Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
16.08.2013
Размер:
51.53 Mб
Скачать
☆
f(z)dz , GDE ; | L@BOJ ZAMK-
def 1
res f(z) = 2 i
z=z0
TO^KE z0 2C :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

231

 

z

 

 

1

 

1

 

= z;

1

 

1 + z;

2

+ z;

4

 

 

 

z2;1

= z 1;z;2

 

 

 

 

+ 1<jzj<+1.

 

kOMBINIRUQ DANNOE OPREDELENIE WY^ETA S FORMULOJ DLQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

KO\FFICIENTA c

;

1 W RAZLOVENII lORANA (XII, S. 183), PRI-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HODQT K SLEDU@]EMU \KWIWALENTNOMU OPREDELENI@ WY^ETA

ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) W EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ

H; ,

NUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR LEVA]IJ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 (NE cODERVA]EJ DRUGIH OSOBYH TO^EK FUNKCII) I

ODIN RAZ OBHODQ]IJ TO^KU z0 W POLOVITELXNOM NAPRaWLE-

NII (T. E. TAK, ^TO ind(; z0)=1)1.

sLEDUET OTMETITX, ^TO WY^ET ANALITI^ESKOJ FUNKCII W EE KONE^- NOJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE OPREDELQETSQ GLAWNOJ ^ASTX@ EE RQDA lORANA (W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI), TOGDA KAK WY^ET W BESKONE^NOJ

IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE | EGO PRAWILXNOJ ^ASTX@.

fORMULA WY^ETA W POL@SE.2

eSLI TO^KA

z0

2 C |

POL@S ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) PORQDKA 6k, TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res f(z)=

1

lim

(z

 

z

)kf(z) (k;1)

.

 

 

 

 

 

 

z=z0

(k;1)! z!z0

 

;

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dOKAZATELXSTWO

. w OKRESTNOSTI POL@SA z0

PORQDKA 6 k

RAZLOVENIE lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII IMEET WID

 

c;k

c;1

 

2

+

f(z) = (z;z0)k + + z;z0 + c0 + c1(z;z0) + c2(z;z0)

 

uMNOVENIE OBEIH ^ASTEJ \TOGO RAWENSTWA NA (z;z0)k, WZQ- TIE PROIZWODNOJ PORQDKA k;1 I PEREHOD K PREDELU PRI z !z0 POSLEDOWATELXNO PRIWODQT K SLEDU@]IM SOOTNO[ENIQM:

(z;z0)kf(z) = c;k + + c;1(z;z0)k;1 + c0(z;z0)k +

1 w SLU^AE z0 = 1 \TO OZNA^AET, ^TO ind(; 0)=;1 (IX, c. 138).

2 kO[I OPERIROWAL EJ E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ \WY^ET" (NAPRI-

MER, W RABOTE 1825 G.: [28], ser. II, t. II, p. 61).

232

(z;z0)kf(z) (k;1) = 1 2 (k;1)c;1 + 2 kc0(z;z0) +

lim (z;z0)kf(z) (k;1) = (k;1)!c;1. Q.E.D.

z!z0

wOT PRIMER PRIMENENIQ \TOJ FORMULY S PRIWLE^ENIEM (DLQ SOKRA]ENIQ WY^ISLENIJ) OPERACIJ DELENIQ, UMNOVE-

NIQ I PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ STEPENNYH RQDOW (II,

S. 39, 34, 33):

 

 

 

 

 

1

 

 

 

k=3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

 

00

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

;1

 

 

res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

;

 

 

 

 

 

z=0 sin z (1;cosz)

 

 

 

 

 

 

2!

 

z!0 sin z (1;cos z)

 

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

1

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

;1

 

00

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

00

1

 

2!

;

4!

+

 

 

z=0=

2

1+ 3!

