Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf
201 w OBOIH SLU^AQH WOZNIKAET PROTIWORE^IE: ODNOWREMENNO
ISTINNY RAWENSTWO z =sup Z1 I EGO OTRICANIE. |
Q.E.D. |
|
tEOREMA EDINSTWENNOSTI. eSLI w =f(z) I w = g(z) | |
||
ANALITI^ESKIE W OBLASTI D C FUNKCII, KOTORYE LIBO |
||
1 |
|
|
a) SOWPADA@T NA NEKOTOROM PODMNOVESTWE E |
|
D, IME- |
@]EM PREDELXNU@ TO^KU W OBLASTI D (RIS. 75), |
LIBO |
|
B) SOWPADA@T WMESTE S PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW W |
||
NEKOTOROJ TO^KE z0 2D: f(k)(z0)= g(k)(z0) k = 0 1 : : : ,
TO \TI FUNKCII SOWPADA@T TOVDESTWENNO W OBLASTI D: f(z) g(z) z 2D.
rIS. 75
dOKAZATELXSTWO. w SLU^AE WYPOLNENIQ PERWOGO IZ USLO- WIJ PUSTX z0 | TO^KA OBLASTI D, QWLQ@]AQSQ PREDELXNOJ DLQ MNOVESTWA E (POSLEDNEE PO OPREDELENI@ OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 ESTX OTLI^NYE OT NEE TO^-
KI z 2E, A POTOMU IZ NIH MOVNO SOSTAWITX POSLEDOWATELXNOSTX fzng, SHODQ]U@SQ K TO^KE z0 | KAK NA RIS. 75). tAK KAK FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W TO^KE, QWLQETSQ W NEJ NE-
PRERYWNOJ, f(z0) ; g(z0) = lim ;f(zn) ;g(zn) = 0. wYWOD: n!+1
1 k PRIMERU, SOWPADA@T W OKRESTNOSTI (SKOLX UGODNO MALOJ) KAKOJ-LIBO TO^KI z0 2D.
202
TO^KA z0 2D, PREDELXNAQ DLQ MNOVESTWa E D, NA KOTOROM ANALITI^ESKIE W OBLASTI D FUNKCII w = f(z) I w = g(z)
SOWPADA@T, QWLQETSQ NEIZOLIROWANNYM NULEM DLQ ANALITI-
^ESKOJ FUNKCII w = f(z);g(z), ^TO (S. 200) WOZMOVNO LI[X ESLI f(z) g(z) W OBLASTI D.
eSLI VE WYPOLNENO WTOROE USLOWIE, T. E.
f(z0)=g(z0) f0(z0)= g0(z0) f00(z0)=g00(z0) : : : ,
TO TO^KA z0 2D OKAZYWAETSQ NULEM BESKONE^NOJ KRATNOSTI
DLQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D FUNKCII w = f(z);g(z), ^TO OPQTX VE WOZMOVNO TOLXKO W SLU^AE f(z) g(z). Q.E.D.
aNALITI^ESKOE PRODOLVENIE1
tO, ^TO ZADANNAQ W OBLASTI D C ANALITI^ESKAQ FUNK- CIQ w =f(z) DOPUSKAET ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE IZ OBLASTI D W NE PRINADLEVA]U@ EJ TO^KU z , PO OPREDELENI@ OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET OBLASTX De C , SODERVA]AQ KAK
OBLASTX D, TAK I TO^KU z (RIS. 76), I ANALITI^ESKAQ W NEJ FUNKCIQ w =fe(z), TAKAQ, ^TO fe(z) f(z) W OBLASTI D.
