Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

51.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3622 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

USTRANI-

211

NA^ALA KOORDINAT (IV, S. 68), WSE TO^KI \TOGO LU^A QWLQ@TSQ

NEUSTRANIMYMI OSOBYMI TO^KAMI (IV, c. 69). (dLQ FUNKCII

sinpz p

VE w = pz PRI TAKOM PONIMANII z WSE TO^KI \TOGO

LU^A OKAZYWA@TSQ OSOBYMI, NO USTRANIMYMI.)

4. dLQ FUNKCII w = ctgz OSOBYMI QWLQ@TSQ TO^KI 0 2 : : : , A TAKVE 1 WSE ONI NEUSTRANIMYE (WWIDU

NEOGRANI^ENNOSTI FUNKCII W L@BOJ OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH).

fUNKCIQ w =

sin3 z

IMEET TE VE OSOBYE TO^KI | 0

(USTRANIMU@) I 1 (NEUSTRANIMU@), | ^TO I FUNKCIQ IZ

PRIMERA 2. sLEDUET, ODNAKO, OTMETITX, ^TO TAK KAK

sin3 z

+1 (;1)nz2n+1

+1 (;1)nz2n

3 , z

C r

n=0 (2n+1)!

TO^KA 0 POSLE ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ W NEE FUNKCII,

PRAKTI^ESKI OSU]ESTWLQEMOGO SOKRA]ENIEM NA z ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ DROBI W PRAWOJ ^ASTI, OKAZYWAETSQ (DLQ PRO-

DOLVENNOJ FUNKCII!) NULEM KRATNOSTI 2. w \TOM I PODOB-

NYH SLU^AQH GOWORQT, ^TO I SAMA ISHODNAQ FUNKCIQ w = sin3 z z

(DLQ KOTOROJ TO^KA 0 QWLQETSQ OSOBOJ !) IMEET W \TOJ TO^KE

NULX KRATNOSTI 2.

zAME^ANIE. w SWQZI S POSLEDNIM PRIMEROM SLEDUET OTMETITX, ^TO SU]ESTWUET (NE RAZDELQEMOE AWTOROM) MNENIE, PO KOTOROMU

MYE OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII WOOB]E NE SLEDUET S^ITATX EE OSOBYMI TO^KAMI, A NAOBOROT, PRI^ISLQTX IH K TO^KAM ANALITI-

^ENOSTI \TOJ FUNKCII, NAZYWAQ IH EE PRAWILXNYMI TO^KAMI. w SOOT-

WETSTWII S \TIM PODHODOM, NAPRIMER, FUNKCIQ w =		sin z	IMEET OSOBOJ
		sin z
TO^KOJ LI[X 11 ILI DAVE2 WOOB]E NE IMEET
	OSOBYH TO^EK.

1 s^ITAETSQ, ^TO \OSOBENNOSTI" FUNKCII	W TO^KAH		k k 2	Z,
\USTRANENY" EE ANALITI^ESKIM PRODOLVENIEM W NIH FUNKCIEJ w				1.
2 sNOSKA 3 NA S. 209.

212

iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI I IH KLASSIFIKACIQ

tO^KU z0 2 C NAZYWA@T IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ

ANALITI^ESKOJ FUNKCII w=f(z), ESLI U \TOJ TO^KI SU]EST- WUET OKRESTNOSTX1, WSE TO^KI KOTOROJ (OTLI^NYE OT z0 ) QW-

LQ@TSQ TO^KAMI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII.2

nAPRIMER, DLQ ODNOZNA^NOJ WETWI \KWADRATNOGO KORNQ"

w =pz, WYDELQEMOJ W PLOSKOSTI C

S \RAZREZOM" PO KAKOMU{

LIBO LU^U, WYHODQ]EMU IZ TO^KI 0

(PRIMER 3 NA S. 110),

WSE TO^KI \TOGO LU^A (WKL@^AQ 0 I

1) QWLQ@TSQ NEIZOLI-

ROWANNYMI OSOBYMI TO^KAMI. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII

w = ctg :z

(PRIMER 4) OSOBYE TO^KI 0

2 : : : QWLQ@T-

SQ IZOLIROWANNYMI, A OSOBAQ TO^KA

| NEIZOLIROWANNOJ.