+ 2 +

 

3! + z=0=

2 .

eSLI z0

| POL@S 1-GO PORQDKA (PROSTOJ POL@S) FUNK-

CII w =f(z), TO FORMULA WY^ETA PRINIMAET WID

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res f(z)= lim

 

(z

;

z0)f(z)

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=z0

 

 

 

 

 

 

 

 

z!z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A W ^ASTNOM SLU^AE, KOGDA FUNKCIQ ZADANA KAK OTNO[ENIE

f(z) =

'(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z) DWUH ANALITI^ESKIH W TO^KE

z0

FUNKCIJ S

'(z0)=0

 

(z0)=0

 

 

 

0(z0)=0,

 

 

 

res

'(z)

=

 

'(z0)

 

 

, POSKOLXKU

 

 

 

 

 

 

(z)

 

 

0(z0)

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

z=z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (z

;

z0)'(z)

 

 

= lim

(z;z0)'(z)

 

=

 

'(z0)

 

NAPRIMER:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z!z0

 

 

 

(z)

1

 

z!z0

 

(z); (z0)

 

 

 

1

 

0(z0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z (1;cos z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

;2

 

 

 

 

 

 

 

 

z=

 

 

 

 

 

 

sin z (1;cos z)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z+2

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

ESLI w = p

2

;

z+1

|

ODNOZNA^NAQ WETWX, OPREDELQE-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =1 USLOWIEM p1=;1, TO

 

 

MAQ W OKRESTNOSTI TO^KI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res p

 

 

 

 

 

 

 

= (p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

;1

 

 

 

 

 

 

 

 

=6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

z+1

 

2

 

 

z+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

;

0 z=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p2;z z=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(DLQ DRUGOJ ODNOZNA^NOJ WETWI | OPREDELQEMOJ USLOWIEM p

 

= 1 |

1

TO^KA z =1 NE QWLQETSQ

OSOBOJ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

233

tEOREMa O WY^ETAH.1 eSLI FUNKCIQ w =f(z) QWLQETSQ

ANALITI^ESKOJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C ZA ISKL@^E- NIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 : : : zm 2 D, TO KAKOW BY NI BYL LEVA]IJ W OBLASTI D I NE PROHODQ]IJ

^EREZ \TI TO^KI ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, SPRA-

WEDLIWO RAWENSTWO

H

 

P;

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

f(z)dz = 2 i

 

res f(z)

ind(; zj)

 

;

 

j=1

z=zj

 

 

 

W ^ASTNOSTI, ESLI KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ, I OBHOD IM WNUTRENNEJ PO OTNO[ENI@ K NEMU OBLASTI int;

QWLQETSQ POLOVITELXNYM (KAK NA RIS. 81), TO

 

 

 

 

 

H

f(z)dz = 2 i

P

res f(z)

.

;

zj2int ; z=zj

 

rIS. 81

1 w PERWONA^ALXNOM WIDE | W SLU^AE PROSTYH POL@SOW FUNKCII (I E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ \WY^ET") | SODERVITSQ W ZNAMENITOM

MEMUARE kO[I 1825 G. [27], p. 26 (=[28], ser. II, t. XV, p. 59). w OB]EJ FORMULIROWKE WIDE BYLA POLU^ENA IM W 1831 G. ([28], ser. I, t. XI, p. 307).

(z2 : : : zm) I

234

 

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX f(z)=

+1 cn(z z1)n

| RAZLOVE-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=;1

;

 

 

 

 

 

NIE DANNOJ FUNKCII W RQD lORANA W KRUGE S IZ_QTYM CENT-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

ROM z1,

NE WYHODQ]EM ZA PREDELY OBLASTI D I NE SODER-

VA]EM TO^EK z2 : : : zm (RIS. 81).

 

 

 

 

 

 

 

gLAWNAQ ^ASTX

;1

cn(z ;z1)

n

\TOGO RQDA

(

BEZ NEOTRI-

 

 

 

n=

;1

 

 

 

 

 

 

CATELXNYH STEPENEJ

 

z

 

) SHODITSQ NE TOLXKO W UKAZANNOM

 

z

 

 

 

 

 

 

P;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KRUGE, NO I WO WSEJ PLOSKOSTI C S ISKL@^ENNOJ TO^KOJ z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;1

cn(z;z1)n

(II, S. 29), WSLEDSTWIE ^EGO EE SUMMA g1(z) = n=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C r

 

QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W OBLASTI P fz1 g.

