Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf
301
rE[ENIE. pUSTX G1 | PERESE^ENIE DANNOJ OBLASTI G S
1-M KOORDINATNYM UGLOM (RIS. 118, B). oDNOZNA^NAQ WETWX
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
USLOWIEM |
|
FUNKCII = pz4 +1, OPREDELQEMAQ W OBLASTI G1 |
||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 < arg pz4 |
+1 < |
4 |
, OTOBRAVAET EE WZAIMNO-ODNOZNA^NO I |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
||
KONFORMNO NA UGOL |
2C : 0<arg < 4 |
(RIS. 118, |
W, G). |
|||||||||
pRINCIP SIMMETRII PO OTNO[ENI@ K PROMEVUTKAM |
|
|||||||||||
I Le1 (SOOTWETSTWENNO, MNIMOJ OSI I BISSEKTRISY 1-GO KOOR-
DINATNOGO UGLA), OBOZNA^ENNYM PUNKTIROM NA RIS. 118, B, G, S U^ETOM TOGO, ^TO PREOBRAZOWANIQ SIMMETRII OTNOSITELXNO
MNIMOJ OSI PLOSKOSTI C z I BISSEKTRISY 1-GO KOORDINAT-
NOGO UGLA PLOSKOSTI C |
IME@T, SOOTWETSTWENNO, WID z !;7 |
|
||||||||||
z |
||||||||||||
I !7 i , POZWOLQET |
UTWERVDATX: |
FUNKCIQ |
|
|
||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
ESLI z G1 |
L1 |
|||||
|
def |
pz4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
[ |
|
|
=f1 |
(z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(ip(; |
|
)4 +1 |
ESLI z 2G1 [L1 |
|||||||||
|
|
z |
||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
rIS. 119
PREOBRAZUET OBLASTX G2 = G1[G1 [L1 | WERHN@@ POLUPLOSKOSTX S \RAZREZAMI" DLINY 1 PO BIcSEKTRISAM 1-GO I 2-GO
302
KOORDINATNYH UGLOW (RIS. 119, A) | WZAIMNO-ODNOZNA^NO I KONFORMNO NA 1-J KOORDINATNYJ UGOL S \RAZREZOM" DLINY 1 PO EGO BIcSEKTRISE (RIS. 119, B).
oDNOZNA^NAQ WETWX FUNKCII ! = p4 4 +1, OPREDELQEMAQ W
TO^KAH \TOGO UGLA USLOWIEM 0 <arg p4 4 +1 < 4 , OTOBRAVAET EGO NA TAKOJ VE UGOL BEZ \RAZREZA" (RIS. 119, W), POSLE ^EGO PRIMENENIE PRINCIPA SIMMETRII | NA SEJ RAZ OTNOSITELXNO
PROMEVUTKA L2 = (;1 0) DEJSTWITELXNOJ OSI PLOSKOSTI C z I MNIMOJ OSI PLOSKOSTI C ! (PREOBRAZOWANIQ SIMMETRII
IME@T, SOOTWETSTWENNO, WID z !7 |
|
I w !;7 |
|
) | PRIWODIT |
||||||||||||||||||
z |
w |
|||||||||||||||||||||
K WZAIMNO-ODNOZNA^NOMU I KONFORMNOMU OTOBRAVENI@ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
(f1(z))4 +1 |
|
|
|
|
ESLI z |
2 |
G2 |
[ |
L2 |
|||||||||||
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
! =f2(z) = (p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(f1( |
|
))4 +1 |
|
ESLI z |
|
|
G |
|
|
L2 |
||||||||||||
z |
2 |
[ |
||||||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
G |
|
|
L2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
ISHODNOJ OBLASTI G = G2 |
[ |
[ |
NA WERHN@@ POLUPLOS- |
|||||||||||||||||||
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
KOSTX S \RAZREZOM" PO OTREZKU OT 0 DO i (RIS. 119, G). oSTAETSQ LI[X PRIMENITX TU ODNOZNA^NU@ WETWX FUNK-
CII w = p!2 +1, KOTORAQ OTOBRAVAET WERHN@@ POLUPLOS-
KOSTX S \RAZREZOM" PO OTREZKU OT 0 DO i NA WERHN@@ POLU-
PLOSKOSTX (BEZ \RAZREZA"), ^TO I DAET OKON^ATELXNYJ OTWET:
TREBUEMOE OTOBRAVENIE ZADANNOJ OBLASTI G NA WERHN@@ POLUPLOSKOSTX OSU]ESTWLQET FUNKCIQ w = p(f2(z))2 +1.
