Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf
121
GLADKIM, ESLI SU]ESTWUET GLADKAQ DUGA L L1 [ L2, DLQ KOTOROJ \TA OB]AQ KONCEWAQ TO^KA QWLQETSQ WNUTRENNEJ.1
rAZDELENIE GLADKOJ DUGI L PODRAZUMEWAET WYBOR KONE^NOGO ^ISLA EE WNUTRENNIH TO^EK, KAVDAQ IZ KOTORYH STANOWITSQ OB]EJ KONCEWOJ TO^KOJ ODNOJ IZ PAR OBRAZU@]IHSQ GLADKIH DUG (IME@]IH W \TOJ TO^KE
GLADKoE SOEDINENIe).
oRIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA | \TO GLADKAQ DUGA L S UKAZANIEM, KAKAQ IZ DWUH EE KONCEWYH TO^EK PRINIMAETSQ ZA NA^ALXNU@ (A KAKAQ ZA KONE^NU@), I USTANOWLENIEM TEM SAMYM PORQDKA SLEDOWANIQ TO^EK \TOJ GLADKOJ DUGI2.
pEREHOD K PROTIWOPOLOVNOMU PORQDKU SLEDOWANIQ TO^EK
ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L (OB_QWLENII EE NA^ALXNOJ TO^KI KONE^NOJ, A KONE^NOJ | NA^ALXNOJ) OBOZNA^AETSQ ^ER-
TO^KOJ: L;.
kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; | \TO LIBO ORIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA (;=fLg), LIBO REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ (; = fL1 : : : Lng) NESKOLXKIH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG3, NA^ALXNAQ TO^KA PERWOJ IZ KOTO- RYH S^ITAETSQ NA^ALXNOJ, A KONE^NAQ TO^KA POSLEDNEJ |
KONE^NOJ TO^KOJ KONTURA ; W SLU^AE SOWPADENIQ NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^EK KONTURA EGO NAZYWAA@T ZAMKNUTYM.
kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR NAZYWA@T GLADKIM, ESLI WSE SOEDINENIQ
SOSTAWLQ@]IH EGO ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG (WKL@^AQ SOEDINENIE
PERWOJ I POSLEDNEJ U ZAMKNUTOGO KONTURA) QWLQ@TSQ GLADKIMI.
1 PEZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ DWUH GLADKIH DUG NE OBQZATELXNO QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ. k PRIMERU, OKRUVNOSTX ESTX REZULXTAT GLAD-
KOGO SOEDINENIQ DWUH (ILI BOLX[EGO |
^ISLA) GLADKIH DUG. |
||||
2 eSLI z =z(t) |
t2[a b] | KAKAQ-LIBO PARAMETRIZACIQ GLADKOJ DU- |
||||
GI L, TO PORQDOK SLEDOWANIQ TO^EK z 2L SOOTWETSTWUET WOZRASTANI@ |
|||||
ILI UBYWANI@ t |
2 |
[a b]. |
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
dLQ KRATKOSTI PROSTO DUG. pOD IH POSLEDOWATELXNYM SOEDINENIEM |
||||
PONIMAETSQ, ^TO KONE^NAQ TO^KA DUGI L1 SOWPADAET S NA^ALXNOJ TO^KOJ |
|||||
DUGI L2 |
I T. D. |
|
|
|
|
122
s^ITAETSQ, ^TO DWA RAZNYH NABORA POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH
ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG L1 : : : Ln I L01 : : : L0m SOSTAWLQ@T
ODIN I TOT VE KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, ESLI RAZBIENIEM I SOEDI-
NENIEM SOSTAWLQ@]IH \TI NABORY SWODQTSQ DRUG K DRUGU (RIS. 39).
rIS. 39
pRIMERY. 1. oPERIRUQ ODNOJ GLADKOJ DUGOJ S DWUMQ PRO-
TIWOPOLOVNYMI PORQDKAMI SLEDOWANIQ TO^EK, MOVNO SO- STAWITX BESKONE^No MNOGO RAZLI^NYH KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW1 (NE RAZLI^IMYH KAK MNOVESTWA TO^EK RIS. 40, A):
;1 =fLg ;2 =fL;g ;3 =fL; Lg ;4 =fL L; Lg : : :
rIS. 40
1 kAK ZAMKNUTYH, TAK I NEZAMKNUTYH.
