Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

51.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3619 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

181

rIS. 68

dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | L@BAQ TO^KA KRUGA D, A

C | L@BAQ OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , RADIUS KOTOROJ

UDOWLETWORQET NERAWENSTWAM jz;z0j < < r (RIS. 68, B). eS-

LI OKRUVNOSTX C RASSMATRIWATX KAK ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR, OBHODQ]IJ TO^KU z0 (A SLEDOWATELXNO, I TO^KU z) ODIN RAZ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, TO PRIMENENIE IN-

TEGRALXNOJ FORMULY kO[I (XI, c. 166) I FORMULY SUMMY

GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM

z;z0

(MODULQ

jz;z0j <1 DLQ TO^EK

C) DAET:

;z0

f(z) =

f( ) d =

f( )

d =

2 i

( ;z0);(z;z0)

f( )

z;z0H

+ (z;z0)22

d =

;z0

2 iC

;z0

( ;z0)

+(z;z0)mm

f( )

z;z0

d +

2 iC

;z0

( ;z0)

f( )

m+1

(z;z0)m+1 d = I1 + I2.

2 i

( ;z0);(z;z0) ( ;z0)

tAK KAK NA OKRUVNOSTI C ANALITI^ESKAQ W KRUGE D

FUNKCIQ w = f(z) OGRANI^ENA:

9h8z (z 2 C

=) jf(z)j 6 h),

182

WTOROe SLAGAEMOe W PRAWOJ ^ASTI PREDYDU]EJ SERII RA- WENSTW DOPUSKAET OCENKU (VIII, c. 133):

z;z0

m+1

0 m

;

kAK SLEDSTWIE

f(z) = lim

f( )

;z0

(z;z0)mm

d =

2 iC ;z0

m!+1

;z0

( ;z0)

= lim

m H

f( ) (z;nz+10)n d = +1cn(z

;

z0)n,

m!+1 n=0 2 i

( ;z0)

n=0

GDE cn =

f( )

n = 0 1 2 : : :

2 i

( ;z0)

n+1

pOSKOLXKU PODYNTEGRALXNYE FUNKCII (PEREMENNOJ ) W

PRAWYH ^ASTQH POSLEDNIH FORMUL QWLQ@TSQ ANALITI^ESKI-

MI W KRUGE D S IZ_QTYM CENTROM z0 ,

TEOREMA kO[I DLQ

\KOLXCA" (W DANNOM SLU^AE KOLXCA A = D rfz0g) POZWOLQET ZAMENITX W FORMULAH DLQ KO\FFICIENTOW cn OKRUVNOSTX

C L@BYM ZAMKNUTYM KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM ; D S TEM VE ZNA^ENIEM INDEKSA OTNOSITELXNO TO^KI z0 , T. E. ODIN RAZ OBHODQ]IM EE W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 68, A). |TO OZNA^AET, ^TO W POLU^ENNOM PREDSTAWLENII

FUNKCII f(z) = +P1cn(z;z0)n KO\FFICIENTY cn NE ZAWISQT

n=0

OT NA^ALXNOGO WYBORA TO^KI z 2D, I POTOMU \TO PREDSTAW-

LENIe IMEET MESTO WO WSEM KRUGE D.

s U^ETOM TEOREMY kO[I{aDAMARA (II, c. 27) RADIUS SHO-

DIMOSTI STEPENNOGO RQDA +P1 cn(z;z0)n NE MENX[E RADIUSA

n=0

KRUGA D, A POTOMU PRIMENIMA TEOREMA O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA (II, c. 29), W SILU KOTOROJ FUNKCIQ w =f(z) IMEET W KRUGE D PROIZWODNU@ L@BOGO PORQDKA k =1 2 : : :

P
+1	cnn(n;1) (n;k+1)(z z0)n;k, OTKUDA ck =	f(k)(z0)	.
f(k)(z)=	cnn(n;1) (n;k+1)(z z0)n;k, OTKUDA ck =	k!	.
n=k	;

							183
tEOREMA lORANA.1		eSLI FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ
ANALITI^ESKOJ W KOLXCE		A = z 2		C	: r1 < jz;z0j< r2	2	,	TO
		A = z 2			: r1 < jz;z0j< r2		,
W \TOM KOLXCE SPRAWEDLIWO ee			PREDSTAWLENIE
+1
+1		cn(z;z0)n z 2A,
f(z) =n=	;1	cn(z;z0)n z 2A,
P