tEOREMA OB OBRATNOJ FUNKCII. eSLI W OBLASTI G C
FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ I ODNOLISTNOJ,
TO W OBLASTI f(G), NA KOTORU@ \TA FUNKCIQ OTOBRAVAET OBLASTX G, OPREDELENA OBRATNAQ FUNKCIQ z = f;1(w), TAKVE QWLQ@]AQSQ ANALITI^ESKOJ I ODNOLISTNOJ, PRI \TOM
a) |
f;1 0 |
(w)= |
|
1 |
|
W TO^KAH w =f(z) OBLASTI f(G) |
|
f0(z) |
|||||||
B) |
OTOBRAVENIQ FUNKCIQMI w = f(z) I z = f;1(w) OB- |
||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
LASTEJ G I f(G) |
DRUG NA DRUGA QWLQ@TSQ KONFORMNYMI. |
||||||
304
tEPERX MOVNO DOKAZATX I ANALITI^NOSTX \TOJ FUNKCII
W OBLASTI f(G), |
T. E. SU]ESTWOWANIE U NEE PROIZWODNOJ W |
||||||||||||||||||
L@BOJ TO^KE w0 2f(G). tAK KAK z !z0 |
()1 w !w0 (WWIDU |
||||||||||||||||||
NEPRERYWNOSTI FUNKCIJ |
w = f(z) |
I |
z = f; (w)), |
A |
f |
0(z0) 6= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(W SILU PRINCIPA LOKALXNOJ ODNOLISTNOSTI), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
def |
|
f;1(w) |
; |
f;1(w0) |
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
||
f;1 0 |
(w0) = lim |
|
|
= lim |
|
|
; 0 |
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
; |
w!w0 |
w;w0 |
|
w!w0 f(z);f(z0) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
z;z0 |
|
= |
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0(z0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z!z0 |
f(z);f(z0) |
|
|
|
|
|||||
kONFORMNOSTX OSU]ESTWLQEMYH FUNKCIQMI w = f(z) I OTOBRAVENIJ OBLASTEJ G I f(G) DRUG NA DRUGA WYTEKAET IZ NEOBRA]ENIQ W NULX PROIZWODNYH OBEIH FUNK-
CIJ. Q.E.D.
|
pRIMER. |
tAK KAK CELAQ FUNKCIQ w =exp z QWLQETSQ OD- |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 I |
|
NOLISTNOJ W L@BOJ POLOSE |
|
z 2 C : < Im z < +2 |
|||||||
OTOBRAVAET EE NA OBLASTX |
|
w |
|
C |
: < arg w < +2 |
(III, |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c. 45-46), PRIMENENIE TEOREMY OB OBRATNOJ FUNKCII DAET: W
PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO KAKOMU-LIBO LU^U L, WYHODQ-
]EMU IZ TO^KI 0, OPREDELENA OBRATNAQ FUNKCIQ z =exp;1w,
ILI (W BOLEE PRIWY^NYM OBOZNA^ENII) z =ln w | ODNOZNA^- NAQ WETWX LOGARIFMA, KOTORAQ OTOBRAVAET UKAZANNU@ PLOS-
KOSTX S \RAZREZOM" NA POLOSU z 2 C : < Imz < +2 ,
GDE | WELI^INA UGLA, POD KOTORYM LU^ \RAZREZA" L WYHODIT IZ TO^KI 0. pOSKOLXKU UGOL OPREDELEN S TO^NOSTX@
DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2 , FAKTI^ESKI WOZNIKAET BESKONE^NYJ NABOR ODNOZNA^NYH WETWEJ z = ln w, RAZLI^A@]IHSQ SLAGAEMYMI, KRTANYMI 2 i, NO DLQ KAVDOJ IZ KOTORYH
ln0w = 10 = 1 = 1 . iZMENQQ NAPRAWLENIE LU^A L, PO- exp z exp z w
LU^A@T RAZNYE NABORY ODNOZNA^NYH WETWEJ LOGARIFMA.
1 |TO SLEDUET IZ FORMULY |JLERA (II, S. 37): ESLI z1 = x1 +iy1, A z2 = x2 +iy2, TO exp z1 = expz2 W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ex1 =ex2 a y1 ;y2 =2 k k 2Z.