123
2. oKRUVNOSTX C C (L@BAQ) QWLQETSQ MNOVESTWOM TO^EK NEOBOZRIMOGO ^ISLA KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW1, NO OBY^NO PODRAZUMEWA@T TOT2, KOTORYJ WYDELQET DOBAWLENIE:
ODIN RAZ OBHODIMAQ (OT KAKOJ-TO TO^KI3) W POLOVITELXNOM
NAPRAWLENII (\PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" RIS. 40, B). pEREHOD K OBRATNOMU PORQDKU SLEDOWANIQ SOSTAWLQ@]IH
DUG I TO^EK KAVDOJ IZ NIH PREOBRAZUET KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; = fL1 : : : Lng W PROTIWOPOLOVNO ORIENTIRO-
WANNYJ ;;=fL; : : : L;g.
n 1
kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; = fL1 : : : Lng ESTX KONTUR BEZ SAMOPERESE^ENIJ, ESLI IZ SOSTAWLQ@]IH EGO DUG L@BYE DWE NESMEVNYE NE IME@T OB]IH TO^EK, A SMEVNYE IME@T OB]IMI LI[X TO^KI IH SOEDINENIQ.
kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, WSE SOSTAWLQ@]IE DUGI KO- TOROGO QWLQ@TSQ OTREZKAMI PRQMYH (ORIENTIROWANNYMI), NAZYWA@T LOMANOJ (ORIENTIROWANNOJ RIS. 41, a), A PRI DO-
BAWO^NOM USLOWII ZAMKNUTOSTI I OTSUTSTWIQ SAMOPERESE-
^ENIJ | MNOGOUGOLXNIKOM (ORIENTIROWANNYM RIS. 41, B).
rIS. 41
1 nE WSE IZ KOTORYH ZAMKNUTYE I GLADKIE.
2 zAMKNUTYJ GLADKIJ | REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ NESKOLXKIH ORIENTIROWANNYH DUG OKRUVNOSTI C BEZ OB]IH WNUTRENNIH TO^EK.
3 z1 2C, SLUVA]EJ NA^ALXNOJ I KONE^NOJ DLQ \TOGO KONTURA.
124
pUTX : z = z(t) t 2 [a b], |
T. E. NEPRERYWNAQ KOMPLEKS- |
||
NOZNA^NAQ FUNKCIQ NA OTREZKE |
[a b] 2 R (VII, S. 107) ESTX |
||
PUTX OBHODA |
KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA |
; = fL1 : : : Lng, |
|
|
|
||
ESLI PRI WOZRASTANII t OT a DO b ZNA^ENIE z(t) \TOJ FUNK- CII POO^EREDNO PROHODIT | W SOOTWETSTWII S IH PORQDKOM SLEDOWANIQ | WSE TO^KI WSEH SOSTAWLQ@]IH KONTUR ; DUG.
pUTX : z = z(t) |
t 2 [a b], S^ITAETSQ |
PUTEM KLASSA C1, |
|
|
|
||
ESLI FUNKCIQ z = z(t) |
IMEET NA OTREZKE [a b] NEPRERYWNU@ |
||
PROIZWODNU@ z0(t).1 |
|
|
|
eSLI FUNKCIQ z = z(t) t2[a b], ZADAET PARAMETRIZACI@
GLADKOJ DUGI L (S. 117), TO \TA VE FUNKCIQ ZADAET PUTX
(KLASSA C1) OBHODA TOJ VE, NO UVE ORIENTIROWANNOJ GLAD-
KOJ DUGI L (S NA^ALXNOJ TO^KOJ z(a)).
oBRATNOE NEWERNO: PUTX KLASSA C1 z = tjtj+it2 t2[;1 1], SOWER[A@]IJ OBHOD DWUHZWENNOJ LOMANOJ (RIS. 42), NE QWLQ- ETSQ PARAMETRIZACIEJ GLADKOJ DUGI.