 

sLEDUET WYWOD (XIV, UTWERVDENIE NA S. 222):

ZAMENA

f(z)

NA

f(z);g1(z),

USTRANQQ GLAWNU@ ^ASTX RQDA lORANA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FUNKCII w =f(z) W OKRESTNOSTI EE OSOBOJ TO^KI z1, OSTAW- LQET NEIZMENNYMI GLAWNYE ^ASTI RQDOW lORANA \TOJ FUNK- CII W OKRESTNOSTQH PRO^IH EE OSOBYH TO^EK

NE DOBAWLQET K NIM NOWYH.

pOWTORENIE PROWEDENNYH RASSUVDENIJ POSLEDOWATELXNO DLQ TO^EK z2 : : : zm S OBOZNA^ENIEM g2(z) : : : gm(z) SUMM GLAWNYH ^ASTEJ RQDOW lORANA FUNKCII w = f(z) W OKREST-

NOSTQH \TIH TO^EK POZWOLQET ZAKL@^ITX: W ODNOSWQZNOJ

OBLASTI D FUNKCIQ w = f(z) ;g1(z) ; ;gm(z) QWLQET-

SQ ANALITI^ESKOJ ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 : : : zm, OKAZYWA@]IHSQ DLQ \TOJ FUNKCII USTRANIMYMI, I W KOTORYH, SLEDOWATELXNO, ONA IMEET KONE^NYE PREDELY.

pRIMENQQ K FUNKCII w=f(z);g1(z); ;gm(z) TEOREMU kO[I (X, c. 151), MOVNO PRIJTI K PREDWARITELXNOMU WYWO-

DU: DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;,

RASPOLOVENNOGO W OBLASTI D I NE PROHODQ]EGO ^EREZ TO^KI z1 : : : zm,

235

 

 

f(z) ; g1(z) ; ; gm(z) dz =0,

A POTOMU

;

 

 

 

 

 

H

H

 

H

H

f(z)dz =

g1(z)dz + +

gm(z)dz.

;

;

;

 

 

 

 

oSTAETSQ PRIMENITX K PERWOMU, A ZATEM I KO WSEM POSLE- DU@]IM SLAGAEMYM W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA

FORMULU nX@TONA{lEJBNICA (VIII, c. 133) I WOSPOLXZOWATX-

SQ OPREDELENIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX, c. 138):

 

H

 

 

 

 

H

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1(z)dz =

 

;1

 

cn(z;z1)ndz =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

n=

;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H;

 

;2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

P;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz =

 

 

 

 

 

n=

 

 

cn(z;z1)n + c;1(z;z1);1

 

 

 

 

 

 

=

H

 

 

;2

 

cn (z;z1)n+1 0dz +

H

 

c;1

 

dz =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P c

 

1

 

n+1

 

 

 

 

 

 

z;z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

n=;1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 +

 

 

 

 

 

;

dz = 2 i

res f(z)

ind(; z1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; z;z1

 

 

 

 

 

 

 

z=z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I, SLEDOWATELXNO, H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

P;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z)dz = 2 i

 

 

 

 

 

 

res f(z)

 

ind(; zj) .

 

Q.E.D.

 

;

 

 

 

 

 

 

j=1

 

z=zj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k PRIMERU, WY^ISLENIE WY^ETOW NA S. 232 POZWOLQET NAJ-

TI

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zH=3

 

 

 

 

 

= 2 i res

 

 

 

 

 

 

 

 

= i ,

 

 

 

 

 

sinz (1

cos z)

 

 

 

 

 

 

cos z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=0 sin z(1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zH=5

 

 

 

 

 

 

= 2 i

 

 

res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

;

i

 

sin z(1;cos z)

 

 

 

 

 

 

 

k=;1 z= k sin z(1;cos z)

 

 

 

(PREDPOLAGAETSQ,

^TO KAVDAQ IZ OKRUVNOSTEJ | RADIUSOW

3 I 5 | ODNOKRATNO OBHODITSQ W POLOVITELXNOM NAPRAWLE-

NII). dOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU O WY^ETAH K FUNKCII

236

w = 1 , BERQ W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D NE sin z(1;cos z)

WS@ PLOSKOSTX C (W NEJ DANNAQ FUNKCIQ IMEET BESKONE^- NOE ^ISLO OSOBYH TO^EK), A KAKOJ-NIBUDX KRUG, SODERVA]IJ

KONTURY INTEGRIROWANIQ (RIS. 82).

rIS. 82

dOPOLNENIEM K TEOREME O WY^ETAH SLUVIT SLEDU@]EE UTWERVDENIE, INOGDA UPRO]A@]EE EE PRIMENENIE.

eSLI FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ

PLOSKOSTI C ,

ISKL@^AQ KONE^NOE ^ISLO OSOBYH TO^EK

 

P

 

 

 

 

m

 

 

 

z1 : : : zm , TO

 

res f(z) + res f(z) = 0

.