305 tEOREMA EDINSTWENNOSTI OTOBRAVENIQ. kAKOWY BY
NI BYLI TO^KA z0 OBLASTI G C I DEJSTWITELXNOE ^ISLO |
|
, cU]ESTWUET NE BOLEE ODNOJ FUNKCII w = f(z), ANALITI- |
|
^ESKOJ I ODNOLISTNOJ W OBLASTI G, KOTORAQ BY OTOBRAVA- |
|
LA \TU OBLASTX NA EDINI^NYJ KRUG D = w 2 C : jwj < 1 S |
|
WYPOLNENIEM USLOWIJ |
f(z0)=0 arg f0(z0)= . |
|
|
dOKAZATELXSTWO. pUSTX w =f(z) I w = f(z) | DWE FUNK- |
|
CII, OBLADA@]IE PERE^ISLENNYMI SWOJSTWAMIe . pRIMENENIE K TOJ I DRUGOJ TEOREMY OB OBRATNOJ FUNKCII POZWOLQET ZA-
KL@^ITX: OBE KOMPOZICII f f;1(w) I f f;1(w) (RIS. 121)
OPREDELQ@T W KRUGE D OBRATNYE DRUG DRUGU ANALITI^ESKIE |
||||||||||||||||||||||||
FUNKCII cO SWOJSTWAMI: |
|
; e |
|
|
|
|
e; |
|
|
j |
j |
|
||||||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f f;1(w) <1 |
I f f;1(w) |
|
<1 |
W KRUGE |
D (T.E. PRI |
|
w |
<1) |
|||||||||||||||
|
e |
|
|
;1 |
|
0 |
e |
f0(z0) |
|
|
; |
|
|
|
1 |
0 |
|
f0(z0) |
||||||
|
|
; |
|
f |
|
f; (0) =f(z0)=0 f |
|
f; (0) = f(z0)=0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
;e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
arg f |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 earg f |
; |
f |
|
|
|
|
e |
|
|
||||
|
|
f; e (0)=arg f0(z0) |
|
|
; )e(0)=arg f0(z0) =0. |
|||||||||||||||||||
rIS. 121
zAWER[ITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY POZWOLQET SLEDU@]EE ZNAMENITOE UTWERVDENIE, WYWODIMOE IZ PRINCIPA MAKSIMUMA MODU-
LQ (c. 288).
306
|
|
lEMMA {WARCA.1 pUSTX = '(z) |
|
| ANALITI^ESKAQ FUNK- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CIQ W KRUGE D = |
z 2C |
: jzj<1 SO SWOJSTWAMI: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) '(z) <1 |
W KRUGE D |
|
|
B) |
|
'(0)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
TOGDA |
j'(z)j6jzj |
W KRUGE D, PRI^EM RAWENSTWO (HOTQ BY W ODNOJ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TO^KE z2D) MOVET WYPOLNQTXSQ LI[X DLQ FUNKCII '(z) = ei z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( | DEJSTWITELXNOE ^ISLO). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
dOKAZATELXSTWO LEMMY. |
w SILU TEOREMY tEJLORA (XII, c. 180) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
' z |
|
|
c |
|
c z c |
z2 |
|
|
W KRUGE D |
, |
PRI \TOM c |
0 |
= |
' |
|
A SLEDO |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( )= |
|
0+ |
1 |
+ |
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0)=0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
WATELXNO, '(z) = z |
(z), GDE = |
(z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W KRUGE D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
wZQW L@BOE ^ISLO r 2 (0 1), |
MOVNO UTWERVDATX, ^TO MAKSI- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C : |
j |
|
j |
|
|
MUM MODULQ \TOJ FUNKCII W ZAMKNUTOM KRUGE |
z |
jzj 6 r |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(A ON DOSTIGAETSQ W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII u = |
|
(z) W |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\TOM ZAMKNUTOM KRUGE) FAKTI^ESKI DOSTIGAETSQ NA GRANICE \TO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
GO KRUGA: sup j |
|
(z)j |
|
= |
j |
|
(z0)j |
DLQ NEKOTOROJ TO^KI z0 c jz0j = r. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj6r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) |
| POSTOQNNAQ FUNKCIQ, W SLU- |
|||||||||||||||||||||||||
|TO ZAWEDOMO TAK, ESLI = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
^AE VE NEPOSTOQNNOJ FUNKCII = |
(z) DOSTATO^NO PRIMENITX K |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NEJ W OTKRYTOM KRUGE |
|
z 2C : |
jzj |
< r |
|
|
|
PRINCIP MAKSIMUMA MO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