kLASSIFIKACIQ (OPISANIE HARAKTERNYH RAZNOWIDNOSTEJ)

IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK ANALITI^ESKIH FUNKCIJ BAZI-

RUETSQ NA TOM, ^TO W OKRESTNOSTI KAVDOJ SWOEJ IZOLIRO-

WANNOJ OSOBOJ TO^KI z0

FUNKCIQ PO TEOREME lORANA (XII,

S. 183)3 IMEET RAZLOVENIE W RQD lORANA:

cn(z

;

z0)n

PRI

;

ESLI z0

f(z)= 8n=;1

P+1 cnzn

PRI

r <

ESLI z0 =

C , TAK I

) RQD lORANA

B OBOIH SLU^AQH (KAK

FUNKCII w = f(z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ

1 t. E. MNOVESTWO WIDA				fz 2	C : 0 < jz ; z0j < rg (PRI NEKOTOROM
r 0 < r 6 +1), ESLI z0			2 C , I		fz 2 C : r < jzj < +1g (PRI NEKOTOROM
r >0), ESLI z0 =	1	.
2	1

|KWIWALENTNO: OSOBAQ TO^KA z0 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) S^ITAETSQ IZOLIROWANNOJ, ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 NET

DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII (W PROTIWNOM SLU^AE OSOBU@ TO^KU

z0 NAZYWA@T NEIZOLIROWANNOJ).

3 pRIMENENNOJ K KOLXCU WIDA fz 2C : 0 <jz;z0j< rg, ESLI z0 2C , I

fz 2C : r <jzj<+1g, ESLI z0 =1.

213

TO^KI z0 RAZDELQ@T NA GLAWNU@ I PRAWILXNU@ ^ASTI.1. gLAWNOJ ^ASTX@ RQDA lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII

w = f(z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI

z0 2

S^ITA@T | SOOTWETSTWENNO SLU^AQM

;

c;1

c;2

c;3

n=;1cn(z;z0)

= z;z0

+ (z;z0)2

+ (z;z0)3

+P1cnzn = c1z + c2z2 + c3z3 +

n=1

PRO^IE SLAGAEMYE RQDA lORANA2 OTNOSQT K EGO PRAWILXNOJ ^ASTI.

pOSKOLXKU SREDI KO\FFICIENTOW lORANA cn MOGUT BYTX I RAWNYE NUL@, NE ISKL@^ENY SLU^AI, KOGDA GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA3 SODERVIT LI[X KONE^NOE ^ISLO (NENULEWYH) SLAGAEMYH ILI DAVE WOWSE OTSUTSTWUET.

sOOTWETSTWENNO SLU^AQM, KOGDA W RQDE lORANA ANALITI- ^ESKOJ FUNKCII w = f(z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 GLAWNAQ ^ASTX

a) OTSUTSTWUET,

B) SODERVIT KONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH,

W) SODERVIT BESKONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH

IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z0 FUNKCII w=f(z) NAZYWA@T A) USTRANIMOJ,

B) POL@SOM,

W) SU]ESTWENNO OSOBOJ.


1 dLQ RQDA lORANA FUNKCII W KOLXCE			z 2	C	: 0< r1 < jz;z0j < r2
ILI	z 2 C : r1 < jzj < r2 < +1	(PERWOE NE QWLQETSQ OKRESTNOSTX@
TO^KI z0 2C , A WTOROE \| TO^KI z0		=1) TAKOGO RAZDELENIQ \| NA GLAWNU@
I PRAWILXNU@ ^ASTI \| NE PROIZWODQT.

2 sODERVA]IE NEOTRICATELXNYE STEPENI z ;z0 W SLU^AE z0 2 C I

NEPOLOVITELXNYE STEPENI z , ESLI z0 = 1.

