Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

2

"

"

;

f(z)ei z dz < 2

e; r

2

trdt = 2r

e; r

2

t 2

=

0

Cr

2 r

t=0

R

R

=" 1

e; r <".

Q.E.D.

;

pRIMEROM TOGO, KAK OPERIRU@T S INTEGRALAMI PO \BES-

;

KONE^NYM" KONTURAM MOVET SLUVITX WY^ISLENIE INTEGRA-

2

LA

p

(1+z4)

PO PARABOLE

; = z = x+iy 2 C : x = y

,

;

1+z2

R

OBHODIMOJ W NAPRAWLENII WOZRASTANIQ y (RIS. 88, a) PODRA-

ZUMEWAETSQ TA ODNOZNA^NAQ WETWX w = p

, DLQ KOToROJ

1+z2

p1+02 = 1. iNTEGRAL W TAKIH SLU^AQH PONIMA@T W SMYSLE

GLAWNOGO ZNA^ENIQ1: W DANNOM KONKRETNOM PRIMERE | KAK

dz

def

dz

v.p.

=

lim

,

p1+z2(1+z4)

r

p1+z2(1+z4)

;

!

+

1

;r

R

R

dLQ L@BOGO ^ISLA r > 1 PUSTX ; = ;r Cr | ZAMKNU-

r

TYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR,

SOSTAWLENNYJ IZ DUGI PARABO-

LY ;r I DUGI OKRUVNOSTI Cr , OBHODIMYH \PO HODU ^ASOWOJ

p

dz

STRELKI" (RIS. 89). wY^ISLITX

(1+z4) MOVNO S POMO-

]X@ TEOREMY O WY^ETAH, BERQ;HWr KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OB-

LASTI D

C (SODERVA]EJ ZAMKNUTYJ KONTUR ; ) OB_EDI-

r

NENIE \PRAWOJ POLUPLOSKOSTI" I \EDINI^NOGO KRUGA", T. E.

dz

4

1

ind(; zj) =

= 2 i

res

p1+z2(1+z4)

;Hr

z=zj p1+z2(1+z4)

r

j=1

1P

1

=;2 i zres=z1 p

1+z2

(1+z4) + zres=z4 p

1+z2

(1+z4)

=

=

;

2 i

lim

z;

z1

+ lim

z;

z4

=

z!z1 p1+z2(1+z4)

z!z4 p1+z2(1+z4)

p

1+p

1

1

i

3

2

= p

2

p

(1;i) ; p

(1+i) = 2

Im(1+i)4

= i

2

.

oSTAETSQ ZAPISATX INTEGRAL PO ^ASTI ;r

KONTURA ; KAK

RAZNOSTX INTEGRALOW PO ;

r

I Cr I PEREJTI K PREDELU PRI

r

r !+1, PRIMENIW LEMMU 1 (S. 247{248):

dz

=

lim

dz

=

p1+z2

(1+z4)

r

p1+z2(1+z4)

;

!

+

1

;r

R

R

p

1+p

=

lim

dz

dz

= i

2

.

p1+z2(1+z4) ;Cr p1+z2(1+z

4)

2

r!+1

;

Hr

R

PEREHODOM K KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ

z = ei'. dLQ NA^ALA

R

,

SOWSEM PROSTOJ PRIMER: I =

(n=1 2 : : : ).

0

dANNYJ INTEGRAL SLEDUET PREDWARITELXNO ZAPISAW EGO

1

2

KAK

cos2n 'd', PREOBRAZOWATX W KONTURNYJ | WZQTYJ PO

4

0

OKRUVNOSTIR

C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ

1

2

ei'+e;i' 2n

1

2 (ei'+e;i')2niei'

I =

d'

=

d' =

4

0

2

22n+2

0

iei'

R

1

1 2n

R

1 2n

;

;

(2n)!

H

(z+z )

(z+z )

=

2

2n+2

iz

dz =

2

2n+1

res

z

=

2

2n+1 .

C

z=0

(n!) 2

cos2'

wOT BOLEE SLOVNYJ PRIMER: I =

d', GDE a>0.