. 288), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
( 0)j |
|
|
sup j |
( )j |
|
j |
0j |
|
. |
|||||||||||||||||
DULQ |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
SOGLASNO KOTOROMU |
|
|
|
z |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
z |
PRI |
z |
<r |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj<r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
kAK SLEDSTWIE DLQ L@BOJ TO^KI z c |
jzj6r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
(z)j6jsupzj6rj |
|
(z)j=j |
(z0)j = |
j |
'(z0) |
j |
< |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jz0j |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
IZ ^EGO |
|
WWIDU PROIZWOLXNOSTI ^ISLA |
|
r |
2 |
(0 1) |
SLEDUET, |
^TO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
(z) |
j |
|
|
|
1, |
|
T. E. |
j |
'(z) |
j |
|
j |
z |
j |
W L@BOJ TO^KE z |
2 |
D. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 nA ZNA^IMOSTX \TOGO UTWERVDENIQ IZ WKL@^ENNOJ W PROGRAMMU
fEDERALXNOJ pOLITEHNI^ESKOJ {KOLY W c@RIHE ZA 1869{70 U^. G. RA-
BOTY {WARCA (SNOSKA 1 NA S. 295) \Zur Theorie der Abbildung" (\k TEORII OTOBRAVENIQ") WPERWYE UKAZAL NEMECKIJ MATEMATIK kARA-
TEODORI (Caratheodori, Constantin, 1873{1950), W ^XEJ FORMULIROWKE
(W Mathematische Annalen, B. 72, 1912, S. 110, A TAKVE W [7], S. 50{51)
\TO UTWERVDENIE I PRIWODITSQ ZDESX.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
307 |
|
|
|
|
|
|
eSLI PREDPOLOVITX, ^TO |
j'(z)j |
= jzj |
(T. E. |
j |
(z)j |
= 1) W NEKO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TOROJ TO^KE z |
2 D, |
|
TO OTS@DA BUDET SLEDOWATX, ^TO WELI^INA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
(z) |
j |
W KRUGE |
|
D DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ (RAWNOGO |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
W TO^KE z |
\TOGO KRUGA, A POTOMU, |
|
SOGLASNO PRINCIPU MAKSI- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MUMA MODULQ, FUNKCIQ = |
|
(z) |
|
QWLQETSQ POSTOQNNOJ W KRUGE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D (RAWNOJ PO MODUL@ 1), T. E. |
|
|
(z) = ei, ILI, ^TO TO VE SAMOE, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(z) = eiz W KRUGE D DLQ NEKOTOROGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
|
Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
wOZWRA]AQSX K DOKAZATELXSTWU TEOREMY, SLEDUET PRIMENITX |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
LEMMU {WARCA, POLAGAQ W NEJ (S PEREOBOZNA^ENIEM PEREMENNOJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z NA w |
) |
WNA^ALE ' w |
|
|
f f |
|
|
1 |
w |
|
|
|
|
A ZATEM ' w |
|
|
f f |
1 w |
) : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )= |
|
|
|
; ( ) , |
|
|
|
|
|
|
( )= |
|
|
|
|
; ( |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f f |
; |
1 w |
|
|
6 w f f |
; |
1 w |
6 w w D |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
j j;e |
|
|
|
|
|
( ) |
j j |
|
|
|
2e; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
PRI \TOM ZAMENA W PERWOM NERAWENSTWE |
w NA f f |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(w) PRIWO- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;e |
|
|
|
|
|
|
f f |
|
e; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
DIT K NERAWENSTWU |
j |
w |
j |
6 |
j |
|
1 w |
|
j, |
KOTOROE W SO^ETANII SO WTO- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ( |
) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
RYM I UTWERVDENIEM |
|
LEMMY {WARCA PRIWODITeK SOOTNO[ENI@ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f f |
|
1 w |
|
|
|
|
eiw w |
|
|
D |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
) |
|
|
2 |
|
eDLQ NEKOTOROGO DEJSTWITELXNOGO ^IS |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