3 rAWNO KAK I EGO PRAWILXNAQ ^ASTX.

214

pONQTIE POL@SA IMEET UTO^NENIE. s^ITAETSQ, ^TO POL@S z0 FUNKCII w = f(z) IMEET PORQDOK (ILI KRATNOSTX) k,

ESLI1 (z;z0);k ESTX STAR[AQ OTRICATELXNAQ STEPENX z;z0 ILI2 zk ESTX STAR[AQ POLOVITELXNAQ STEPENX z W GLAWNOJ

^ASTI RQDA lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0. pOL@SY 1-GO PORQDKA PRINQTO NAZYWATX PROSTYMI.

nAPRIMER, DLQ FUNKCII w= z12 + 1z +z2+ z3 TO^KI 0 I 1 QWLQ@TSQ POL@SAMI SOOTWETSTWENNO 2-GO I 3-GO PORQDKOW. nAGLQDNU@ ILL@STRACI@ PERE^ISLENNYH TIPOW IZOLIRO-

WANNYH OSOBYH TO^EK DA@T CELYE3 FUNKCII w = f(z), DLQ KAVDOJ IZ KOTORYH WO WSEJ PLOSKOSTI C IMEET MESTO RAZ-

LOVENIE tEJLORA

f(z) = c0 + c1z + c2z2 + c3z3 +	z	2C ,
ODNOWREMENNO4 QWLQ@]EESQ RAZLOVENIEM lORANA \TOJ FUNK-
CII W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI.
eDINSTWENNAQ OSOBAQ TO^KA 1 TAKOJ FUNKCII OKAZYWA-
ETSQ DLQ NEE SOOTWETSTWENNO: A) USTRANIMOJ,		B) POL@SOM
(PORQDKA k), W) SU]ESTWENNO OSOBOJ	TOGDA I TOLXKO TOG-

DA, KOGDA \TA FUNKCIQ ESTX SOOTWETSTWENNO: a) POSTOQNNAQ

(c1 =c2 =				= 0), B) MNOGO^LEN (ck 6=0 ck+1 =ck+2 = = 0),
W) CELAQ TRANSCENDENTNAQ FUNKCIQ (III, c. 53).
sMQG^ITX NEUDOBSTWO, SWQZANNOE S NEOBHODIMOSTX@ OT-
DELXNO RASSMATRIWATX SLU^AI KONE^NOJ (z0									2C ) I BESKONE^-
NOJ		(z0 =1)		OSOBOJ TO^KI	,	POZWOLQET ZAMENA PEREMENNOJ				z
		(z0 =1)			,		+			z
NA	1		, PRI KOTOROJ RQD lORANA					1 cnzn FUNKCII w = f(z),
NA	z		, PRI KOTOROJ RQD lORANA					1 cnzn FUNKCII w = f(z),
							n=;1
							P
1							P
2 w SLU^AE z0 2C .
3 w SLU^AE z0 =1.
		t. E. ANALITI^ESKIe WO WSEJ PLOSKOSTI C .

4 w SILU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA

(XII, S. 188).

215

QWLQ@]EJSQ ANALITI^ESKOJ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI

(PRI	j	z	j	> r), I RQD lORANA	+1 cnz;n FUNKCII w = f		1	,
							z
					n=;1	(PRI
OKAZYWA@]EJSQ ANALITI^ESKOJ W OKRESTNOSTI NULQ
					P

jzj < r;1), PEREHODQT DRUG W DRUGA S ODNOWREMENNYM PERE- HODOM DRUG W DRUGA TAKVE I GLAWNYH ^ASTEJ \TIH RQDOW.