 

j=1 z=zj

z=1

 

dOKAZATELXSTWO. eSLI ZA KONTUR ; WZQTX OKRUVNOSTX

S CENTROM 0 RADIUSA r > maxfjz1j : : : jzmjg, ODNOKRATNO OBHODIMU@ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, TO PRIMENENIE

TEOREMY O WY^ETAH I OPREDELENIQ WY^ETA W BESKONE^NOSTI

PRIWODIT K RAWENSTWAM:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

1

 

 

 

f(z)dz = 2 i

 

res f(z) res f(z) =

 

f(z)dz,

 

 

2 i

;

 

j=1 z=zj

 

z=

1

 

;

 

 

 

 

 

 

P

 

m

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

H;

SRAWNENIE KOTORYH DAET:

 

res f(z) =

res f(z). Q.E.D.

 

 

 

 

j=1 z=zj

 

;z=1

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 
VET SLUVITX WY^ISLENIE

237

oPERIRUQ \TIM UTWERVDENIEM, ^ASTO POLXZU@TSQ TEM,

^TO ESLI ANALITI^ESKAQ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI FUNK-

CIQ w =f(z) LIBO QWLQETSQ ^ETNOJ, LIBO IMEET W BESKONE^-

NOSTI NULX KRATNOSTI k > 1, TO res f(z) = 0: W OBOIH SLU-

z;1 z=1

^AQH KO\FFICIENT PRI W RAZLOVENII lORANA FUNKCII W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI RAWEN NUL@.

pUSTX NAPRIMER TREBUETSQ WY^ISLITX dz

, , H z4+1 , GDE KON-

;

TUROM ; SLUVIT ODNOKRATNO OBHODIMYJ W POLOVITELXNOM

NAPRAWLENII \LLIPS fz =x+iy 2C : x2;xy+y2+x;y;1=0g. oSOBYE TO^KI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII | \TO

1

i

1

 

i

 

 

1

 

i

 

 

 

 

 

1

i

z1 = p

 

+ p

 

, z2 =;p

 

+ p

 

, z3 =;p

 

;p

 

 

, z4 = p

 

;p

 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

(KORNI 4-J STEPENI IZ

;

1), IZ KOTORYH

z1 z2 z3

 

RASPOLO-

VENY WNUTRI, A z4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| WNE DANNOGO \LLIPSA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

po TEOREMe O WY^ETAH

 

 

 

= 2 i

 

 

 

res

 

, TOGDA

 

 

 

z4+1

 

 

 

z4+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

j=1

z=zj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KAK DOPOLNENIe K NEJ POZWOLQET SOKRATITXPWY^ISLENIQ:

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

(1

;

i)

 

 

 

 

 

; z4+1 = 2 i ;zres=z4 z4+1 = ;2 i4z43 =

 

2p2

 

 

 

( H ,

WY^ET FUNKCII W BESKONE^NOSTI RAWEN NUL@ TAK KAK \TA FUNKCIQ ^ETNAQ, I K TOMU VE BESKONE^OSTX QWLQETSQ DLQ NEE NULEM 4-J KRATNOSTI).

pRIMEROM PRIMENENIQ TEOREMY O WY^ETAH K WY^ISLENI@

INTEGRALOW ODNOZNA^NYH WETWEJ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ MO-

H p dz SOOTWETSTWENNO SLU- z z2+z+1

0<r <1 r >1 ( jzj=r

^AQM I PRI ODNOKRATNOM OBHODE OKRUVNOSTI W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII).

1 ~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, DOSTATO^NO OPREDELITX ZNAKI LEWOJ ^AS- TI URAWNENIQ \LLIPSA PRI PODSTANOWKE W NEE x = p12 y = p12 .