rIS. 76
1 tERMIN \ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE" QWLQETSQ SOBIRATELXNYM, TAK ^TO NARQDU S PREDLAGAEMYM ZDESX, KRATKIM I UPRO]ENNYM, IME- @TSQ DRUGIE EGO TOLKOWANIQ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
203 |
|||
|
pRIMERY. |
1. |
|
fUNKCIQ w = |
+1 |
zn OPREDELENA I QWLQETSQ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D=+ z 2 : |
|
jzj<1 |
|
|
|
- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
STE |
||||||||||||
ANALITI^ESKOJ W KRUGE SHODIMOSTI |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
PENNOGO RQDA W PRAWOJ ^ASTI. tAK KAK |
|
1zn = |
|
1 |
z |
|
|
D, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
FUNKCIQ w = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP=0 |
|
|
|
|
1;z |
|
2 |
|
|
||||||
1;z |
OSU]ESTWLQET ANALITI^ESKOE PRODOLVE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
NIE FUNKCII w = |
P |
zn IZ KRUGA D W L@BU@ WYHODQ]U@ ZA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
EGO PREDELY I OTLI^NU@ OT 1 TO^KU PLOSKOSTI C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2. pUSTX w = ln z = ln z +i arg z | ODNOZNA^NAQ WETWX |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
LOGARIFMA W OBLASTI z 2j Cj : |
; |
2 |
< arg z < |
2 |
|
|
(T. E. PLOS- |
||||||||||||||||||||||||||
KOSTI C S \RAZREZOM" PO NEOTRICATELXNOJ ^ASTI MNIMOJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
OSI). tAK KAK ln(n)z = |
(;1) |
|
|
;n |
|
n |
= 1 |
2 : : : , A |
ln 1 = 0 |
(DLQ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n;1)!z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
\TOJ ODNOZNA^NOJ WETWI), ee RaZLOVENIEM tEJLORA PO STE- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
( 1)n;1(z |
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
PENQM z;1 QWLQETSQ ln z =n=1 |
; |
|
|
|
|
n |
; |
|
jz;1j<1. uKA- |
||||||||||||||||||||||||
ZANNAQ ODNOZNA^NAQ WETWX |
|
w = ln z OSU]ESTWLQET PO\TOMU |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 ( 1)n;1(z |
|
1)n |
|
||||||
ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w = |
|
|
|
; |
n |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 2 : jz;1j<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
IZ KRUGA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
| KRUGA SHODIMOSTI STEPENNOGO |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RQDA W PRAWOJ ^ASTI | W L@BU@ LEVA]U@ WNE \TOGO KRUGA,
NO NE NA NEOTRICATELXNOJ ^ASTI MNIMOJ OSI, TO^KU z , Na-
PRIMER z =;1, DLQ KOTOROJ ln(;1)=lnj;1j+i arg(;1)=;i . nO NA TOM VE OSNOWANII ANALITI^ESKoE PRODOLVENIE
FUNKCII |
w = +1 (;1)n;1(z;1)n |
|
| IZ TOGO VE KRUGA W TU |
|||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
VE TO^KU z =P1 | OSU]ESTWLQET I DRUGAQ ODNOZNA^NAQ |
||||||||||
WETWX w = ln z = ln |
z |
|
+ i arg z | TA, KOTORAQ OPREDELENA W |
|||||||
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
3 |
|
OBLASTI |
; |
|
|
< arg z < |
2 , I DLQ KOTOROJ, SLEDOWA- |
|||||
|
z |
2 C : ;2 |
||||||||
TELXNO, |
ln( |
1)=i . |
|
|
|
|
|
|||
kAK POKAZYWAET POSLEDNIJ PRIMER, ANALITI^ESKOE PRO-
204
DOLVENIE FUNKCII IZ OBLASTI D C W TO^KU z 2 C , z 2= D, NE OBQZATELXNO QWLQETSQ EDINSTWENNYM: DWE FUNK-
CII w = f(z) I w = f^(z), ANALITI^ESKIE W DWUH RAZNYH OB-
|
^ |
LASTQH D I D, SODERVA]IH KAK OBLASTX D, TAK I TO^KU z |
|
(RIS. 77), eI SOWPADA@]IE W OBLASTI D S FUNKCIEJ w =f(z), |
|
MOGUT IMETe |
RAZNYE ZNA^ENIQ W TO^KE z . pROTIWORE^IQ S TE- |
OREMOJ EDINSTWENNOSTI (c. 201) ZDESX NET: OSU]ESTWLQ@]IE
ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w = fe(z) I w = f^(z) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W RAZNYH OBLASTQH.
rIS. 77
tO, ^TO ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f(z) IMEET RAZNYE ANALITI^ESKIe PRODOLVENIQ IZ OBLASTI D W ODNU I TU
2 C z 2= D, MOVNO SFORMULIROWATX INA^E: REZULXTATOM ANALITI^ESKIH PRODOLVENIJ \TOJ FUNKCII (IZ OBLASTI D) OKAZYWAETSQ MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ1.