nA OSNOWANII \TOGO MOVNO ZAKL@^ITX:

oSOBAQ TO^KA z0 =1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) QW-

LQETSQ

a) USTRANIMOJ, B) POL@SOM (PORQDKA k),

W) SU-

]ESTWENNO OSOBOJ, G) NEIZOLIROWANNOJ

W TOM I TOLXKO W

TOM SLU^AE, KOGDA z0 =0 OKAZYWAETSQ OSOBOJ TO^KOJ IMEN-

NO TAKOGO WIDA DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f

w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII w = sin

TO^KI 0 I

1 QW-

LQ@TSQ SOOTWETSTWENNO SU]ESTWENNO OSOBOJ I USTRANIMOJ,

POSKOLXKU POSLE ZAMENY z NA

\TA FUNKCIQ PEREHODIT W

w =sin

| FUNKCI@, SOWPADA@]U@ (PRI z =0) S w =sin z,

1=z

A POTOMU IME@]U@ RAZLOVENIE

sin1=z1 = z; z3!3 + z5!5 ; z7!7 + 0<jzj<+1,

QWLQ@]EESQ EE RAZLOVENIEM W RQD lORANA I W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI (PO OTNO[ENI@ K KOTOROJ WESX RQD SOSTOIT IZ GLAWNOJ ^ASTI), I W OKRESTNOSTI NULQ (PO OTNO[ENI@ K KOTOROJ RQD SOSTOIT TOLXKO IZ PRAWILXNOJ ^ASTI).

pONQTIQMI POL@SA ANALITI^ESKOJ FUNKCII I EGO PORQDKA OPERI- ROWALI (E]E DO OFORMLENIQ \TIH TERMINOW) kO[I (NAPRIMER, W [28],

ser. II, t. II, p. 354 t. VI, p. 25) I rIMAN ([15], S. 68{69). wEJER[TRASS

([43], Bd. II, S. 78) WWEL PONQTIE SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI1, A OBRA-

]AQSX S POL@SAMI, NAZYWAL IH NESU]ESTWENNYMI OSOBYMI TO^KAMI2. tERMIN POL@S WO[EL W OBIHOD IZ KNIG nEJMANA ([39], S. 94) I bRIO I bUKE ([23], p. 15).

1 Wesentliche singulare Stelle.

2 Ausserwesentliche singulare Stellen.

216

hARAKTERISTIKA USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KI

dLQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 ANALITI^ESKOJ FUNK-

CII w =f(z) SLEDU@]IE TRI USLOWIQ \KWIWALENTNY:

| USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA FUNKCII w=f(z), T. E.

RAZLOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI

1 NE SODERVIT GLAWNOJ ^ASTI, IMEQ WID

f(z) =

cn(z

;

z0)n

= c0 + c1

;

z0) + c2(z

;

z0)2

n=0

(ESLI z0 2P0 ) ILI

f(z) =

cnzn = c0

c;1

c;22

(ESLI z0

)

n=;1

2 FUNKCIQ w=f(z) IMEET KONE^NYJ PREDEL PRI z !z0

FUNKCIQ w = f(z) OGRANI^ENA

f(z)

6 h

W NEKOTOROJ

OKRESTNOSTI TO^KI z0.

dOKAZATELXSTWO

. pUSTX z0

| TO^KA KONE^NOJ PLOSKOSTI.

1 ) 2 .

tAK KAK

f(z) = n=0cn(z ;z0)

W KOLXCE WIDA

z 2 : 0 < jz ;z0j < r ,

\TO KOLXCO PRINADLEVIT KRUGU

SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA W PRAWOJ ^ASTI, A POTOMU SU-

)

lim f(z) = lim

cn(z

;

z0)n

= c0.

]ESTWUET

z!z0

z!z0 n=0

3 .

l@BAQ FUNKCIQ, IME@]AQ KONE^NYJ PREDEL W

TO^KE, QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI.

) 1 .

tAK KAK

z0 | IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA

ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z), SU]ESTWUET KOLXCO WIDA

fz 2 C :

0 < jz ;z0j < rg, W KOTOROM DANNAQ FUNKCIQ QWLQET-

SQ ANALITI^ESKOJ I PO TEOREME lORANA (XII, c. 183) IMEET

1 t. E. W KOLXCE WIDA z 2 C : 0 < jz ;z0j < r , ESLI z0 | TO^KA KONE^NOJ PLOSKOSTI, I z 2C : r <jzj<+1 , ESLI z0 =1.

