLEKSNYH ^ISEL z = x + iy 6= 0 W POLQRNOJ, ILI TRIGONOMETRI^ESKOJ, FORME z = r(cos '+i sin '), W KOTOROJ r = jzj ESTX MODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA z | DLINa IZOBRA- VA@]EGO EGO WEKTORA, A ' = arg z | ARGUMENT1 | WYRA- VAEMAQ DLINOJ DUGI EDINI^NOJ OKRUVNOSTI2 WELI^INA UGLA, OBRAZUEMOGO \TIM WEKTOROM S DEJSTWITELXNOJ OSX@. s^ITA-

@T, ^TO j0j = 0, TOGDA KAK NI ARGUMENT, NI POLQRNAQ FORMA

^ISLA 0 NE OPREDELENY.

nAPRIMER, p2;cos ;; 4 +2 k +i sin ;; 4 +2 k (PRI L@BOM WYBORE

CELOGO ^ISLA k) ESTX POLQRNAQ FORMA ^ISLA 1;i.3

nAPRQMU@ WYTEKA@]AQ IZ PRAWILA UMNOVENIQ KOMPLEKS-

NYH ^ISEL (S. 5) FORMULA mUAWRA4

;r(cos '+isin ') n = rn(cos n'+i sin n')

1 tERMINY MODULX I ARGUMENT WWELI SOOTWETSTWENNO aRGAN ([21], p. 122) I kO[I ([28], ser. II, t. II, p. 38).

2 wZQTOJ SO ZNAKOM \PL@S" ILI \MINUS" SOOTWETSTWENNO OTS^ETU EE \PROTIW" ILI \PO HODU ^ASOWOJ STRELKI" I WY^ISLQEMOJ S TO^NOSTX@ DO CELOGO ^ISLA OBOROTOW.

3 rAWENSTWO 1;i =p2;cos 4 ;i sin 4 TAKVE WERNO, ODNAKO EGO PRAWAQ ^ASTX NE QWLQETSQ POLQRNOJ FORMOJ ^ISLA 1;i.

4 de Moivre, Abraham (1687{1754) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK. o TOM,

KAKIM SLOVNYM PUTEM WYWEL ON (W 1730 G.) NAZWANNU@ EGO IMENEM FOR- MULU, MOVNO PRO^ITATX W [19] NA S. 329{330 (PRIME^ANIE K x133).

16

LEVIT W OSNOWE PRAKTI^ESKOGO IZWLE^ENIQ KORNEJ IZ NENU-

LEWYH KOMPLEKSNYH ^ISEL.

a IMENNO, ESLI a =6 0 I a = jaj(cos +i sin ), TO SOOTNO- [ENIE pn a=z, PO OPREDELENI@ RAWNOSILXNOE zn =a, W ZAPISI z = r(cos '+i sin ') OZNA^AET, ^TO

rn(cos n'+i sin n') = jaj(cos +i sin ),

OTKUDA SLEDUET:

r=pn jaj (ARIFMETI^ESKIJ KORENX) A '= n + 2 nk (k 2 Z).

|TO WOZWRA]AET K WYSKAZANNOMU NA S. 7 UTWERVDENI@:

dLQ L@BOGO KOMPLEKSNOGO ^ISLA a6=0 SU]ESTWUET ROWNO n KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ pn a. iZOBRAVENNYE TO^KAMI PLOS- KOSTI C , ONI OBRAZU@T WER[INY PRAWILXNOGO n-UGOLXNI- KA, WPISANNOGO W OKRUVNOSTX RADIUSA pn jaj S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT.1 eDINSTWENNOE ZNA^ENIE pn 0 ESTX 0.

pRIMERY. nAJTI: a) p6 ;1 B) p1;i.

rIS. 6

tAK KAK i6 = ;1, ODNIM IZ ZNA^ENIJ p6 ;1 QWLQETSQ i. wSE VE ONI IZOBRAVA@TSQ WER[INAMI PRAWILXNOGO [ESTIUGOLXNIKA, WPISANNOGO

1 |TO POZWOLQET PO ODNOMU NAJDENNOMU ZNA^ENI@ pn a NAJTI I WSE OSTALXNYE.

arg z =; arg z (S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2 ).

~TO KASAETSQ NERAWENSTW | SOOTNO[ENIJ \BOLX[E" I \MENX[E", TO ONI DLQ KOMPLEKSNYH ^ISEL (NE QWLQ@]IHSQ

DEJSTWITELXNYMI) NE OPREDELENY.

iME@T MESTO, ODNAKO, SLEDU@]IE NERAWENSTWA DLQ MODULEJ KOMPLEKSNYH ^ISEL, WYRAVA@]IE IZWESTNYE SOOTNO- [ENIQ MEVDU DLINAMI STORON SOOTWETSTWENNO a) L@BOGO I

B) jRezj6jzj jImzj6jzj jzj6jRezj+jImzj.

gLAWNOE PRI SOPOSTAWLENII DEJSTWITELXNOJ I KOMPLEKS-

NOJ PLOSKOSTEJ | \TO IH GEOMETRI^ESKOE SOWPADENIE I AL-

1 Expressions imaginaires conjuguees U kO[I W [26].

18

19

8">0 9 >0 8z ;0<jz;z0j< =) jf(z);w0j<" 1,

OZNA^AET TO VE SAMOE, ^TO SU]ESTWOWANIE PREDELA U FUNKCII w =f(x+iy) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH x y W TO^KE

(x0 y0)2R2. |TO VE SPRAWEDLIWO I W OTNO[ENII PONQTIJ

A) OGRANI^ENNOSTI,

B) NEPRERYWNOSTI,

W) RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI

NYH x y (NA GEOMETRI^ESKI TOM VE MNOVESTWE E R2 ).

wOZMOVNOSTX UMNOVATX I DELITX (DRUG NA DRUGA) WEK-

TORY z 2 C POZWOLQET PERENESTI S DEJSTWITELXNOJ OSI NA KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX PONQTIQ:

1 eE \KWIWALENTOM QWLQETSQ UTWERVDENIE: KAKOWA BY NI BYLA POSLE-

20

w PROTIWOPOLOVNOSTX TOMU Na PLOSKOSTI R2

LEKSNU@ PLOSKOSTX (T. E. POPROSTU S^ITATX DEJSTWITELXNU@ PEREMEN-

NU@ x KOMPLEKSNOJ), TO U NEE WOZNIKA@T \OSOBYE TO^KI" x = i, RASSTOQNIE DO KOTORYH OT CENTRA STEPENNOGO RAZLOVENIQ | NA^ALA KOORDINAT | SOWPADAET S RADIUSOM SHODIMOSTI \TOGO RAZLOVENIQ. u FUNK- CII VE y =e;x2, NAPROTIW, NIKAKIH \OSOBENNOSTEJ" PRI PRODOLVENII EE S DEJSTWITELXNOJ OSI NA KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX NE WOZNIKAET.

pRI^INa, PO KOTOROJ NARQDU S KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTX@ C WWODQT EE \SFERI^ESKIJ OBRAZ", SRAWNIMA S TOJ, PO KOTO- ROJ IZOBRAVENIE U^ASTKOW ZEMNOJ POWERHNOSTI NA PLOSKOJ KARTe DOPOLNQ@T PREDSTAWLENIEM EE \W CELOM" NA GLOBUSE.