1 nA MNOGOZNA^NYE FUNKCII, WOZNIKA@]IE W REZULXTATE ANALITI-
^ESKIH PRODOLVENIJ, RASPROSTRANQ@T (WSLED ZA wEJER[TRASSOM) TER-
MIN ANALITI^ESKAQ | W OTLI^IE OT TERMINOW GOLOMORFNAQ I REGULQR-
NAQ (VII, S. 106), PRIMENIMYH TOLXKO K ODNOZNA^NYM FUNKCIQM.
205
mEHANIZM ANALITI^ESKIH PRODOLVENIJ (I WOZNIKNOWE-
NIQ MNOGOZNA^NOSTI) PROQSNQET SLEDU@]IJ KOMMENTARIJ K TEOREME tEJLORA (W EE FORMULIROWKE NA S. 195).
|
|
|
|
|
+1 f(k)(z0) |
(z;z0) |
n |
|
w SILU \TOJ TEOREMY RAZLOVENIE |
f(z)=n=0 n! |
|
||||||
P z;z0 ) |
|
|
||||||
|
w =f(z) |
|
( |
|
|
|
||
FUNKCII |
|
W RQD tEJLORA |
|
PO STEPENQM |
|
IMEET |
||
MESTO W KRUGE S CENTROM z0 , CELIKOM PRINADLEVA]EM OBLAS-
TI ANALITI^NOSTI D \TOJ FUNKCII. rADIUS SHODIMOSTI
\TOGO RQDA ZAWEDOMO NE MENX[E RASSTOQNIQ OT TO^KI z0 DO
GRANICY @D OBLASTI ANALITI^NOSTI FUNKCII w =f(z), NO NE ISKL@^ENO, ^TO NA SAMOM DELE ON BOLX[E \TOGO RASSTOQ- NIQ, INA^E GOWORQ, KRUG SHODIMOSTI RQDA tEJLORA FUNKCII WYHODIT ZA PREDELY OBLASTI EE ANALITI^NOSTI.
tO, ^TO \TO DEJSTWITELXNO SLU^AETSQ, WIDNO NA PROSTEJ-
[EM PRIMERE FUNKCII w = |
+1 |
zn, OPREDELENNOJ I ANALITI- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ESKOJ W KRUGE |
D = z |
2 |
C |
P: jzj |
< 1 |
|
| KRUGE SHODIMOSTI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
\TOGO STEPENNOGO RQDA. |
|
|
w TO WREMQ KAK RQD tEJLORA \TOJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
FUNKCII PO STEPENQM z |
|
;1 |
|
1 |
|
|
SHODITSQ LI[X W SODERVA]EMSQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W D KRUGE z |
2 |
C |
: |
j |
z |
; 2 j |
1 |
|
2 |
|
, KRUGOM SHODIMOSTI EE RQDA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
tEJLORA PO STEPENQM z + |
|
|
|
QWLQETSQ SODERVA]IJ D KRUG |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2C : |
|
jz+ 21 |
j |
< |
3 |
.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
bOLEE INTERESNA W \TOM OTNO[ENII SITUACIQ S ODNOZNA^NOJ WET- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WX@ LOGARIFMA |
w = ln z = ln jzj |
+i arg z, WYDELQEMOJ (W PLOSKOSTI C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S \RAZREZOM" WDOLX LU^A, WYHODQ]EGO IZ NA^ALA KOORDINAT POD UG- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
LOM |
|
|
|
|
K DEJSTWITELXNOJ OSI) |
USLOWIEM |
|
|
|
< argz < |
11 |
. w TO WRE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
; |
|
|
; 6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||
MQ KAK RQD tEJLORA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
|
|
1)n UKAZANNOJ ODNOZNA^NOJ WET- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
+1 (;1)n |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
WI |
|
w = ln z IMEET RADIUS SHODIMOSTI 1, |
A POTOMU SHODITSQ W KRUGE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
C : |
|
j |
z |
; |
1 |
j |
<1 |
, PREDSTAWLENIE ln z = +1 (;1)n;1 (z |
; |
1)n IMEET MESTO |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 wSE \TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO |
|
P |
zn = |
; |
W KRUGE D. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
1 z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
206
LI[X W TOJ ^ASTI \TOGO KRUGA, KOTORAQ NE ZA[TRIHOWANA NA RIS. 78,
+1
TOGDA KAK W ZA[TRIHOWANNOJ EGO ^ASTI ln z = P (;1)n;1 (z;1)n + 2 i.