1 sTEPENNOJ RQD

											217
	+1			;	z0)n	j	z	;	z0	j	<r, KO-
n=;1
RAZLOVENIE lORANA f(z) =		cn(z				0 <
\FFICIENTY cn KOTOROGO W SILUP			NERAWENSTW kO[I DLQ KO\F-

FICIENTOW lORANA (XII, c. 194) I OGRANI^ENNOSTI FUNKCII

(jf(z)j 6 h) W OKRESTNOSTI TO^KI					z0 UDOWLETWORQ@T NERA-
WENSTWAM
jcnj6	h	0 < <r n=0 1 2 : : :
jcnj6	n	0 < <r n=0 1 2 : : :				! 0, MOVNO
pEREHODQ W \TIH NERAWENSTWAH K PREDELU PRI						! 0, MOVNO
ZAKL@^ITX: cn = 0 DLQ n =;1 ;2					: : : , A POTOMU RAZLOVE-
NIE lORANA FUNKCII w = f(z) W OKRESTNOSTI TO^KI z0											NE
					P
			,		+1			n	.	1
SODERVIT GLAWNOJ ^ASTI			,	IMEQ WID	f(z)=n=0cn(z;z0)				.
PASPROSTRANITX \KWIWALENTNOSTX USLOWIJ						1	;	3			NA
PASPROSTRANITX \KWIWALENTNOSTX USLOWIJ						1		3			NA

SLU^AJ z0 = 1 POZWOLQET PEREHOD OT FUNKCII w = f(z) K FUNKCII w =f z1 , DLQ KOTOROJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^-

KOJ QWLQETSQ z0 =0. sLEDUET LI[X ZAMETITX, ^TO:

a) USTRANIMOSTX OSOBOJ TO^KI z0 = 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) (T. E. OTSUTSTWIE GLAWNOJ ^ASTI W EE RAZ-

LOVENII lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI) RAWNOSILX-

NA USTRANIMOSTI OSOBOJ TO^KI z0 =0 ANALITI^ESKOJ FUNK-
CII w=f	1
	z
B) lim f(z) = limf			1
			z
z!1		z!0
W) OGRANI^ENNOSTX FUNKCII w=f(z) W OKRESTNOSTI BES-

KONE^NOSTI (jf(z)j6h PRI				jzj> r) RAWNOSILXNA OGRANI^EN-
NOSTI FUNKCIIw = f		1	W OKRESTNOSTI NULQ: f		1	6 h
NOSTI FUNKCIIw = f		z	W OKRESTNOSTI NULQ: f		z	6 h
	1
PRI 0<jzj< r . Q.E.D.
PRI 0<jzj< r . Q.E.D.

W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 , WKL@^AQ SAMU \TU TO^KU, A POTOMU EGO SUMMA OSU]ESTWLQET ANALITI-

^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII W TO^KU z0, T.E. USTRANQET OSOBENNOSTX W \TOJ TO^KE (W SMYSLE OPREDELENIQ USTRANIMOSTI, DANNOGO NA c. 209).

218

hARAKTERISTIKA POL@SA

dLQ KONE^NOJ

(z0

2 C )

IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0

ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) cLEDU@]IE USLOWIQ \K-

WIWALENTNY:

1 z0

| POL@S

PORQDKA

FUNKCII

w = f(z),

RAZ-

(

LOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0

IMEET W GLAWNOJ ^ASTI LI[X KONE^NOE ^ISLO (NENULEWYH)

SLAGAEMYH:

c k

f(z) =

;

nP=0

cn(z

;

z0)n

(GDE c

k =0)

(z;z0)

z;z0

;

lim f(z) =

PRI \TOM SU]ESTWUET KONE^NYJ I NE

z!z0

RAWNYJ NUL@

lim (z

z0)

f(z)

;;

3 z0

QWLQETSQ!USTRANIMOJ OSOBOJ

TO^KOJ DLQ FUNKCII

def

w =

, PRI^EM | PRI DOOPREDELENII

= 0 | NULEM

f(z)

f(z0)

\TOJ FUNKCII (KRATNOSTI k).

dOKAZATELXSTWO.