W WIDE SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA, KO\FFICIENTY cn KOTOROGO, SWQZANY S \TOJ FUNKCIEJ SOOTNO[ENIQMI

	f( )
cn = 21i ; ( ;z0)n+1 d, n = 0 1 2 : : : ,
H
GDE ; \| L@BOJ ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, RASPO-

LOVENNYJ W KOLXCE A I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W

POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (T. E. ind(; z0)=1 RIS. 69, A).

rIS. 69

1 hOTQ PERWYM \TU TEOROMU DOKAZAL (W 1841 G.) wEJER[TRASS ([43], Bd. I, S. 51), ZA NEJ ZAKREPILOSX IMQ FRANCUZSKOGO WOENNOGO INVENERA

lORANA (Laurent, Pierre Alphonce, 1813 {1854), KOTORYJ OPUBLIKOWAL EE W 1843 G. KAK \OBOB]ENIE TEOREMY kO[I" (\Extension du theoreme

de M. Cauchy relatif a la convergence du developpement d'une fonction

suivant les puissances ascendentes de la variable x"), ^TO SAMIM kO[I NEODNOKRATNO POD^ERKIWALOSX ([28], ser. I, t. VIII, p. 115{117 147).

2 wKL@^AQ SLU^AI r1 =0 r2 =+1.

PUSTX C1

184

dOKAZATELXSTWO1. dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z 2 A I C2 | OKRUVNOSTI S CENTROM z0 RADIUSOW 1 I

2 , UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM r1 < 1 <jz;z0j< 2 <r2 (RIS. 69, B). kAVDAQ IZ OKRUVNOSTEJ C1 C2 RASSMATRIWA-

ETSQ KAK ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR, ODIN RAZ OBHODQ]IJ

CENTR z0 KOLXCA A (A SLEDOWATELXNO, I TO^KU z ) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII. pERWYJ [AG DOKAZATELXSTWA SOSTOIT W USTANOWLENII SOOTNO[ENIQ

f(z) =

f( ) d +

f( ) d

2 i

;

2 i

;

(C1

; | OKRUVNOSTX

ODNOKRATNO OBHODIMAQ W OTRICA-

TELXNOM NAPRAWLENII).

dLQ \TOGO SLEDUET, SOEDINIW OKRUVNOSTI C1 I C2 DWU-

MQ NE PROHODQ]IMI ^EREZ TO^KU z PRQMOLINEJNYMI OTREZ-

KAMI, PREDSTAWITX PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA W WIDE SUMMY

	1	f( )			1	f( )
	2 i;H2	;z d + 2 i;H1				;z d , GDE ZAMKNUTYE KUSO^NO-GLADKIE
			;1		;2		C1
KONTURY				I		OBRAZOWANY DUGAMI OKRUVNOSTEJ	; I

C2 I SOEDINQ@]IMI IH OTREZKAMI, OBHODIMYMI W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH | TAK, ^TO TO^KA z OKAZYWAETSQ WNUTRI KONTURA ;1 I WNE KONTURA ;2 (RIS. 70).

wY^ISLITX INTEGRALY PO KONTURAM ;1 I ;2 MOVNO S PO-

MO]X@ INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I (XI, S. 166), PRIMENQQ

EE, SOOTWETSTWENNO, K ODNOSWQZNYM OBLASTQM ArL1 I ArL2,
GDE L1 L2 \| KAKIE-LIBO LU^I,			WYHODQ]IE IZ TO^KI z0		I
NE PERESEKA@]IE, SOOTWETSTWENNO, KONTURY ;1 I ;2 (KAK NA
RIS. 70). tAK KAK ind(;1 z)=1, A ind(;2 z)=0,
	1 f( )		1 f( )
		;H1 ;z d = f(z) A		;H2 ;z d =0.
	2 i		2 i

1 pO SHEME DOKAZATELXSTWA TEOREMY tEJLORA (S. 181{182), NO S UDLIN- NQ@]IMI OSLOVNENIQMI, WYZWANNYMI NEODNOSWQZNOSTX@ KOLXCA.