238

w SLU^AE 0 <r <1 TEOREMA O WY^ETAH PRIMENIMA W KRUGE

 

f

 

2

 

j

 

j

 

g

 

 

 

1

 

 

D =

 

z

 

C :

 

z

 

< 1

 

, W KOTOROM OPREDELENY DWE (RAZLI^A-

@]IESQ ZNAKOM)

ODNOZNA^NYE WETWI w =

 

p

 

 

 

. dOSTA-

 

2

+z+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

TO^NO ZAMETITX,

^TO NI PRI KAKOM z

 

D

ZNA^ENIe z2 +z+1

NE LEVIT NA LU^E (;1 0] DEJSTWITELXNOJ OSI , A SLEDOWA-

TELXNO (IV, c. 68), W KRUGE D MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NYE WETWI w =pz2 +z+1. pRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH DAET:

 

 

 

dz

 

= 2 i res

1

 

= 2 i

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

 

2 i

 

zH=r zpz2+z+1

 

 

 

 

 

p02

+0+1

 

 

 

 

 

 

 

z=0 zpz2+z+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

SOOTWETSTWENNO WYBORU ODNOZNA^NOJ WETWI w = zp

z2+z+1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eSLI VE r > 1,

TO zH=r zp

z2+z+1

= 0 DLQ OBEIH ODNO-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WYDELQEMYH W

ZNA^NYH WETWEJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z;2

 

 

 

KOLXCE A = fz 2 C : 1 < jzj < +1g

ZAPISX@ w = p

z;2+z;1+1

 

POSKOLXKU z;1

2 D : PO TEOREME kO[I DLQ KOLXCA (XII,

c. 178)

 

 

dz

 

 

NE ZAWISIT OT

r > 1, A W SILU OCENKI

zH=rzpz2

+z+1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zH=r

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KONTURNOGO INTEGRALA (VIII, c. 133)

 

p

2

 

 

 

 

 

 

;!

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z +z+1 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rAZLOVENIE MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ

mEROMORFNYMI2 NAZYWA@T FUNKCII, ANALITI^ESKIE W

PLOSKOSTI C ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM POL@SOW.3

1 eSLI DLQ z =x+iy

2

D ^ISLO z2

+z +1 = x2

;

y2 +x+1 + i(2xy+y)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

3

 

QWLQETSQ DEJSTWITELXNYM, TO LIBO

x =

;

2

 

, A SLEDOWATELXNO, y

 

<

4

,

 

 

 

2

 

 

 

2

2

+x+1>0.

 

 

 

LIBO y =0, PRI^EM W OBOIH SLU^AQH z

+z+1 = x

y

 

 

 

 

2 t. E. PODOBNYE DROBNYM: GRE^. " o& | ^ASTX,;DOLQ o | WID.

tERMIN WWEDEN WO 2-M IZDANII MONOGRAFII bRIO I bUKE [23] (p. 15). 3 eSLI CELYE (ANALITI^ESKIE WO WSEJ PLOSKOSTI C ) FUNKCII S^I-

TATX OBOB]ENIQMI MNOGO^LENOW, TO MEROMORFNYE FUNKCII SLEDUET RASSMATRIWATX KAK OBOB]ENIQ RACIONALXNYH .

239

eSLI MEROMORFNAQ FUNKCIQ w =f(z) IMEET LI[X KONE^- NOE ^ISLO POL@SOW z1 : : : zm , TO ONA PREDSTAWIMA W WIDE SUMMY CELOJ FUNKCII I PROSTYH DROBEJ.

dOSTATO^NO ZAPISATX \TU FUNKCI@ W WIDE

w = f(z);g1(z); ; gm(z) + g1(z) + + gm(z),

GDE g1(z) : : : gm(z) | GLAWNYE ^ASTI EE RQDOW lORANA W OKRESTNOSTQH EE OSOBYH TO^EK (POL@SOW) z1 : : : zm . pER-

WOE SLAGAEMOE (W KWADRATNYH SKOBKAH) IMEET W \TIH TO^KAH USTRANIMYE OSOBENNOSTI I (POSLE IH USTRANENIQ) PREDSTAW- LQET SOBOJ CELU@ FUNKCI@.

dLQ MEROMORFNYH FUNKCIJ, IME@]IH BESKONE^NOE ^IS-

LO POL@SOW, kO[I1 PREDLOVIL SPOSOB IH RAZLOVENIQ W RQDY RACIONALXNYH FUNKCIJ, W ^ASTNOSTI, PROSTYH DROBEJ.

sPOSOB BAZIRUETSQ NA SLEDU@]EM UTWERVDENII.

