Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

51.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

tEOREMA aBELQ.1 pUSTX ^ISLOWOJ RQD

SHODITSQ. tOGDA

n=0

jzj<1 P

STEPENNOJ RQD

1 cnzn

SHODITSQ PRI

< 1

lim

1 cnzn =

1 cn

n=0

j j

z!1 n=0

n=0

PRI USLOWII, ^TO OTNO[ENIE j1;zj PRI z

1 OSTAETSQ OGRANI^ENNYM2.

;j j

dOKAZATELXSTWO.

w SILU TEOREMY kO[I{aDAMARA RQD

cnz

n=0

SHODITSQ PRI z

<1, TAK KAK PO USLOWI@ ON SHODITSQ PRI z =1.

j j

+1 j

pUSTX

eSLI

n=0 cn

= s, a sn = c0 + + cn (n = 0 1 2 : : : ).

z < 1, TO SOGLASNO TEOREME O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW (S. 34)

SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQ

;

z n=0 cnzn = (1 + z + z2 + )(c0 + c1z + c2z2 + ) =

= c0

+ (c0 + c1)z + (c0 + c1 + c2)z

+ = n=0 snz

A SLEDOWATELXNO,

PRI jzj < 1. kROME TOGO,

n=0 cnz

= (1;z) n=0 snz

= s (1

< 1,

1 cn

;

1 zn = (1

;

1 szn PRI

n=0

W SILU ^EGO PRI L@BOM WYBORE NATURALXNOGO ^ISLA m

P m;1

n=0 cnz ; n=0 cn = (1;z) n=0 snz ; (1;z) n=0 sz

6 j1;zj

n=0 (sn;s)z

n=m(sn;s)z

+ j1;zj

pUSTX "

| L@BOE (SKOLX UGODNO MALOE) POLOVITELXNOE ^ISLO, a

h | WERHNQQ GRANICA OTNO[ENIQ j11;j;zzjj PRI STREMLENII z K 1. tAK KAK

1 dLQ DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ \TO TEOREMA IV W STA- TXE NORWEVSKOGO MATEMATIKA aBELQ (Abel, Niels Henrik, 1802{1829) W

Journal fur die reine und angew. Math., Bd. I, 1826 (S. 314, Lehrsatz IV).

2 t. E. z OSTAETSQ WNUTRI NEKOTOROGO UGLA S WER[INOJ 1, WPISANNOGO W EDINI^NU@ OKRUVNOSTX (W \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO z STREMITSQ K 1 NEKASATELXNO K EDINI^NOJ OKRUVNOSTI).

g !

SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO

^TO PRI

n > m

WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jsn ;sj

2h , A SLEDOWATELXNO,

j1;zj

n=m(sn ;s)z < j1;zj

2h n=0 jzj 6 j1;zj 2h 1 z

S DRUGOJ STORONY, W SILU TOGO ^TO

lim

(sn

s)zn

= 0,

z!1 j

;

n=0

;

(sn

;

s)zn

, ESLI

DOSTATO^NO BLIZKO K 1.

n=0

wYWOD:

< "

< 1,

DOSTATO^NO

1 cnzn

1 cn

DLQ WSEH

n=0

; n=0

BLIZKIH K 1

I UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@

j ; j 6 h.

Q.E.D.

1;jzj

tEOREMA aBELQ LEVIT W OSNOWE METODA SUMMIROWANIQ PO aBEL@

RASHODQ]IHSQ RQDOW: eSLI

RQD

cn RASHODITSQ, NO PRI \TOM SU]EST-

n=0

SUMMIRUEM PO aBEL@

WUET

lim

1 cnrn =s, TO GOWORQT, ^TO RQD

1 cn

r!1;0 n=0

n=0

K SUMME

s (W SLU^AE SHODIMOSTI

RQDA REZULXTAT EGO SUMMIROWANIQ PO

aBEL@ SOWPADAET PO TEOREME aBELQ S EGO SUMMOJ W OBY^NOM SMYSLE).

uPRAVNENIQ.

1. kAK RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA

cnz

n=0

SOOTNOSITSQ S RADIUSAMI SHODIMOSTI SLEDU@]IH STEPENNYH RQDOW:

+1 2 n

n +1

+ +cn)z

n=0cnz

n=0 1+jcnjz ,

n=0(c0

z0 );

POKAZATX, ^TO

2. pEREHODQ K PEREMENNYM = z

;

= (z

;

W KOLXCE SHODIMOSTI OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA

cn(z z0)

EGO

n=;1

;

SUMMA IMEET PROIZWODNU@

cn(z

z0)n

z0)n;1.