1 w |
|
|
|
||||||||
LA |
|
), |
|
|
A ESLI U^ESTX |
, |
^TO |
arg |
f f |
|
|
|
|
TO |
f f |
|
|
w W |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
; ) (0)=0, |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
||||||||||||||||
KRUGE D, T. E. f |
(z) |
|
f(z) |
W OBLASTI |
|
G. |
Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
sLEDSTWIEM DOKAZANNOJ TEOREMY QWLQETSQ SLEDU@]IJ INTE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
RESNYJ FAKT. |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
eSLI FUNKCIQ w =f(z), |
ANALITI^ESKAQ W KRUGE ILI POLUPLOS- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
KOSTI, WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAET EGO ILI EE NA KRUG ILI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
NA POLUPLOSKOSTX, TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ DROBNO-LINEJNOJ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dOKAZATELXSTWO. pOSKOLXKU NADLEVA]IM DROBNO-LINEJNYM OTOBRAVENIEM L@BOJ KRUG, RAWNO KAK I L@BAQ POLUPLOSKOSTX, WZAIMNO-ODNOZNA^NO PEREWODITSQ NA EDINI^NYJ KRUG (VI, S. 97, SWOJSTWO 2), A KOMPOZICIQ DROBNO-LINEJNYH OTOBRAVENIJ I OB- RATNOE K DROBNO-LINEJNOMU TAKVE QWLQ@TSQ DROBNO-LINEJNYMI (VI, S. 90), DOSTATO^NO RAZOBRATX SLU^AJ, KOGDA w = f(z) | ANA- LITI^ESKAQ FUNKCIQ, WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVA@]AQ KRUG
z 2 C : jzj < 1 NA KRUG w 2 C : jwj < 1 . pUSTX z0 | TA TO^KA, KOTORU@ FUNKCIQ w =f(z) PEREWODIT W 0. pOLAGAQ =arg f0(z0)
308
I ZAME^AQ, ^TO DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ w = ei |
z;z0 |
TAKVE |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1;z0 z |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
z;z0 |
0 |
|
|
||||||
PEREWODIT TO^KU z0 W 0 I arg |
= , PRIHODITSQ DE- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
: |
( ) |
|
ei |
z |
; |
z0 |
. |
|
1;z0 z z=z0 |
|
||||||||||||
LATX WYWOD |
|
f z |
|
|
|
|
|
Q.E.D. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1;z0 z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
~TO KASAETSQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
SU]ESTWOWANIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII, O KOTOROJ |
|||||||||||||||||||||||
GOWORITSQ W TEOREME EDINSTWENNOSTI OTOBRAVENIQ, SPRAWEDLIWA SLEDU- |
|||||||||||||||||||||||
@]AQ TEOREMA, PERWONA^ALXNYJ WARIANT KOTORYE SODERVITSQ W DIS- |
|||||||||||||||||||||||
SERTACII rIMANA (IV, SNOSKA 1 NA S. 59). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
tEOREMA rIMANA |
.1 kAKOWA BY NI BYLA ODNOSWQZNAQ OBLASTX G |
||||||||||||||||||||||
RAS[IRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, GRANICA |
@G KOTOROJ SODERVIT |
||||||||||||||||||||||
BOLEE ODNOJ |
|
TO^KI, |
SU]ESTWUET ANALITI^ESKAQ2 FUNKCIQ w = f(z), |
||||||||||||||||||||
WZAIMNO-ODNOZNA^NO I KONFORMNO OTOBRAVA@]AQ OBLASTX G NA EDI-
NI^NYJ KRUG MOVNO PRI \TOM POTREBOWATX, ^TOBY PROIZWOLXNO WZQ- TAQ TO^KA z0 2 G PEREHODILA W CENTR KRUGA ;f(z0) = 0 , A ARGUMENT PROIZWODNOJ FUNKCII W \TOJ TO^KE IMEL L@BOE ZADANNOE ZNA- ^ENIE ;arg f0(z0) = 2 R , I TOGDA FUNKCIQ w = f(z) OKAZYWAETSQ
EDINSTWENNOJ.3
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO NI W KAKOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ NE QWLQETSQ ODNOLISTNOJ:
2. dOKAZATX, ^TO ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ODNOLISTNOJ W OKRESTNOSTI POL@SA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA \TO POL@S 1-GO
PORQDKA.
3. wYWESTI IZ PREDYDU]IH UPRAVNENIJ, ^TO ESLI CELAQ FUNKCIQ
WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAET PLOSKOSTX C NA PLOSKOSTX C , TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ LINEJNOJ.