n=1 n
rIS. 78
w TOM SLU^AE, |
KOGDA PERESE^ENIE D \K OBLASTI ANA- |
||||||||||||
LITI^NOSTI D FUNKCII w = f(z) I KRUGA SHODIMOSTI K |
|||||||||||||
EE RQDA tEJLORA |
+1 f(n)(z0) |
(z ;z0) |
n |
( |
S CENTROM RAZLOVENIQ |
||||||||
n=0 n! |
|||||||||||||
P |
|
|
|||||||||||
z0 2D) |
|
|
|
|
|
( |
|
. |
|
. |
|
- |
|
|
OKAZYWAETSQ SWQZNYM MNOVESTWOM |
|
T |
|
E |
|
PREDSTAWLQ |
|
|||||
ET SOBO@ OBLASTX RIS. 79), TO ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE |
|||||||||||||
FUNKCII w = f(z) IZ OBLASTI D W OB_EDINENIE D[K \TOJ |
||||||||||||||
OBLASTI S KRUGOM K OSU]ESTWLQET FUNKCIQ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
w = |
8 |
|
|
f(z) |
ESLI |
z 2D |
|
|
||||
|
|
+1 f(n)(z0) |
(z;z0)n |
ESLI |
z 2K |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||||||
|
|
|
|
<n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ODNOZNA^NOSTX |
P\TOJ FUNKCII | SOWPADENIE ZNA^ENIJ f(z) |
|||||||||||||
|
P |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 f(n) (z0) |
|
|
n |
|
|
|
D |
\ K |
|
D |
|
||
I |
n=0 |
n! |
(z ;z0) |
W PERESE^ENII |
OBLASTI |
I |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
KRUGA |
K | WYTEKAET IZ TEOREMY EDINSTWENNOSTI (c. 201), |
|||||||||||||
PRIMENENNOJ K ANALITI^ESKIM W OBLASTI D \K FUNKCIQM
207
w =f(z) I w = +P1 f(n)(z0)(z;z0)n (PERWAQ QWLQETSQ ANALITI-
n=0 n!
^ESKOJ W OBLASTI D, a WTORAQ | W KRUGE K) I (W KA^ESTWE
MNOVESTWA E IZ FORMULIROWKI TEOREMY EDINSTWENNOSTI)
KONCENTRI^ESKOMU S K KRUGU K0 (D \K), W KOTOROM DAN-
NYE FUNKCII SOWPADA@T PO TEOREME tEJLORA (S. 195).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rIS. 79 |
|
|
|
|
|
|
w SLU^AE VE, KOGDA PERESE^ENIE D K |
OBLASTX@ NE QWLQ- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
P |
|
|
ETSQ |
( |
RIS |
. 80) , |
SOWPADENIE ZNA^ENIJ |
f(z) |
I |
n=0 n! |
(z;z0) |
n |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
DLQ WSEH TO^EK z |
2 |
D |
\ |
K NE GARANTIROWANO2, A POTOMU FUNK- |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
CIQ |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
P |
f(z) |
ESLI |
z 2D |
|
|
||||||||
|
|
|
+1 f(n)(z0) |
(z;z0)n |
ESLI |
z 2K |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
<n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
: |
|
|
|||||||||||||||
1 kAK, NAPRIMER |
, W OBSUVDAW[EJSQ NA SS. 205{206 SITUACII S ODNO- |
||||||||||||||||
ZNA^NOJ WETWX@ LOGARIFMA.