;

ncn(z

;

n=;1

3. nAJTI: (1 + z + z

+ z

+ 4z

+ )

(1 + 2z + 3z

);

4. dOKAZATX, ^TO expz = 0 PRI L@BOM

I ^TO exp

= pem

def

DLQ L@BYH NATURALXNYH m n e = exp 1 .

5. nAJTI SUMMY PO aBEL@ RQDOW;

+1ein

+1cos n

+1sinn

+12n.

n=0

III. kAKIE FUNKCII NAZYWA@T \LEMENTARNYMI I PO^EMU SREDI NIH ESTX MNOGOZNA^NYE

lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ, ILI LOGARIFM1, w = Ln z

KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = 0 OPREDELQETSQ KAK FUNKCIQ,
6
6	def
OBRATNAQ \KSPONENCIALXNOJ:	w = Ln z () z = ew	.

pOSKOLXKU W ZAPISI w = u+iv SOOTNO[ENIE z = ew PRI- NIMAET (SOGLASNO FORMULe |JLERA) WID z = eu(cos u+i sin v),

eu = jzj, A SLEDOWATELXNO, u = ln jzj 2
v = arg z+2 k		k 2Z (T. E. k = 0 1 2 : : : ).
			2	6
oKON^ATELXNO:		DLQ z		C z = 0,
	Lnz = ln jzj+iArg z = ln jzj+i(arg z+2 k) k 2Z
					6	2Z
S OBOZNA^ENIEM Arg z MNOVESTWA					arg z+2 k : k	2Z	WSEH
ZNA^ENIJ ARGUMENTA KOMPLEKSNOGO ^ISLA z = 0.

zNA^ENIE Ln0 NE OPREDELENO, POSKOLXKU (WWIDU TOVDESTWA ewe;w = 1) NE SU]ESTWUET KOMPLEKSNOGO ^ISLA w, DLQ KOTOROGO BY ew =0.

pODHOD |JLERA K OPREDELENI@ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ILL@STRIRUET WOSPROIZWODIMYJ ZDESX FRAGMENT EGO RABOTY 1749 G. \iSSLEDOWANIQ PO MNIMYM KORNQM URAWNENIJ" ([31], p. 134), RAZOBRATXSQ W KOTOROM MOVNO DAVE BEZ ZNANIQ FRANCUZSKOGO QZYKA.

1 gRE^. o o& | PROPORCIQ o& | S^ET. Ln | ZNA^IT LOGA-

RIFM nEPERA (Napier, ILI Neper, 1550{1617) | [OTLANDSKOGO BARONA,

PRIDUMAW[EGO LOGARIFMY (WKL@^AQ SAMO \TO SLOWO). |JLER OBOZNA^AL

NEPEROW LOGARIFM ODNOJ BUKWOJ l I NAZYWAL EGO GIPERBOLI^ESKIM (NA TOM OSNOWANII, ^TO ln x PRI x>0 WYRAVAET PLO]ADX POD GIPERBOLOJ).

2 zDESX ln jzj | OBY^NYJ (DEJSTWITELXNYJ) LOGARIFM POLOVITELX- NOGO ^ISLA jzj.

sOPOSTAWLENIE z !7 Ln z OPREDELQET PO\TOMU MNOGOZNA^- NU@ FUNKCI@1 NA MNOVESTWE C rf0g, SOOTNOSQ]U@ KAVDOMU

NENULEWOMU KOMPLEKSNOMU ^ISLU z BESKONE^NOE MNOVESTWO

Lnz ZNA^ENIJ EGO LOGARIFMA2 S OBOZNA^ENIEM ln z KAKOGO-TO ODNOGO IZ \TIH ZNA^ENIJ.

fORMULXNO SWQZX LOGARIFMI^ESKOJ I \KSPONENCIALXNOJ FUNKCIJ

KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ WYRAVA@T RAWENSTWA:

exp(ln z) = z DLQ L@BOGO NENULEWOGO z 2C

Ln(exp w) = w+i2 k k 2Z 3 DLQ L@BOGO w2C ln(exp w)=w+i2 k k 2Z 4 DLQ L@BOGO w 2C .

w ZAPISI w = u + iv MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = Ln z

PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNU@ KOMBINACI@ DWUH DEJSTWI-

TELXNYH FUNKCII: u = ln jzj (ODNOZNA^NOJ) I v = Argz (MNOGOZNA^NOJ). mNOGOZNA^NOSTX LOGARIFMA PO\TOMU NA- PRQMU@ SWQZANA S MNOGOZNA^NOSTX@ ARGUMENTA.