 

 

lEMMA

.

pUSTX

g(z) =

c;k

 

 

 

 

c;1

 

 

| GLAWNAQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z;z0)k +

+ z;z0

 

 

 

 

 

^ASTX RQDA lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) W OKREST-

NOSTI EE POL@SA z0 (PORQDKA k), a

| L@BAQ TO^KA, W KO-

TOROJ \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ TOGDA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

res

f(z)

= f( ),

a

res

 

f(z)

=

;

g( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=

z;

 

 

 

 

z=z0

z;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dOKAZATELXSTWO

. pERWOE RAWENSTWO | PRQMOE SLEDSTWIE

FORMULY WY^ETA W POL@SE 1-GO PORQDKA (c. 232). pOLU^ITX

WTOROE POZWOLQ@T RAZLOVENIQ FUNKCIJ w = f(z)

I w =

1

 

z;

 

W RQDY lORANA W OKRESTNOSTI TO^KI z0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z) =

 

c;k

 

 

 

 

c;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z;z0)k + + z;z0 + c0 + c1(z ; z0) + ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

;z0

 

 

 

(z

;

z0)k;1

 

(z

;

z0)k

 

 

 

 

1

 

=

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z;

 

; ;z0

; ( ;z0)

 

; ;

( ;z0)

; ( ;z0)

;

 

1 w RABOTE 1827 G. \Sur le developpement des fonctions d'une seule variable en fonctions rationnelles" ([28], ser. II, t. VII, p. 324{344).

int;n.
2 sLEDUET POD^ERKNUTX: SUMMA RQDA

240

A IMENNO, WYDELIW IZ REZULXTATA PEREMNOVENIQ \TIH RQDOW

KO\FFICIENT PRI (z;z0);1, MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO

f(z)

 

c;k

 

c;1

 

zres=z0 z;

= ;

; ;

=;g( ). Q.E.D.

( ;z0)k

;z0

sUTX SPOSOBA kO[I RAZLOVENIQ MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ WYRAVAET SLEDU@]EE UTWERVDENIE.

pUSTX w = f(z) | MEROMORFNAQ FUNKCIQ S POL@SAMI z1 z2 : : : I PUSTX g1(z) g2(z) : : : | GLAWNYE ^ASTI EE RQ-

DOW lORANA W OKRESTNOSTQH UKAZANNYH POL@SOW. dOPOL-

NITELXNO PREDPOLAGAETSQ, ^TO SU]ESTWUET POSLEDOWATELX-

NOSTX

 

;n

ZAMKNUTYH KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW BEZ SA-

MOPERESE^ENIJ SO SWOJSTWAMI:

1 KAVDYJ IZ KONTUROW ;n LEVIT WNUTRI SLEDU@]EGO

2 PRI n!+1 RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO BLI- VAJ[EJ K NEMU TO^KI KONTURA ;n NEOGRANI^ENNO WOZRAS-

TAET, PRI \TOM OTNO[ENIE DLINY KONTURA ;n K \TOMU RAS-

STOQNI@ OSTAETSQ OGRANI^ENNYM

3 WDOLX POSLEDOWATELXNOSTI KONTUROW

 

;n ZNA^ENIQ

f(z) STREMQTSQ K NUL@: sup

f(z)

 

 

 

 

 

 

 

1

j ;!

0.

 

 

 

 

 

z ;nj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

n

!

+

1

 

 

 

 

 

 

 

: : : g

 

 

 

 

tOGDA W OBLASTI C rfz1 z2

IMEET MESTO SLEDU@]EE

RAZLOVENIE FUNKCII W RQD PROSTYH DROBEJ:

P

 

 

! 1

2P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

def

lim

 

gj(z)

 

z

 

 

 

 

 

z =z1 z2 : : : 2

f(z) =

gj(z) =

 

 

 

2

C

j=1

 

n +

zj

int;n

 

 

 

 

 

 

6

1 mEROMORFNYE FUNKCII S TAKIM SWOJSTWOM MOVNO RASSMATRIWATX KAK OBOB]ENIQ PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ.

+1 gj (z) PONIMAETSQ ZDESX NE

P

j=1

KAK PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI ^ASTI^NYH SUMM (ON MOVET NE SU-

]ESTWOWATX), A KAK PREDEL EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI PRI GRUPPIROW-

KE (WOZMOVNO, S PERESTANOWKOJ) SLAGAEMYH PO PRINCIPU zj 2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности