Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

1

f(z)

dz = res

f(z)

+

res

f(z)

= f( )

;zj

gj( ).

2 i

z

;

z=

z

;

zj

int;nz=zj z

;

int;n

;Hn

2P

2P

oSTAETSQ PRIMENITX K LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA OCENKU IN-

TEGRALA (VIII, S. 133), IZ KOTOROJ S U^ETOM SWOJSTW 2 I 3

WYTEKAET,

^TO

1

f(z) dz

0,

A SLEDOWATELXNO,

2 i

z

n

+

;Hn

;

;!

! 1

f( ) = +1gj( )

C =z1 z2 : : : ,

j=1

2

6

ESLI PRAWU@ ^ASTX PONIMATX KAK

lim

gj( ). Q.E.D.

P

n

+

zj

int;n

!

1

2P

eSLI ZA POSLEDOWATELXNOSTX

;n

KONTUROW WZQTX POSLE-

PRAWLENII KWADRATOW

1

1

;n = z 2

C

: jRezj= n+ 2

_ jImzj= n+ 2

(

RIS

. 83),

TO USLOWIQ

1 I 2

BUDyT ZAWEDOMO WYPOLNENY. oSTAETSQ (DLQ

;

;

PROWERKI WYPOLNENIQ USLOWIQ

3 ) OCENITX WELI^INU jctgzj

NA STORONAH \TIH KWADRATOW. pOSKOLXKU

jctg zj

2

=

cos(x+iy)

2

=

,

sin(x+iy)

e;2y+e2y;2 cos 2x

1

NA \WERTIKALXNYH" STORONAH, T. E. PRI z =

n+

+iy,

2y

2y

;

2

j

ctg z

2 =

e;

+e

;2

<1,

2y

2y

j

e;

+e

+2

1

TOGDA KAK NA \GORIZONTALXNYH", T. E. PRI z =x

i n+

,

;

2

(2n+1)

(2n+1)

ctgz 2

6

e; +e

;2

1.

(2n+1) (2n+1)

n

+

j

j

e;

+e

+2

;!

|TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ w =ctgz

! 1

OGRANI^ENa NA DAN-

NOJ POSLEDOWATELXNOSTI KONTUROW

;n

I POTOMU (NE OB-

LADAQ SWOJSTWOM

3

)

UDOWLETWORQET USLOWI@

3

S

m=1.

| ee PO-

L@SA 2-GO PORQDKA I zj = j

j =

1 2 : : : , | ee POL@SOW

1-GO PORQDKA) QWLQ@TSQ SOOTWETSTWENNO

res ctgz

res(z;1ctg z)

cos 0

1

1

1

z=0

z=0

g0(z) =

z2

+

z

=

sin0

0 z2

+ 0 z

=

z2

I

res (z;1ctg z)

cos j

1

1

1

gj(z) =

z= j

=

=

,

z; j

(z sin z)z0= j

z; j

j

z; j

: : : g:

z;1ctg z =

lim

gj(z) = lim

1

+

1

1

=

2

j z j

n

+

zj

int;n

n

+

1

z

!

2

!

n6j6n

;

1

; j=0

P

P

+1

6

1

1

1

1

= z2

+ j=1 j

z; j ; z+ j

P

1

+1

2z

1

+1

1

1

ctg z =

z

+

j=1

z2

( j)2 = z

+

z

j=1

P

;

P

;

(\RASKRYTIE SKOBOK" W PRAWYH ^ASTQH OBOIH RAZLOVENIJ NE

DOPUSKAETSQ: OBA RQDA

+1

1

I

+1

1

PO OTDELXNOSTI

z

j

z+ j

j=1

j=1

RASHODQTSQ!).

P

;

P

zAPISAW POSLEDNEE RAZLOVENIE W WIDE

ctgz

1

= +1

1

+

1

,

z

C

z =

2 : : : ,1

2

; z

j=1 z; j

z+ j

z

6

MOVNO UTWERVDATX, ^TO ESLI TO^KA

OSTAETSQ W PREDELAH

P

r

0

T. E.

jzj

6 r , TO DLQ L@BOGO

KRUGA RADIUSA

S CENTROM

(SKOLX UGODNO MALOGO) POLOVITELXNOGO ^ISLA

"

1

;

1 dLQ FUNKCII w = ctg z

;

OSOBAQ TO^KA z = 0 QWLQETSQ USTRA-

z

NIMOJ, A POTOMU ZNA^ENIE

z = 0

OKAZYWAETSQ DLQ \TOJ FUNKCII (PRI

DOOPREDELENII ctg z

1

def

= 0) DOPUSTIMYM.

1

n

1

1

ctg z ; z ; j=1 z

;

j +z+ j 6

+P

+

1

P

1

1

P

6

z

;

j + z+ j 6

2

j

;

r <"

LI[X TOLXKO n

j=n+1

;

j=n+1

DOSTATO^NO WELIKO

n

>n0(" r)

.

KA OBLASTI C rf 2 : : : g, a L

| KAKAQ-LIBO LOMANAQ

(DLINY l(L)) S NA^ALXNOJ TO^KOJ 0 I KONE^NOJ z, NE WYHODQ-

]AQ ZA PREDELY \TOJ OBLASTI (RIS. 84), MOVNO UTWERVDATX,

^TO DLQ cKOLX UGODNO MALOGO ^ISLA " > 0

I L@BOJ TO^KI

2C c j j6l(L)

n

+1

ctg z

1

1

1

1

+

6

2

<"

; z ; jP=1 z; j z+ j

j=Pn+1

j;l(L)

;

LI[X TOLXKO n

DOSTATO^NO WELIKO

n >n0(" L) . s U^ETOM

1

1

1

P R

1

R

ctg ;

< " l(L),

L

d ; j=1

L

; j + + j d

PRI "

!

0 (WLEKU]EMU STREMLENIE n K +

1

) |

1

n

1

1

ctg

d =

lim

+

d .

;

; j

+ j

L

n!+1 j=1

L

R

P R

ROWANII)

z

n!+1j=1

; j

z

= exp ln

= exp lim

ln 1

=

! 1 P

! 1 Q

n +

n

j

P

n +

n

j

= lim

exp

ln 1

;

z

2

z

2

=

lim

1

;

.

j=1

j=1

PROIZWEDENIE1