2 TEOREMA EDINSTWENNOSTI ZDESX NE PRIMENIMA, TAK KAK MNOVESTWO
D\K NE QWLQETSQ OBLASTX@.
208
OSU]ESTWLQ@]AQ ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w =f(z), MOVET OKAZATXSQ MNOGOZNA^NOJ.
rIS. 80
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, SLEDUQ SHEME DOKAZATELXSTWA TEOREMY lIUWILLQ (S. 197), ^TO L@BAQ CELAQ FUNKCIQ w = f(z) S OGRANI^ENIEM
NA ROST jf(z)j6cjzjn PRI z ! 1 ESTX MNOGO^LEN STEPENI NE WY[E n. |
||||
2. nAJTI WSE CELYE FUNKCII w =f(z), UDOWLETWORQ@]IE TOVDESTWU |
||||
f(z) |
|
f(az) DLQ NEKOTOROGO ^ISLA a c |
j |
a =1. |
|
|
j6 |
||
3. |
~TO MOVNO SKAZATX OB ANALITI^ESKIH W OBLASTI D C FUNK- |
|||
CIQH w =f(z) I w =g(z), ESLI f(z)g(z) 0 W \TOJ OBLASTI?
209
XIV . kAK WYDELQ@T I KLASSIFICIRU@T OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ1
oSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) | \TO TE TO^KI RAS[IRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI C , W KOTO-
RYH DANNAQ FUNKCIQ ANALITI^ESKOJ NE QWLQETSQ, NO W L@-
BOJ OKRESTNOSTI KOTORYH ESTX TO^KI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII.2
k PRIMERU, DLQ FUNKCII w = 1 OSOBYMI TO^KAMI QWLQ- @TSQ 0 I 1, FUNKCIQ VE w = ez z(KAK I L@BAQ CELAQ FUNK- CIQ) IMEET EDINSTWENNU@ OSOBU@ TO^KU 1 DLQ FUNKCII
w = +P1cnzn | SUMMY STEPENNOGO RQDA, IME@]EGO NENU-
n=0
LEWOJ RADIUS SHODIMOSTI r, | OSOBYE TO^KI SOSTAWLQ@T OKRUVNOSTX fz 2 C : jzj = rg | GRANICU KRUGA SHODIMOSTI fz 2C : jzj<rg DANNOGO STEPENNOGO RQDA.
tO^KA z0 2 C , QWLQ@]AQSQ OSOBOJ DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z), S^ITAETSQ USTRANIMOJ, ESLI SU]ESTWUET
ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE \TOJ FUNKCII IZ OBLASTI EE ANALITI^NOSTI W TO^KU z0 (XIII, c. 202).3
qWNYJ PRIZNAK NEUSTRANIMOSTI OSOBOJ TO^KI | NEOGRA-
NI^ENNOSTX FUNKCII W ee OKRESTNOSTI.
TO^Ka WETWLENIQ \MNOGOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII" NE MO-
VET BYTX USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ NI DLQ ODNOJ IZ EE ODNOZNA^NYH WETWEJ.
1 sLEDUET POD^ERKNUTX: RE^X IDET OB ODNOZNA^NYH ANALITI^ESKIH FUNKCIQH, W ^ASTNOSTI, TEH, KOTORYE QWLQ@TSQ ODNOZNA^NYMI WETWQMI \MNOGOZNA^NYH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ" (XIII, SNOSKA NA S. 204).
2 wYRAVAQSX DRUGIMI SLOWAMI, OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNK-
CII | \TO GRANI^NYE TO^KI OBLASTI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII.
3 pONQTIE USTRANIMOSTI RASPROSTRANQ@T I NA SLU^AJ z0 =1, S^I- TAQ OSOBU@ TO^KU 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) USTRANIMOJ,
ESLI 0 OKAZYWAETSQ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ DLQ FUNKCII w =f;1z .