rIS. 42
1 |TU PROIZWODNU@ OBOZNA^A@T TAKVE z(t), POSKOLXKU t OBY^NO IN- TERPRETIRU@T KAK WREMQ, A FUNKCI@ z =z(t) KAK ZAWISIMOSTX POLOVENIQ TO^KI OT WREMENI (W SLU^AE PUTI KLASSA C1 | PRI USLOWII, ^TO SKOROSTX EE PEREME]ENIQ ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ WREMENI). C1 | TRADICIONNAQ SOKRA]ENNAQ ZAPISX TREBOWANIQ SU]ESTWOWANIQ NEPRE-
RYWNOJ (LAT. continuus) PROIZWODNOJ (PO KRAJNEJ MERE) 1-GO PORQDKA.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
dLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA |
|
|
; = fL1 : : : Lng |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cy]ESTWUET PUTX KLASSA C1 EGO OBHODA. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. |
pUSTX PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
L1 ZADAET FUNKCIQ z = z1( ) |
|
2 |
[a1 b1]. mOVNO PRI \TOM |
||||||||||||||||||||||||||||||||
S^ITATX, ^TO ORIENTACIQ (PORQDOK SLEDOWANIQ TO^EK) DUGI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L1 SOOTWETSTWUET WOZRASTANI@ ZNA^ENIJ 2 |
[a1 b1].1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
zAMENA PEREMENNOJ = a1 +(b1;a1) sin2 |
t |
, |
|
t |
|
[0 ], POZWO- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
: |
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
1 |
+( |
|
1; |
|
|
1) sin 2 |
|
|
t 2 [0 ], |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
LQET ZAKL@^ITX |
|
FUNKCIQ |
|
|
|
a |
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
22 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ZADAET PUTX KLASSA C , OSU]ESTWLQ@]IJ OBHOD ORIENTIRO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WANNOJ GLADKOJ DUGI |
L1 |
(RIS. 43) |
SO SKOROSTX@ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z(t)= z0 |
; |
|
|
|
|
a1) sin2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
cos |
t |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a1 +(b1 |
|
|
|
(b1 |
a1)sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
t |
|
, |
||||||||||
QWLQ@]EJSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA OTREZKE 0 |
6 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
RAWNOJ NUL@ W EGO KONCEWYH TO^KAH.
rIS. 43
pOSKOLXKU \TI VE RASSUVDENIQ PRIMENIMY I K OSTALX-
NYM ORIENTIROWANNYM GLADKIM DUGAM W SOSTAWE KONTURA ;,
TREBUEMYJ PUTX KLASSA C1 EGO OBHODA (WKL@^AQ SLU^AJ ZAMKNUTOGO KONTURA) ZADAET FUNKCIQ z = z(t) t 2 [0 n ], GDE
1 w PROTIWNOM SLU^AE \TOGO MOVNO DOBITXSQ PEREHODOM K PARAMET-
RIZACII L1 : z =z1(; ) 2[;b1 ;a1].
126
|
z1 a1 |
+(b1 a1) sin2 |
t |
|
|
|
|
ESLI |
0 |
6t6 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z2 a2 |
+(b2;a2) sin2 |
t; |
|
|
ESLI |
6t62 |
|
|||||||||||||
|
8 |
; |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z(t)= |
|
: : : : : : :;: : : : : : : : : : : : |
|
: : : : : : : : : : : : : : : |
|||||||||||||||||
|
> |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
2 |
t |
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
||||
|
zn an +(bn an) sin ; 2; |
ESLI |
(n |
|
1) |
t |
n : |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;6 |
t |
6 |
n , WKL@- |
|||||
EE PROIZWODNAQ z(t) NEPRERYWNA NA OTREZKE 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
> |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
(W NIH ONA RAWNA NUL@). |
Q.E.D. |
||||||||||||
^AQ TO^KI t=0 : : : n |
|
||||||||||||||||||||
kAK UVE OTME^ALOSX (S. 122, PRIMER 1), KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; I OBOZNA^AEMOE TEM VE SIMWOLOM (INOGDA SIMWO- LOM j;j) MNOVESTWO EGO TO^EK | \TO NE ODNO I TO VE. tOLXKO ^TO DOKAZANNOE UTWERVDENIE POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IE OB]IE WYWODY KASATELXNO SWOJSTW \TOGO MNOVESTWA.
mNOVESTWO TO^EK L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;
SWQZNO, OGRANI^ENO I ZAMKNUTO | W TOM SMYSLE, ^TO MNOVESTWO C r; (NE PRINADLEVA]IH EMU TO^EK) OTKRYTO.2
uQSNITX SOOTNO[ENIE MEVDU PONQTIQMI GLADKOJ DUGI, KUSO^NO-
GLADKOGO KONTURA I PUTI OBHODA KONTURA POMOGAET UPODOBLENIE: GLADKOJ DUGI | U^ASTKU DOROGI W SISTEME DOROVNOJ SETI (A EE
ORIENTACII | WYBORU NAPRAWLENIQ DWIVENIQ PO \TOMU U^ASTKU) KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA | MAR[RUTNOMU ZADANI@ (UKAZANI@ PO-
DOROVNYH U^ASTKOW)
PUTI OBHODA KONTURA | WYPOLNENI@ (STROGO PO PREDPISANNOMU WREMENNOMU GRAFIKU) POSTAWLENNOGO MAR[RUTNOGO ZADANIQ3.