zAPISX SIMWOLOW Arg z Lnz (I DRUGIH MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ) c ZAGLAWNOJ BUKWY SLUVIT UKAZU@]IM PRIZNAKOM

IH MNOGOZNA^NOSTI. zAPISX VE arg z I	ln z	PODRAZUMEWA-
ET PRI \TOM WYBOR IZ MNOVESTW Argz	I Ln z WSEH ZNA-
^ENIJ ARGUMENTA I LOGARIFMA PEREMENNOJ z		KAKIH-TO IH

KONKRETNYH ZNA^ENIJ. tAK KAK Ln z = ln jzj+iArg z, WYBOR ZNA^ENIQ arg z 2 Arg z ODNOWREMENNO OPREDELQeT SOOTWET- STWU@]EE ZNA^ENIE ln z = ln jzj+i arg z 2 Ln z.

1 w OPREDELENII |JLERA ([19], x 9, S. 33) \MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ TA, KOTORAQ PRI PODSTANOWKE WMESTO PEREMENNOGO ODNOGO KAKOGO UGODNO

OPREDELENNOGO ZNA^ENIQ POLU^AET NESKOLXKO OPREDELENNYH ZNA^ENIJ".

2 zAPISX W = Ln z (WMESTO w = Ln z) BYLA BY W \TOM SMYSLE BOLEE

UMESTNA, ODNAKO ONA NE POLU^ILA RASPROSTRANENIQ.
4
3 pRAWILXNEE Ln(exp w) =	w+i2 k : k 2Z	(\TO MNOVESTWO KOMP-
LEKSNYH ^ISEL).

w \TOM RAWENSTWE (W OTLI^IE OT PREDYDU]EGO) k ESTX KONKRETNOE CELOE ^ISLO, ZAWISQ]EE OT WYBORA ZNA^ENIQ ln(exp w)2Ln (exp w).

s U^ETOM \TOGO SOGLA[ENIQ IZ PRAWILA PEREMNOVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL (I, c. 5) WYTEKAET WYPOLNENIE DLQ NENULEWYH z 2 C SOOTNO[ENIQ Arg (z )=Arg z+Arg 1 NAPRO- TIW, ^ISLOWOE RAWENSTWO arg(z )=arg z+arg SPRAWEDLIWO LI[X S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2 . kAK SLED-

STWIE, SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQ Ln(z ) = Ln z + Ln (W SMYSLE SOWPADENIQ MNOVESTW) I ln(z ) = ln z+ln (PL@S SLAGAEMOE, KRATNOE 2 i).

w KA^ESTWE ILL@STRACII MOVNO OTMETITX, ^TO 2Ln z Ln z2, OD- NAKO 2Ln z6=Ln z2 . |TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO \LEMENTAMI MNOVESTWA 2Ln z QWLQ@TSQ ^ISLA 2 lnjzj+i(2 arg z +4 k) k 2 Z, W TO WREMQ KAK

MNOVESTWO Ln z2 SOSTOIT IZ ^ISEL 2 ln jzj+i(2 arg z+2 k) k 2Z.

nAGLQDNO PREDSTAWITX DEJSTWIE MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =Ln z (A TAKVE OBRATNOJ K NEJ FUNKCII z = ew) MOVNO NA

DWUH \KZEMPLQRAH KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI: C z PEREMENNOJ z I C w PEREMENNOJ w = u+iv (RIS. 10). w ^ASTNOSTI:

a) LU^, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM K DEJSTWITELXNOJ OSI2 PRI OTOBRAVENII w = Ln z PEREHODIT W BESKONE^NYJ NABOR RAWNOOTSTOQ]IH GORIZONTALXNYH PRQ-

MYH v = + 2 k k = 0 1 2 : : : , PRI WZAIMNO ODNOZNA^-

NOM SOOTWETSTWII MEVDU TO^KAMI LU^A I KAVDOJ OTDELXNO WZQTOJ PRQMOJ OBRATNOE OTOBRAVENIE z = ew WSE \TI PRQMYE PEREWODIT W UKAZANNYJ LU^

B) UGoL MEVDU DWUMQ TAKIMI LU^AMI (SOSTAWLENNYJ IZ PROMEVUTO^NYH LU^EJ) PRI OTOBRAVENII w = Ln z PEREHO-

DIT W NABOR PARALLELXNYH POLOS ([IRINA KAVDOJ RAWNA RAS-

TWORU UGLA) OBRATNYM OTOBRAVENIEM z = ew KAVDAQ TAKAQ

POLOSA (MYSLIMAQ SOSTAWLENNOJ IZ PARALLELXNYH PRQMYH)

1 pONIMAEMOGO KAK SOWPADENIE MNOVESTWA Arg (z ) WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ^ISLA z I MNOVESTWA Arg z+Arg SUMM WZQTYH PO ODNOMU WSEWOZMOVNYH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ^ISLA z I ARGUMENTA ^ISLA .