210
|
pRIMERY |
. 1. |
|
sUMMA STEPENNOGO RQDA |
+1 |
zn QWLQETSQ ANA- |
|||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LITI^ESKOJ FUNKCIEJ W KRUGE fz 2C : jzjP<1 , A TAK KAK WNE |
|||||||||||||||||||||||
\TOGO KRUGA DANNYJ STEPENNOJ RQD RASHODITSQ, WSE TO^KI |
|||||||||||||||||||||||
z C |
c z |
= 1 |
|
QWLQ@TSQ OSOBYMI DLQ \TOJ FUNKCII. pO- |
|||||||||||||||||||
2 |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
+j1j |
z |
n |
= |
|
1 |
|
PRI |
j |
z |
j |
<1, DLQ FUNKCII w= |
+1 |
z |
n |
\TI |
|||||||
SKOLXKU |
|
1;z |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
||||||
OSOBYE TO^KI, KROME z =1, OKAZYWA@TSQ USTRANIMYMI.1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
fUNKCIQ w = p |
|
|
|
, ESLI S^ITATX, ^TO W ^ISLITELE |
||||||||||||||||||
z |
|
||||||||||||||||||||||
|
p |
|
| L@BOE (IZ DWUH WOZMOVNYH), NO ODNo |
||||||||||||||||||||
I ZNAMENATELE |
z |
||||||||||||||||||||||
I TO VE ZNA^ENIe KWADRATNOGO KORNQ IZ ^ISLA z 6=0, QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ I ANALITI^ESKOJ W OBLASTI C rf0g. |TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ SINUSA (II, c. 37), W SILU KOTOROGO
|
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
||
w = sin |
p |
z |
= |
1 |
+1 (;1)n(p |
z |
)2n+1 |
= p |
z |
+1 (;1)nzn |
, z |
2 |
C r 0 |
g |
|
pz |
|
pz n=0 (2n+1)! |
pz n=0 (2n+1)! |
|
f |
|
|||||||||
SOKRA]ENIE KWADRATNYH KORNEJ W PRAWOJ ^ASTI DAET ANALI-
TI^ESKOE PRODOLVENIE DANNOJ FUNKCII IZ OBLASTI C rf0g
W TO^KU 0, OKAZYWA@]U@SQ PO\TOMU DLQ NEE USTRANIMOJ. dRUGOJ OSOBOJ TO^KOJ \TOJ FUNKCII, NO UVE NEUSTRANIMOJ, QW-
LQETSQ |
1 |
: O EE NEUSTRANIMOSTI SWIDETELXSTWUET NEOGRANI^ENNOSTX |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t>0, |
||
FUNKCII PRI z ! 1, POSKOLXKU PRI z =;t |
||||||||||||||
|
|
sin p |
|
= |
sin it |
= |
et;e;t |
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
+ . |
|||||||
|
|
p |
|
|
|
|
it |
|
2t |
|
;! 1 |
|||
|
|
z |
|
|
|
|
t |
! |
+ |
1 |
|
|||
3. dLQ L@BOJ ODNOZNA^NOJ WETWI w = pz, WYDELQEMOJ W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO (L@BOMU) LU^U, WYHODQ]EMU IZ
1 oSOBAQ TO^KA z = 1 QWLQETSQ DLQ NEE NEUSTRANIMOJ, TAK KAK W
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
z |
n |
SLU^AE WOZMOVNOSTI ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ FUNKCII w = |
|
||||||||||||
IZ KRUGA fz2C : jzj<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
||
W \TU TO^KU ONA OKAZYWALASX BY OGRANI^ENNOJP |
|||||||||||||
PRI z |
|
1, ^TO NEWERNO, POSKOLXKU |
+1 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
! |
lim |
z |
|
= lim |
1;z |
= |
1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
z!1 n=0 |
|
|
z!1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
jzj<1 P |
|
|
jzj<1 |
|
|
|
|
|
|