)

2 . dOSTATO^NO ZAPISATX RAZLOVE-

NIE lORANA FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 W WIDE

f(z)= (z;z0)k

c;k + c;k+1(z;z0)+ + c0(z;z0)

(GDE c

=0).

;

;k 6

)

3 . tAK KAK lim f(z) =

, f(z) = 0 W OKRESTNOSTI

z!z0

TO^KI z0 , A POTOMU W \TOJ OKRESTNOSTI FyNKCIQ w =

f(z)

QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ,

IMEQ W TO^KE z0

NULEWOJ PREDEL, A

SLEDOWATELXNO, USTRANIMU@ OSOBENNOSTX (S. 216, 2 ). pOSLE EE ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ W \TU TO^KU DOOPREDELENI-

1 def \TA FUNKCIQ POLU^AET W OKRESTNOSTI TO^KI EM f(z) = 0 z0

		P
	1	+1
RAZLOVENIE tEJLORA WIDA	f(z)	=n=0 bn(z;z0)n, PODSTANOWKA
KOTOROGO W USLOWIE 2 POKAZYWAET, ^TO b0 =			= bk	;	1	= 0, A

219

bk =6 0, T. E. FyNKCIQ w = f(1z) IMEET W TO^KE z0 NULX KRAT-

NOSTI k (XIII, S. 198, 2 ).

3 ) 1 . pUSTX K | KRUG S CENTROM z0 , W KOTOROM FUNK- CIQ w = f(1z) (POSLE USTRANENIQ OSOBENNOSTI W TO^KE z0)

IMEET PREDSTAWLENIE f(1z) = (z;z0)k'(z), GDE w ='(z) | ANA-

LITI^ESKAQ FUNKCIQ, NE OBRA]A@]AQSQ W NULX W \TOM KRUGE

(XIII, c. 198, 3 ). pRIMENENIE TEOREMY tEJLORA K FUNKCII

w =

(TAKVE ANALITI^ESKOJ W KRUGE K) PRIWODIT K ee

'(z)

RAZLOVENI@ tEJLORA

= +1an(z

;

z0)n

(S a0

= 0), z

'(z)

n=0

'(z0) 6

'(z) W \TOM

W SILU KOTOROGO DLQ FUNKCII w = f(z) = (z;z0);

VE KRUGE (NO UVE S ISKL@^ENNYM CENTROM

z0) SPRAWEDLIWO

RAZLOVENIE lORANA1

f(z)= (z

;

z0);k +1an(z

;

z0)n

K z =z0,

n=0

c GLAWNOJ ^ASTX@

a0P

ak;1

(a0

=0).

Q.E.D.

(z;z0)

z;z0

zAME^ANIE

. dOKAZANNOE UTWERVDENIE RASPROSTRANQETSQ

NA SLU^AJ z0 =

PEREHODOM OT FUNKCII w = f(z) (S IZO-

LIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ z0 = 1) K FUNKCII w = f

IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ z0 =0). pRI \TOM SLEDUET

A) STEPENI z;z0 (W USLOWIQH 1 I 2 UTWERVDENIQ) ZAME-

NITX SOOTWETSTWU@]IMI STEPENQMI

B) S^ITATX IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z0 = 1 ANALI-

TI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) EE NULEM (KRATNOSTI k), ESLI

TO^KA z0

= 0 OKAZYWAETSQ NULEM (KRATNOSTI k) FUNKCII

def

w =f

(POSLE EE DOOPREDELENIQ f

= 0).

1 qWLQ@]EESQ TAKOWYM WWIDU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI (XII, S. 188).

220

hARAKTERISTIKA SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI

dLQ TOGO ^TOBY IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 ANALITI- ^ESKOJ FUNKCII w = f(z) BYLA SU]ESTWENNO OSOBOJ, NE- OBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DANNAQ FUNKCIQ NE IMELA

PREDELA (NI KONE^NOGO, NI BESKONE^NOGO) PRI z !z0 .

dOKAZATELXSTWO. l@BAQ IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0

ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) QWLQETSQ LIBO USTRANIMOJ, ^TO RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ U FUNK-

CII w =f(z) KONE^NOGO PREDELA PRI z !z0 (c. 216), LIBO

POL@SOM, ESLI lim f(z)=1 (c. 218), LIBO

z!z0

SU]ESTWENNO OSOBOJ, DLQ KAKOGO SLU^AQ NE OSTAETSQ INOJ WOZMOVNOSTI KAK BYTX \KWIWALENTNYM OTSUTSTWI@ U FUNK-

CII w = f(z) PREDELA (KAK KONE^NOGO, TAK I BESKONE^NOGO)

PRI z !z0. Q.E.D.

tEOREMA kAZORaTI{sOHOCKOGO{wEJER[TRASSA.1 eS-

LI z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z), TO W L@BOJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI DANNAQ FUNK-

CIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ, SKOLX UGODNO BLIZKIE K L@BOMU ZNA^ENI@ w0 2C .2

1 sODERVITSQ W WY[ED[EJ W 1868 G. KNIGE [25] (NA S. 434) ITALXQNS- KOGO MATEMATIKA kAZORATI (Casorati, Felice, 1835{1890), W MAGISTRSKOJ DISSERTACII (TOGO VE 1868 G.) PETERBURGSKOGO MATEMATIKA `LIANA wA-

SILXEWI^A sOHOCKOGO (1842{1927) I (UVE W SOWREMENNYH TERMINAH) W STATXE wEJER[TRASSA 1876 G. \Zur Theorie der eindeutige analytischen Functionen" (NA S. 124 W [43], Bd. II). wOPREKI ISTORI^ESKOJ PRAWDE W ROSSIJSKOJ LITERATURE AWTOROM DANNOJ TEOREMY OBY^NO NAZYWA@T OD-

NOGO sOHOCKOGO, W ZARUBEVNOJ | ODNOGO wEJER[TRASSA.


2 t. E. KAKOWY BY NI BYLI TO^KA w0	2	C I OKRESTNOSTI		Vz0 I
			, DLQ KOTOROJ f(z) 2Vw0 .
Vw0 TO^EK z0 I w0, SU]ESTWUET TO^KA z 2Vz0

rAWNOSILXNAQ FORMULIROWKA TEOREMY: eSLI z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z), TO DLQ L@BOJ TO^KI w0 2C SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX fzng!z0 , DLQ KOTOROJ ff(zn)g!w0 .

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3622 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.201320 Mб209Харитонов Енергетика.pdf
#
16.08.20137.37 Mб219Хлопкин Морская атомная енергетика 2007.pdf
#
16.08.20132.03 Mб69Цывкунова Интернатионал Лаw Учебно-методическое пособие 2010.pdf
#
16.08.2013673.64 Кб68Цыганова Современная нормативная документация 2008.pdf
#
16.08.201315.92 Mб146Чернов Влияние легирования 2007.pdf
#
16.08.201351.53 Mб84Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008.pdf
#
16.08.201310.65 Mб1660Шелегов Насосное оборудование АЕС 2011.pdf
#
16.08.20133.17 Mб1070Шелегов Физические особенности и конструкция Реактора РБМК-1000 2007.pdf
#
16.08.20138.21 Mб333Шишкин Основы проектирования станочных приспособлений 2010.pdf
#
16.08.201311.25 Mб313Шмаков Основы металловедения 2007.pdf
#
16.08.20132.35 Mб115Шмелев Физические основы обезвреживания 2008.pdf