2 tO^KI \TOGO LU^A IME@T WID z =r(cos + i sin ) 0<r <+1.

PEREWODITSQ (WZAIMNO-ODNOZNA^NO) NA UKAZANNYJ UGOL.

W) DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM 0, ZAKL@^EN- NU@ W \TOM UGLE, OTOBRAVENIE w = Lnz PEREWODIT W PROMEVUTKI PRQMOJ u = ln r, POPADA@]IE W UKAZANNYE POLOSY (PRI WZAIMNO-ODNOZNA^NOM SOOTWETSTWII MEVDU KAVDYM IZ \TIH PROMEVUTKOW I UKAZANNOJ DUGOJ).

rIS. 10

| ^TOBY

sO^ETANIE STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCIEJ (I, S. 21) S LOGARIFMOM (I KOMPLEKSNYM SOPRQVENIEM) PRIWODIT K TAK NAZYWAEMOJ PROEKCII mERKATORA1, PO SEJ DENX LEVA]EJ W OSNOWE SOSTAWLENIQ NAWIGACION- NYH KART | KART mERKATORA. sETKA MERIDIANOW I PARALLELEJ NA TA-

KIH KARTAH QWLQETSQ PRQMOUGOLXNOJ I PRQMOLINEJNOJ (RIS. 11).

rIS. 11

gLAWNOE DOSTOINSTWO KART mEKATORA | W PROSTOTE ZADA^ [TUR- MANA I RULEWOGO: PROLOVIW NA \TOJ KARTE KURS W WIDE OTREZKA PRQMOJ (PERESEKA@]EGO MERIDIANY POD ODNIM I TEM VE UGLOM), DLQ WYDER- VIWANIQ KURSA DOSTATO^NO SLEDOWATX S POSTOQNNYM RUMBOM

STRELKA KOMPASA OSTAWALASX W NEIZMENNOM POLOVENII.

dWIVENIE PRI \TOM BUDET PROISHODITX NE PO KRAT^AJ[EJ LINII NA POWERHNOSTI, NO \TOT NEDOSTATOK KOMPENSIRUETSQ KRAJNEJ PROSTOTOJ UPRAWLENIQ2. kUDA BOLX[IM NEDOSTATKOM KART mERKATORA QWLQETSQ SWOJSTWENNOE IM NARASTANIE ISKAVENIJ PRI PRIBLIVENII K POL@SAM, WSLEDSTWIE ^EGO IZ NIH ISKL@^A@TSQ WYSOKIE [IROTY (KAK NA RIS. 11).

1 Mercator (NAST. IMQ Kremer), Gerhard, 1512{1594, | FLAMANDSKIJ KARTOGRAF, OPUBLIKOWAW[IJ W 1569 G. MOREHODNU@ KARTU MIRA NA OS-

NOWE \TOJ PROEKCII.

2 dWIVENIE PO KRAT^AJ[EJ LINII | OKRUVNOSTI BOLX[OGO KRUGA (ESLI zEML@ PRINIMATX ZA PRAWILXNYJ [AR) | TREBUET POSTOQNNOJ KORREKTIROWKI RUMBA.

49 dOLGOTA I [IROTA ' (STANDARTNYE OBOZNA^ENIQ) TO^KI NA PO-

WERHNOSTI zEMLI I DEKARTOWY KOORDINATY x y EE IZOBRAVENIQ NA KARTE mERKATORA SWQZANY URAWNENIQMI x = y = ln tg;4 +'2 ,

GDE | RADIUS zEMLI, A | MAS[TAB KARTY.

pOSTROENIE PROEKCII mERKATORA KAK SO^ETANIQ STEREOGRAFI^ES-

KOJ PROEKCII I OTOBRAVENIQ w = i ln z ILL@STRIRUET RIS. 12.

rIS. 12

iMEQ OPREDELENIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA, MOVNO DATX OB]EE