1 pOSTROENNYJ PUTX NAGLQDNO MOVNO PREDSTAWITX KAK POO^EREDNYJ OBHOD GLADKIH DUG L1 : : : Ln S \OSTANOWKAMI" W TO^KAH IH SOEDINENIQ I \POWOROTOM RULQ", ESLI SOEDINENIE NE QWLQETSQ GLADKIM.
NAPRQMU@ WYTEKAET IZ SU]ESTWOWA- NIQ PUTI z =z(t) t2[a b], OBHODA KONTURA ; EGO OGRANI^ENNOSTX | IZ TOGO, ^TO KONTUR ; NE WYHODIT ZA PREDELY KRUGA RADIUSA sup jz(t)j (S
a6t6b
CENTROM 0) ZAMKNUTOSTX | IZ TOGO, ^TO ESLI z0 2= ;, TO KRUG S CENTROM
z0 NENULEWOGO RADIUSA inf jz(t);z0j NE SODERVIT TO^EK KONTURA ;.
a6t6b
3 pUTX KLASSA C1 SOOTWETSTWUET DWIVENI@, PRI KOTOROM SKOROSTX QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ WREMENI.
127
w OSNOWE OPREDELENIQ INTEGRALA FUNKCII PO KUSO^NO-
GLADKOMU KONTURU LEVIT PONQTIE INTEGRALA FUNKCII PO OTREZKU1 PEREHODNYM VE SLUVIT PONQTIE INTEGRALA FUNK- CII WDOLX PUTI (KLASSA C1) NA PLOSKOSTI C , OPREDELQEMOGO
SLEDU@]IM OBRAZOM. |
|
|
|
|
pUSTX : z = z(t) |
t 2 [a b], | PUTX KLASSA C1 |
NA PLOS- |
||
KOSTI C (FUNKCIQ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, IME@]AQ |
||||
NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ z(t) NA OTREZKE [a b]). |
s^ITAQ, |
|||
^TO \TOT PUTX PROHODIT PO MNOVESTWU, NA KOTOROM ZADANA |
||||
FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w =f(z), POLAGA@T |
||||
R |
|
|
R |
|
|
|
def b |
|
|
|
f(z)dz = |
f(z(t))z(t)dt, |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
PRI \TOM INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI ZAWEDOMO OPREDELEN, ESLI |
||||
FUNKCIQ w = f(z) NEPRERYWNA NA MNOVESTWE TO^EK PUTI
(TAK KAK W \TOM SLU^AE PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ OKAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZKE [a b]).
iNTEGRAL FUNKCII PO KUSO^NO-GLADKOMU KONTURU ; PO-
NIMA@T KAK EE INTEGRAL PO KAKOMU-LIBO PUTI : z = z(t),
t2[a b], KLASSA |
C1, OBHODQ]EMU \TOT KONTUR2 |
(RIS. 44): |
|||||
|
|||||||
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
def |
|
def b |
. |
||
|
|
f(z)dz = |
|
f(z)dz = |
|
f(z(t))z(t)dt |
|
|
; |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
w SLU^AE ZAMKNUTOGO KONTURA ; SIMWOL INTEGRALA ^ASTO |
|||||||
|
|
|
R |
1 s EGO OBY^NYM OPREDELENIEM (PO rIMANU), OBOZNA^ENIEM bf(x)dx |
|||
|
|
|
a |
I DOSTATO^NYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ W WIDE TREBOWANIQ NEPRE- |
|||
RYWNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NA OTREZKE [a b]. |
|||
2 tO, ^TO DLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA |
; OBHODQ]IJ EGO |
||
PUTX KLASSA C1 SU]ESTWUET, UVE BYLO USTANOWLENO (S. 125), A TO, |
|||
^TO OT WYBORA TAKOGO PUTI WELI^INA |
|
def |
f(z)dz NE ZAWISIT, |
|
f(z)dz = |
||
|
; |
|
|
DOKAZYWETSQ ^UTX NIVE. |
R |
R |
|
128
(HOTQ I NE WSEGDA) SNABVA@T KRUVO^KOM: Hf(z)dz.