1 eE DOKAZATELXSTWA (TREBU@]IE PRIWLE^ENIQ SPECIALXNYH PONQ- TIJ) IME@TSQ, NAPRIMER, U k.kARATEODORI [7] (WMESTE S ISTORI^ESKIM O^ERKOM \TOJ TEOREMY), a.kARTANA [8] I a.i.mARKU[EWI^A [12].
2 |
aNALITI^NOSTX FUNKCII W BESKONE^NOSTI (ESLI 12G) PONIMA- |
||
ETSQ KAK USTRANIMOSTX ee OSOBOJ TO^KI z = |
1 |
. |
|
3 |
w PERWONA^ALXNOJ FORMULIROWKE rIMANA |
|
|
|
[15] (S. 83{84) \NORMIRO- |
||
WO^NYMI USLOWIQMI" BYLI: PROIZWOLXNO WZQTAQ TO^KA z0 2 G PEREHO- DIT W CENTR EDINI^NOGO KRUGA, A PROIZWOLXNO WZQTAQ TO^KA GRANICY OBLASTI G | W L@BU@ ZADANNU@ TO^KU GRANICY \TOGO KRUGA.
309
XIX. ~TO TAKOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA I KAKOWY EGO SWOJSTWA
nESOBSTWENNYE INTEGRALY |
+1 |
|
|
|
|
|||
|
f(t)e;ptdt (S KOMPLEKSNYM |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
PARAMETROM p) PRINQTO NAZYWATXR |
INTEGRALAMI lAPLASA |
1. |
||||||
|
|
|||||||
kAVDYJ TAKOJ INTEGRAL (ESLI ON SHODITSQ HOTQ BY DLQ NE- |
||||||||
KOTORYH ZNA^ENIJ p |
2 |
C ) ZADAET |
PREOBRAZOWANIE lAPLASA |
|
|
|||
|
|
|||||||
|
def +1 |
|
|
|
|
|||
f(t) !7 F (p) = |
0 f(t)e;ptdt, |
|
||||||
FUNKCII =f(t) DEJSTWITELXNOJR |
PEREMENNOJ2, NAZYWAEMOJ |
|||||||
W \TOM SLU^AE ORIGINALOM3, W FUNKCI@ KOMPLEKSNOJ PERE- MENNOJ w = F(p) (oBOZNA^AEMU@ SOOTWETSTWU@]EJ ZAGLAWNOJ BUKWOJ4 FUNKCI@ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, KOTORU@ NA-
ZYWA@T IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU) DANNOGO ORIGINALA, S ISPOLXZOWANIEM OBOZNA^ENIJ f(t) : F (p) I F (p) f(t).5
k FUNKCIQM-ORIGINALAM = f(t) OBY^NO PRED_QWLQ@T SLEDU@]IJ NABOR TREBOWANIJ, NE QWLQ@]IHSQ STROGO OBQ- ZATELXNYMI DLQ SU]ESTWOWANIQ IZOBRAVENIJ, NO PRIDA@- ]IH PREOBRAZOWANI@ lAPLASA UDOBNYE DLQ OBRA]ENIQ S NIM SWOJSTWA:
1 hOTQ DO lAPLASA (Laplace, 1749{1827) IMI OPERIROWAL |JLER. 2 zNA^ENIQ \TOJ FUNKCII MOGUT BYTX KOMPLEKSNYMI.
3 iLI FUNKCIEJ-ORIGINALOM LAT. originalis | PERWONA^ALXNYJ.
4 kAK W KNIGE dV. kARSONA [24], GDE WPERWYE BYLO DANO SISTEMA- TI^ESKOE OBOSNOWANIE \OPERACIONNOGO IS^ISLENIQ" | PREDLOVENNOGO ANGLIJSKIM FIZIKOM hEWISAJDOM (Heaviside, Oliver, 1850 {1925) SPO-
SOBA OBRA]ENIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ALGEBRAI^ESKIE (\The
process of algebraisation, or conversion from di erential to algebraic form" [36], p. iv) ZAMENOJ PROIZWODNOJ PO WREMENI (the time di erentiator) d=dt
ALGEBRAI^ESKIM SIMWOLOM p. pODROBNO O hEWISAJDE I EGO DEQTELXNOS-
TI MOVNO PRO^ITATX W @BILEJNOM IZDANII The Heaviside Centenary Volume. London, 1950 (ESTX W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE).
5 iME@T HOVDENIE I DRUGIE OBOZNA^ENIQ.