OPREDELENIE STEPENI z		\| S L@BYM KOMPLEKSNYM POKAZATELEM I
PRI L@BOM KOMPLEKSNOM OSNOWANII z =0:
				6
	def	= exp lnjzj+i (arg z+2 k) k 2Z
	z = exp Lnz				1
o TOM, SKOLXKO; ZNA^ENIJ			IMEET;	z DLQ RAZLI^NYH z I I	NASKOLX-

KO DANNOE OPREDELENIE STEPENI SOGLASUETSQ S OBY^NYM W SLU^AE CELOGO POKAZATELQ, OBSUVDAETSQ NIVE (S. 54{56). pOKA VE SLEDUET OTMETITX,

^TO DAVE DLQ DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ z = a I = b S

a > 0 (I

arg a = 0) TOLXKO OPREDELENIE

def

WKUPE S SOOTNO[ENI-

= exp b ln a

QMI exp(a+ b) = (exp a)(exp b)

0 = 1 POZWOLQET DATX

(II, c. 36)

exp

;

KOROTKIJ I WNQTNYJ WYWOD OSNOWNYH SWOJSTW STEPENI:

ab+c =exp (b+c) ln a

=exp b ln a + exp c ln a =ab+ac

b c

=exp c ln a

=exp c ln exp(b ln a) =exp cb ln a =a

;

; b

;

exp(b ln a)

; exp 0

=exp ;b ln a

=exp

;b ln a

exp(b lna) = exp(b ln a) = ab .

;

;a0 =exp;0 ln a =1.

gLQDQ NA TO, KAK AKKURATNO DELAET \TO NA S. 142 {146 SWOEGO U^EB- NIKA [29] UVE UPOMINAW[IJSQ (II , S. 36) DA kUNXQ, MOVNO LI[X PORA-

VATXSQ, NASKOLXKO \TOT PORTUGALXSKIJ MATEMATIK, VIW[IJ W XVIII W. I PREPODAWAW[IJ W UNIWERSITETE G. kOIMBRA, WYIGRYWAET W SRAWNENII S NYNE[NIMI WUZOWSKIMI PROPAGANDISTAMI MATEMATI^ESKIH ZNANIJ. bOLX[INSTWO IZ NIH, DOJDQ W SWOIH LEKCIQH (ILI U^EBNIKAH) DO OPRE- DELENIQ I SWOJSTW STEPENI S L@BYM POKAZATELEM, LIBO OTSYLA@T ZA NIMI W SREDN@@ [KOLU (WARIANT: OBHODQTSQ BEZ OPREDELENIQ, A SWOJ- STWA \WYNIMA@T IZ RUKAWA"), LIBO WYSTUPA@T S PROGRAMMOJ: \SNA^ALA

OPREDELIM STEPENX ^ISLA S RACIONALXNYM POKAZATELEM, ZATEM, USTANO- WIW EE SWOJSTWA, PEREJDEM K SLU^A@ L@BOGO POKAZATELQ etc.", KAKOWU@ PROGRAMMU TUT VE SWORA^IWA@T ILI PROWALIWA@T.

mNOGOZNA^NOSTX LOGARIFMA | GLAWNAQ PRI^INA [IRO-

KOGO RASPROSTRANENIQ QWLENIQ MNOGOZNA^NOSTI SREDI FUNK-

1 dANNOE OB]EE OPREDELENIE STEPENI IMEET EDINSTWENNOE ISKL@-

			def	+	1	n
^ENIE: ez	WSEGDA	PONIMA@T IMENNO KAK expz	=			z	,	A NE KAK
						n!
;	;			n=0
exp z Lne	=exp z(1+i2 k) =exp z exp(i2 kz)		k 2Z.P

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.201320 Mб209Харитонов Енергетика.pdf
#
16.08.20137.37 Mб219Хлопкин Морская атомная енергетика 2007.pdf
#
16.08.20132.03 Mб69Цывкунова Интернатионал Лаw Учебно-методическое пособие 2010.pdf
#
16.08.2013673.64 Кб68Цыганова Современная нормативная документация 2008.pdf
#
16.08.201315.92 Mб146Чернов Влияние легирования 2007.pdf
#
16.08.201351.53 Mб84Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008.pdf
#
16.08.201310.65 Mб1660Шелегов Насосное оборудование АЕС 2011.pdf
#
16.08.20133.17 Mб1070Шелегов Физические особенности и конструкция Реактора РБМК-1000 2007.pdf
#
16.08.20138.21 Mб333Шишкин Основы проектирования станочных приспособлений 2010.pdf
#
16.08.201311.25 Mб313Шмаков Основы металловедения 2007.pdf
#
16.08.20132.35 Mб115Шмелев Физические основы обезвреживания 2008.pdf