2

;

1;a sin '

pRI 0 <a61

\TOT INTEGRAL QWLQETSQR

SOBSTWENNYM (cLU-

pUSTX WNA^ALE 0 < a < 1. pRIMENENIe

FORMUL |JLERA

cos ' =

ei'+e;i'

,

sin ' =

ei';e;i'

I PODSTANOWKA ei' = z

2

2i

PREOBRAZU@T INTEGRAL W KONTURNYJ |

WZQTYJ PO OKRUV-

;

2

jzj

TO^KI z =

;R

;R

4+a(e

2i'

;2+e;

2i'

d'

=

(ae

4i'

;(2a;4)e;

2i'

i'

d' =

)

+a)ie

=

H

(z4+2z2+1)

H

(az4;(2a;4)z2+a)iz dz =

iaz(z;z1)(z;z2)(z;z3)(z;z4) dz,

C

C

255

;i(1;p

)

;i(1+p

)

i(1;p

)

GDE

z1

=

1;a

, z2

=

1;a

, z3

=

1

;a

,

pa

pa

pa

i(1+p

)

1 a

z4 =

p

;

,

PRI \TOM

jz1j<1 jz3j<1

jz2j>1 jz4j>1.

a

]IH WNUTRI OKRUVNOSTI C )

OSOBYH TO^KAH 0 z1 z3

RAW-

p

p1;a , PRIMENENIE TEOREMY

NY SOOTWETSTWENNO

1

1;a

ia

2ia

2ia

O WY^ETAH (XV, S. 233)

POZWOLQ@T ZAKL@^ITX: ZNA^ENIE KON-

TURNOGO (A SLEDOWATELXNO, I ISHODNOGO) INTEGRALA W SLU^AE

0<a<1 RAWNO 2

1+p1;a

.

a

pRI a>1 INTEGRAL PONIMAETSQ KAK

cos2'

def

v.p.

2

d'=

;Rdef1;a sin '

'1;"1

'2;"2

'3

;"3

'4

;"4

cos2

'

j=1 2 3 4 ;R

+

R

+

R

+

R

+

R

2

d' =

= lim

"j

!0

'1+"1

'2+"2

'3+"3

'4+"4

1;a sin '

j=1 2 3 4 R

R

R

R

(z4 +2z2+1)

"j

!0

L1"

L2"

L3"

L4"

iaz(z;z1)(z;z2)(z;z3)(z;z4)

GDE

| KORNI URAWNENIQ

2

NA

'1 '2 '3

1 ;a sin ' = 0

'4 "

" " "

OTREZKE [

],

a L1 L2 L3 L4 | DUGI OKRUVNOSTI C S

;

NA^ALXNYMI I KONE^NYMI, SOOTWETSTWENNO, ei('1+"1) I ei('2;"2),

(MOV-

= "3 = "4), PRI \TOM z1 = ;p

;i

NO BRATX "1 = "2

a;

1

= ei'1 ,

pa

z2 = p

;i= ei'2, z3

= p

+i = ei'3, z4

= ;p

;i = ei'4

a;

1

a;1

a;

1

pa

pa

pa

pUSTX Cr1 Cr2 Cr3 Cr4 | DUGI OKRUVNOSTEJ S CENT-

RAMI z1 z2 z3 z4

, DOPOLNQ@]IE DUGI L " L "

L" L" DO ZA-

1

2

3

4

MKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;", IZOBRAVENNOGO NA

RIS. 93, a1.

"j

1 rADIUS rj DUGI

() rj ! 0,

Crj RAWEN 2 sin 2 , PO\TOMU "j ! 0

j =1 2 3 4.

pO TEOREME O WY^ETAH ;H"

dz

RA-

iaz(z;z1)(z;z2)(z;z3)(z;z4)

WEN UMNOVENNOMU NA 2i WY^ETU PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII

W NULE.

tAK KAK \TOT WY^ET RAWEN

1

, ZNA^ENIEM INTEGRALA

ia

2

QWLQETSQ

. nAHOVDENIE VE WY^ETOW W TO^KAH z1 z2 z3 z4

a

pa;1

(A ONI RAWNY

I SOSTAWLQ@T W SUMME 0), A TAKVE

2apa(pa;1 i)

PRIMENENIE K INTEGRALAM PO DUGAM C;

C; C;

C; LEM-

MY 2 (S. 248) S = (RIS. 93, B) DAET:

r1

r2

r3

r4

def

v.p.

2

d'=

;R

1;a sin '

4

4

2

+1)

=

lim

+

(z

+2z

dz =

2

.

;"

iaz(z;z1)(z;z2)(z;z3)(z;z4)

"j!0

j=1Cr;

a

j=1 2 3 4

H

P Rj

d'

pO \TOJ VE SHEME WY^ISLQETSQ INTEGRAL

(a

2

C

a=

1)1.

;R 1;2a cos '+a2

6

d'

d'

1 pRI

a = 1 ON PRINIMAET WID

2

'

ILI

;R

'

I RAWEN

+ .

;R

2

2

1

eSLI

j

a = 1, TO INTEGRAL QWLQETSQ SOBSTWENNYM I WY-

j 6