;
rIS. 44
iZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKA@T SLEDU@]IE SWOJSTWA
WELI^INY |
R |
f(z)dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
1. |
lINEJNOSTX: |
|
( f(z) + g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
R |
|
R |
; |
|
R |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2. |
aDDITIWNOSTX: |
f(z)dz = |
f(z)dz + |
+ |
f(z)dz, ESLI |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
;1 |
;m |
|||
|
|
KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; ESTX REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO |
|||||||||||||||
|
|
SOEDINENIQ KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW ;1 : : : ;m .1 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
3. |
R; |
|
=; |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f(z)dz |
; |
f(z)dz. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
; |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4. |
zNA^ENIE |
f(z)dz NE ZAWISIT OT |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
KONKRETNOGO PUTI (KLASSA C1) OBHODA KONTURA ; |
||||||||||||||
|
|
B) PREDSTAWLENIQ KONTURA ; W WIDE POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH |
|||||||||||||||
|
|
ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG (I WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI KONTURA |
|||||||||||||||
|
|
W SLU^AE EGO ZAMKNUTOSTI). |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 w IH ROLI MOGUT WYSTUPATX, NAPRIMER, SOSTAWLQ@]IE KONTUR ;
ORIENTIROWANNYE GLADKIE DUGI.
129
sWOJSTWA 1, 2 | SLEDSTWIQ LINEJNOSTI I ADDITIWNOSTI
OBY^NOGO INTEGRALA (PO OTREZKU). w ^ASTNOSTI, ESLI PUTX
(KLASSA C1) z =z(t), t2[a b], OBHODIT KONTUR ;, A ZNA^ENIQ |
|||||||||||||||||||||||
t1 : : : tm;1 2 (a b), |
OTWE^A@T KONE^NYM TO^KAM KONTUROW |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
;1 |
: : : ;m 1 (ONI VE NA^ALXNYE DLQ ;2 : : : ;m ), TO |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f(z)dz = f(z(t))z(t)dt = f(z(t))z(t)dt + |
+ ; f(z(t))z(t)dt = |
|
||||||||||||||||||||
; |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
tm 1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
;R1 |
|
|
|
;Rm |
|
|
|
|
|
|||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
Rf(z)dz + |
+ |
f(z)Rdz. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sWOJSTWO 3 WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI z = z(t) |
t 2 [a b], | |
||||||||||||||||||||
PUTX OBHODA KONTURA ;, TO z =z(;t) t2 |
[;b ;a], | PUTX OBHODA |
||||||||||||||||||||||
KONTURA ;;, TAK ^TO (S ZAMENOJ PEREMENNOJ t=; )1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
t=; ;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
;Rb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
;a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(z)dz = |
f(z(t))z(t)dt = |
|
f(z(; ))z(; )(;1)d = |
|
|
|||||||||||||||||
; |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;a |
|
|
|
|
|
;;R; |
|
||
|
|
= |
;Ra |
|
)) |
|
0(; |
|
|
) |
|
= |
;;Rb |
( (; )) |
(; ) |
= |
. |
||||||
|
|
|
( (; |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||||||||||
|
|
|
|
f z |
|
|
z |
|
|
|
|
d |
|
|
f z t z |
t dt |
|
|
f z dz |
|
|||
|
|
pUNKT B) SWOJSTWA 4 WYTEKAET IZ SWOJSTWA 2 (ADDITIWNOSTI), POZ- |
|||||||||||||||||||||
WOLQ@]EGO TAKVE PRI OBOSNOWANII PUNKTA A) S^ITATX KONTUR ; SOSTO- |
|||||||||||||||||||||||
Q]IM LI[X IZ ODNOJ (ORIENTIROWANNOJ) GLADKOJ DUGI L. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
pUSTX L : z = z(t) |
|
t 2 |
[a b], | KAKAQ-LIBO PARAMETRIZACIQ \TOJ |
||||||||||||||||||
GLADKOJ DUGI (S. 117). |TU |
PARAMETRIZACI@ ODNOWREMENNO MOVNO RAS- |
||||||||||||||||||||||
SMATRIWATX I KAK KONKRETNYJ PUTX |
(KLASSA C1), OBHODQ]IJ LIBO |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
KONTUR ; (ESLI DUGA L ORIENTIROWANA TAK, |
^TO EE NA^ALXNOJ TO^KOJ |
||||||||||||||||||||||
QWLQETSQ z(a)), LIBO KONTUR ;; (ESLI NA^ALXNOJ SLUVIT TO^KA z(b)).
sOOTWETSTWENNO \TIM DWUM SLU^AQM LIBO |
|
|
|||||||||||
|
|
R |
|
|
R |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z)dz = f(z)dz = f(z(t))z(t)dt, |
|
|
||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
LIBO |
R |
|
e |
R |
R |
|
b |
|
a |
|
|||
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|||
|
f(z)dz = |
|
|
f(z)dz = |
; |
f(z)dz = |
;a |
f(z(t))z(t)dt = |
|
f(z(t))z(t)dt. |
|||
; |
|
;;; |
|
|
|
b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
1 eSLI S^ITATX, ^TO TO^KA NAD z |
OBOZNA^AET PROIZWODNU@ PO t, A |
||||||||||||
[TRIH | PO .
130
|
pUSTX TEPERX |
: z = ( ) |
2 |
[ ], |
| KAKOJ-LIBO IZ PUTEJ |
||||||
(KLASSA C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
), OBHODQ]IH KONTUR ;. w SILU SWOJSTWA OBRATIMOSTI PARA- |
||||||||||
METRIZU@]EJ FUNKCII (UTWERVDENIE 1 NA S. 118) OPREDELENA FUNKCIQ |
|||||||||||
t = t( ( )) |
2 [ ], S NEPRERYWNOJ PROIZWODNOJ |
t0( ) = 0( ) z(t) ;1, |
|||||||||
PRI^EM W PERWOM IZ OTME^ENNYH SLU^AEW t( ) = a |
t( ) = b, |
TOGDA KAK |
|||||||||
WO WTOROM t( )=b t( )=a. sOOTWETSTWENNO \TIM SLU^AQM |
; |
|
|||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z)dz = f(z(t))z(t)dt = f(z(t( )))z(t( ))t0( )d = f( ( )) 0( )d , |
|||||||||||
; |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rf(z)dz = Raf(z(t))z(t)dt = R f(z(t( )))z(t( ))t0( )d = R f( ( )) 0( )d , |
|||||||||||
; |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
R |
|
|
|
defR |
|
OT WY- |
||
^TO I DOKAZYWAET |
NEZAWISIMOSTX ZNA^ENIQ |
f(z)dz = f(z)dz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
BORA PUTI (KLASSA C1) OBHODA KONTURA ;.R Q.E.D. R |
|
|
|||||||||
|
zAME^ANIQ |
. 1. |
oPREDELENIE WELI^INY |
f(z)dz |
RASPROSTRANQETSQ |
||||||
NA SLU^AJ MNOGOZNA^NOJ PRODYNTEGRALXNOJ;RFUNKCII (S OBOZNA^ENIEM RF(z)dz) PRI USLOWII, ^TO KONTUR ; DOPUSKAET RAZDELENIE NA U^ASTKI
;
;1 : : : ;m , NA KOTORYH OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z), PRODOLVA@]IE DRUG DRUGA (SOWPADA@]IE PO ZNA- ^ENIQM) W TO^KAH SOEDINENIQ \TIH U^ASTKOW: ;1 I ;2 : : : ;m;1 I ;m . w SLU^AE ZAMKNUTOGO KONTURA ; ODNOWREMENNOGO S \TIM SOWPADENIQ
WETWEJ W TO^KE SOEDINENIQ U^ASTKOW ;m I ;1 (NA^ALXNOJ I KONE^NOJ |
|||||
TO^KE KONTURA ;) OBY^NO NE PROISHODIT, W SILU ^EGO | W PROTIWOWES |
|||||
SWOJSTWU 4, PUNKT B | NE ISKL@^ENA ZAWISIMOSTX ZNA^ENIQ |
H |
F(z)dz |
|||
|
|
; |
|
|
|
OT WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI KONTURA ; (KAK W PRIMERE 3 NIVE). |
|
|
|||
2. w ZAPISI z = x + iy |
f(z) = u(x y)+ iv(x y) WELI^INA |
|
f(z)dz |
||
R |
R |
; |
|
|
|
PRINIMAET WID u(x y)dx;v(x y)dy+i v(x y)dx+u(x y)dy | LINEJNOJR |
|||||
; |
; |
|
|
|
|
KOMBINACII KRIWOLINEJNYH INTEGRALOW 2-GO RODA (NA PLOSKOSTI |
R2 |
). |
|||
pRIMERY. 1. pUSTX ;=fL1 L2g | DWUHZWENNAQ LOMANAQ,
IDU]AQ IZ TO^KI ;1+i W TO^KU 1+i ^EREZ TO^KU 0 (RIS. 45, a). s U^ETOM SWOJSTW 2, 3 (S. 128) DLQ L@BOJ (NEPRERYWNOJ NA \TOJ LOMANOJ FUNKCII w=f(z)