185

rIS. 70

wTOROJ [AG DOKAZATELXSTWA SOSTOIT (KAK I PRI DOKAZA- TELXSTWE TEOREMY tEJLORA NA S. 181) W PREOBRAZOWANII IN-

TEGRALOW PO OKRUVNOSTQM

;

NA OSNOWE FORMULY SUM

MY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII I OGRANI^ENNOSTI ZNA^ENIJ

f( )

jf( )j6h

NA \TIH OKRUVNOSTQH:

f( )

2 iCH2;

;z d =

2 iCH2 ( ;z0);(z;z0) d

f( )

z;z0

(z;z0)22 +

d =

2 iCH2 ;z0

;z0

( ;z0)

f( )

z;z0

+(z;z0)mm

d +

2 i

(

z0)

CH2

;

f( )

(z;z0)m+1 d

+ 2 iCH2 ( ;z0);(z;z0) ( ;z0)m+1

PRI^EM SOGLASNO OCENKE INTEGRALA (VIII, c. 133) MODULX WTO- ROGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI NE PREWOSHODIT WELI^INY

h 2 z;z0 m+1, STREMQ]EJSQ K NUL@ PRI n!+1, W SILU

2;jz;z0j 2 )

^EGO ISHODNYJ INTEGRAL ESTX PREDEL (PRI n ! +1 PERWOGO IZ DWUH SLAGAEMOYH W PRAWOJ ^ASTI:

186

f( ) d =

lim

f( )

(z;z0)nn d

2 iCH2 ;z

m!+12 iCH2 n=0 ;z0 ( ;z0)

lim

f( ) (z;nz+10)

d =

m!+1 n=0 2 i

( ;z0)

f( )

= n=0 2 i

( ;z0)n+1 d (z;z0)

f( ) d =

;

f( ) d

f( )

d =

2 i

;

2 i

;

2 i

;

z0) (

;

z0)

;

f( )

;z0

( ;z0)22

2 iCH1 z;z0

z;z0

(z;z0)

f( )

;z0

+ +

( ;z0)mm

d +

CH1

;

z0)

2 i z

f( )

(

;z0)m+1 d

2 iCH2 (z;z0);( ;z0) (z;z0)m+1

PRI \TOM MODULX POSLEDNEGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI NE

h 1

m+1

PREWOSHODIT WELI^INY

STREMQ]EJSQ K

jz;z0j; 1

z;z0

NUL@ PRI m

, IZ ^EGO SLEDUET, ^TO

f( ) d =

lim

f( )

( ;z0)nn d =

2 i

;

m!+1

2 i

z (z

)

;

C1 n=0

;

1P f( ) (

z0)n

(n=;k;1)

lim

;n+1

m!+1 n=0

2 i

;z0)

P;1

lim

f( ) ( ;z0);kk;1 d =

P; ;

(z;z0);

m!+1 k= m 1 2 iC1

f( )

= k=

2 i

( ;z0)k+1 d (z;z0)

								187
					C2		C1		:
sLOVENIE INTEGRALOW PO OKRUVNOSTQM						I	; DAET
GDE	P		P
f(z) =	+1	cn(z;z0)n+	;1	ck(z;z0)k,
	n=0		k=;1
	f( )				f( )

cn = 21i H ( ;z0)n+1 d , a ck = 21i H ( ;z0)k+1 d .

C2 C1

oSTAETSQ ZAMENITX W POSLEDNEM RAWENSTWE OBOZNA^ENIE k NA n I ZAMETITX, ^TO SOGLASNO TEOREMe kO[I DLQ KOLXCA (c. 178) OBE OKRUVNOSTI C1 I C2 MOGUT BYTX ZAMENENY L@BYM ZAMKNUTYM KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM ;, RASPOLO-

VENNYM W KOLXCE A I IME@]IM TOT VE (RAWNYJ 1) INDEKS OTNOSITELXNO EGO CENTRA z0 (T. E. ODNOKRATNO OBHODQ]IM TO^KU z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 93, a). |TO OZNA^AET, ^TO HOTQ WYBOR OKRUVNOSTEJ C1 I C2 IZNA- ^ALXNO ZAWISEL OT WYBORA TO^KI z 2A, KO\FFICIENTY cn W

PREDSTAWLENII

cn(z;z0)n

f(z) =n=0cn(z;z0)n

+n=

cn(z;z0)n =n=

NE ZAWISQT OT \TOJ TO^KI

\TO PREDSTAWLENIE IMEET

MESTO WO WSEM KOLXCE A. Q.E.D.

uSTANAWLIWAEMYE TEOREMAMI tEJLORA (S. 180) I lORANA

(S. 183) PREDSTAWLENIQ

cn(z

z0)n I

f(z)=

cn(z

z0)n

f(z)=

;

n=0

k=;1

, W KRUGE

FUNKCII w =fP(z), ANALITI^ESKOJ, SOOTWETSTWENNOP

D = z 2

: jz;z0j<r

I KOLXCE

A= z 2

: r1<jz;z0j<r2

NAZYWA@T

RAZLOVENIQMI

DANNOJ FUNKCII W

RQD tEJLORA

(KRATKO: EE

1 I

)

RQD lORANA

RAZLOVENIQMI

tEJLORA

lORANA

SOOTWETSTWENNO W UKAZANNOM KRUGE I KOLXCE.

mAKLORENA

, ESLI z0 =0.

188

sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA. eSLI FUNKCIQ w = f(z) KAKIM{TO SPOSOBOM PRED-

STAWLENA W KRUGE (ILI KOLXCE) S CENTROM z0

W WIDE SUMMY

SHODQ]EGOSQ STEPENNOGO RQDA

ILI OB-

f(z) = n=0cn(z;z0)

;

OB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA

+P1

f(z) = n=

cn(z;z0) ,

TO \TOT

\TOJ FUNKCII:

RQD QWLQETSQ RQDOM tEJLORA (RQDOM lORANA)

EGO KO\FFICIENTY SWQZANY S NEJ SOOTNO[ENIQMI

cn =

f( )

(n=0 1 2 : : : ),

;

d n=0 1 2 : : :

2 i

( ;z0)n+1

GDE ; | L@BOJ ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, NE WY-

HODQ]IJ ZA PREDELY \TOGO KRUGA (KOLXCA) I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII.

dOKAZATELXSTWO. kAKOW BY NI BYL ZAMKNUTYJ KUSO^NOGLADKIJ KONTUR ; UKAZANNOGO WIDA, DLQ FIKSIROWANNOGO

ZNA^ENIQ n (RAWNOGO, SOOTWETSTWENNO, 0 1 2 : : : W SLU^AE

STEPENNOGO I 0 1 2 : : : W SLU^AE OBOB]ENNOGO STEPEN-

NOGO RQDA) I k, PROBEGA@]EGO WSE PERE^ISLENNYE ZNA^ENIQ,

f( )

Pk cn( ;z0)k

n k 1

2 i ; ( ;z0)n+1 d = 2 i ;

( ;z0)n+1 d = 2 i ; k

ck( ;z0)

; ; d =

H P

k n 1

= 2 i

k=n

( ;

; ;

n( ; 0);

( ;z0)k;n 0

2 i

= 0 + cn ind(; z0) = cn,

;

k=n

;

^TO SLEDUET IZ TEOREMY O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO (A TAKVE OBOB]ENNOGO STEPENNOGO) RQDA (II, c. 29 V, c. 72), FORMULQ nX@TONA{lEJBNICA (VIII, c. 133) I OPREDELENIQ INDEK-

SA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX, S. 138). Q.E.D.

189

pRIMERY. 1. sOGLASNO FORMULE SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SPRAWEDLIWY RAWENSTWA

= 1 z + z2

z3 +

z <1,

1+z

;

j j

; z;

1+z

= z(1+z;1)

= z;

+ z;

; z;

jzj>1,

PERWOE IZ KOTORYH ESTX1

RAZLOVENIE FUNKCII

w =

1+z

RQD tEJLORA (TO^NEE, mAKLORENA) W KRUGE

z 2 C :

jzj

< 1

(W OKRESTNOSTI NULQ), A WTOROE | W RQD lORANA W KOLXCE

z 2C : 1 <jzj<+1

(W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI).

s U^ETOM PREDYDU]EGO PRIMERA I FORMULY PROIZ-

WODNOJ SUMMY (OBOB]ENNOGO) STEPENNOGO RQDA (V, c. 72)

z3=

(1+z3)2

(1+ )2 = ; 1+ =

=z3

(

;

2z3 + 3z6

;

4z9 +

ESLI

>1:

z;6

;

2z;9 + 3z;12

;

4z;15 +

ESLI

3. pRIMENENIE TEOREMY tEJLORA K ODNOZNA^NYM WETWQM

def

w =ln(1+z) = ln

1+z +iarg(1+z) I w=(1+z)

= exp ln(1+z) ,

W KRUGE

<1 , W KOTOROM ONI QWLQ@TSQ ANALITI^ES-

ln(1+z) 0=

;

KIMI FUNKCIQMI S PROIZWODNYMI

(V, S. 78)

1+z

;

exp( ln(1+z))

= (1+z)

z 1

PRIWODIT

(1+ )

;

1+z

K RAZLOVENIQM mAKLORENA \TIH ODNOZNA^NYH WETWEJ:

;

jzj<1

ln(1+z) = ln 1 + z

;

(ln 1 = 2 ki

k =0 1 2 : : : )

1 w SILU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA.

2 |TO MAKSIMALXNYJ KRUG S CENTROM 0, W KOTOROM OPREDELENY \TI

ODNOZNA^NYE WETWI QWNOE WYRAVENIE WETWEJ

w = ln(1+z) W ZAPISI

z =x+iy PEREMENNOJ z W \TOM KRUGE DAETSQ RAWENSTWAMI

ln(1+z) = ln j1+zj+i arg(1+z) = lnp

+i arctg

+2 k ,

(1+x)2 +y2

1+x

GDE WYBOR ZNA^ENIQ

k = 0 1 2 : : :

OPREDELQET WYBOR KONKRETNOJ

WETWI w=ln(1+z) (NAPRIMER, k =0 OTWE^AET TA, DLQ KOTOROJ ln 1=0).

190

(1+z) = 1 +

z+ ( ;1)

z2+ ( ;1)( ;2) z3 +

<1.

1 2

1 2 3

(1 =exp( 2 ki)

k =0 1 2 : : : )

4. ~TOBY RAZLOVITX W RQD tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^-

w = pz , DLQ KOTOROJ pi =

KI i ODNOZNA^NU@ WETWX

1+i

SLEDUET WWESTI OBOZNA^ENIE

z;i

= I, S^ITAQ, ^TO

< 1,

WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVENIEM mAKLORENA TOJ ODNOZNA^NOJ

WETWI w =(1+ )

(PREDYDU]IJ PRIMER), DLQ KOTOROJ 1

=1:

pz = (z

i) + i = pi 1 +

z;i

;

2 =

1+i

1 3

1 3 5

; 2

;

2 4!

1 +

1+i

1 +

1 3

= p2

2i (z;i) ; (2i)2 2! (z;i)

+ (2i)3

(z;i)

;

5. rAZLOVENIQ lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI

(RAZLI^A@]IHSQ ZNAKOM) ODNOZNA^NYH WETWEJ DWUHZNA^NYH

z;a

FUNKCIJ w =

;

a)(z

;

w =

MOVNO POLU^ITX,

z;b

; 2

b 2

ZAPISAW IH W WIDE

w = z 1; z

1;z , w = 1; z

1; z

WOSPOLXZOWAW[ISX RAZLOVENIQMI lORANA SOMNOVITELEJ W PRAWYH ^ASTQH1 I, NAKONEC, WOSPOLXZOWAW[ISX PRAWILOM PEREMNOVENIQ STEPENNYH RQDOW (W DANNOM SLU^AE OTNOSITELX-

NO PEREMENNOJ z;1

II, c. 33):

z;1

;

z;2

a331 3

z;3

;

a)(z

b) =

z 1

;

; 2

2 2!

; 2 3!

z;1

z;2

;

b331 3

z;3

; 2

; 2 2!

2 3!

;

= z 1 ;

a+b

(a;b)2

(a+b)(a;b)2 1 3

;

22 2!

;

23 3!

1 pOLU^IW IH IZ RAZLOVENIJ mAKLORENA:

						1			1						1 3					1 3		5
		1		= 1								2				3		3			4		4
(1		)	2	= 1								2				3		3			4		4
	;					; 2		; 2		2!				; 2			3!		; 2 4!					;
(1 ); 2					= 1 + 1			+ 21					2		+ 13 3 3					+ 143 5 4					+
	;			1
	;						2		2		2!					2 3!				2		4!

j j<1

j j<1.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3619 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.201320 Mб209Харитонов Енергетика.pdf
#
16.08.20137.37 Mб219Хлопкин Морская атомная енергетика 2007.pdf
#
16.08.20132.03 Mб69Цывкунова Интернатионал Лаw Учебно-методическое пособие 2010.pdf
#
16.08.2013673.64 Кб68Цыганова Современная нормативная документация 2008.pdf
#
16.08.201315.92 Mб146Чернов Влияние легирования 2007.pdf
#
16.08.201351.53 Mб84Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008.pdf
#
16.08.201310.65 Mб1660Шелегов Насосное оборудование АЕС 2011.pdf
#
16.08.20133.17 Mб1070Шелегов Физические особенности и конструкция Реактора РБМК-1000 2007.pdf
#
16.08.20138.21 Mб333Шишкин Основы проектирования станочных приспособлений 2010.pdf
#
16.08.201311.25 Mб313Шмаков Основы металловедения 2007.pdf
#
16.08.20132.35 Mб115Шмелев Физические основы обезвреживания 2008.pdf