Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

pROIZWODNAQ

FUNKCII w = f(z) KOMPLEKSNOJ PEREMEN-

NOJ W TO^KE z

2 C | \TO (KAK I W SLU^AE DEJSTWITELXNOJ

PEREMENNOJ) ^ISLO

def

Mw

= lim

f(z+Mz)

;

f(z)

f0(z) = lim

Mz!0 Mz

Mz!0

Mz

(W PREDPOLOVENII, ^TO \TOT PREDEL SU]ESTWUET). nAPRIMER:

a)

(z2)0 = lim

(z+Mz)2;z2

= lim 2zMz+(Mz)2

= 2z

Mz!0

Mz

Mz!0

Mz

+1

0

+1

B)

P

P

n=0cnzn = n=1ncnzn;1 W L@BOJ TO^KE KRUGa SHODIMOSTI

DANNOGO STEPENNOGO RQDA (II, c. 29)

= lim jz+Mzj2;jzj2

W)

( z 2)0

= lim (z+Mz)(z+Mz);zz

=

j j

Mz!0

Mz

Mz!0

Mz

0

ESLI z =0

= z + z lim Mz

=

(NE SU]ESTWUET

6

Mz!0 Mz

ESLI z =0:

SUMMY, RAZNOSTI, PROIZWEDENIQ I ^ASTNOGO:

;

= f0(z) g0(z),

;

f(z) g(z) 0

0

;

f(z)g(z)

= f0(z)g(z) + f(z)g0(z),

f(z)

0

f0(z)g(z) f(z)g0(z)

g(z)

=

g2(z)

,

A TAKVE PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII

;Mw

f('(z) 0

= f0( )'0(z), GDE ='(z).

wOT, K PRIMERU, WYWOD POSLEDNEJ:

;

f0

( ) =Mlim0 M

()

Mw = f0( )M + o

jM j

M ! 0

!

M

()

= '0(z)

z + o j

zj

z

! 0

'0(z) = Mlimz 0 Mz

!

M

M

M

M

;

;

;

w = f

j

zj

+ o

'0

j

zj

=

0( ) '0

(z) z + o

(z) z + o

M

= f

0

( ) '0

M

M

;

z

0;

M

;

M

= f0( ) '0(z).

(z)

z + o

z

;

lim

= f

0

( ) '0

(z) z + f0

( ) o

j

z

j

+ o O

j

z

j

=

M

M

M

Mw

M

M

M

,

;j j

! ()

Mz!0 Mz

1

,

-

nAPRIMER

WWODQ PEREMENNYE

=z;z0

=(z;z0);

MOV

NO USTANOWITX FAKT SU]ESTWOWANIQ I FORMULU PROIZWODNOJ

SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA:

;1

P

;1

P

P

+1

z0)n 0 =

+1

0 0 =

+1

cn(z

;

+1cn

n 0 0 +

+1 c

n n

n=

z

n=0

z

n=1

z

=

ncn(z

;

z0)n;1 +

ncn

(z

;

z0)n;1 =

ncn(z

;

z0)n;1

n=1

n=;1

z

n=;1

P

P

n

2 1 :

P< jz ;z0j < r ,

W TO^KAH EGO KOLXCA SHODIMOSTI

C

;

GDE =

lim

n

c

n

,

A r =

lim

cn

j

(II, STR. 29).

n!+1pj ; j

n!+1pj

l@BAQ FUNKCIQ w = f(z)

KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ODNO-

NYMI

@f

=

@u

+ i

@v

I

@f

=

@u

+ i

@v

, SLEDUET ZAMETITX:

@x

@y

@y

@x @x

@y

a)

SU]ESTWOWANIe PROIZWODNOJ f0(z) W TO^KE z

2 C I

DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII w = f(z) W \TOJ TO^KE

| \TO

RAWNOSILXNYE TREBOWANIQ:

lim

Mw

= f0(z)

()

Mw = f0

(z)Mz + o( Mz

)

Mz

!

0

Mz!0

Mz

j j

B)

SU]ESTWOWANIE ^ASTNYH PROIZWODNYH

@f@x , @f@y

W TO^-

KE (x y)2R2 NEOBHODIMO, NO NE DOSTATO^NO DLQ DIFFEREN-

CIRUEMOSTI FUNKCII w = f(x+iy) W \TOJ TO^KE | PREDSTA-

WIMOSTI EE PRIRA]ENIQ

;

w = f (x+ x)+i(y+i

y) ;f(x+iy)

M

M

M

;p

( y !

0

x

0

@f M

@f M

M 2

M

M

M

2

M !

w = @x x +

@y y + o ( x) +( y)

DOSTATO^NYM USLOWIEM DIFFERENCIRUEMOSTI QWLQETSQ NE-

PRERYWNOSTX ^ASTNYH PROIZWODNYH (W DANNOJ TO^KE).

kRITERIJ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ. dLQ TOGO

^TOBY FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ

w = f(z)

IMELA

PROIZWODNU@ f0(z) W TO^KE z = x+iy 2 C ,

NEOBHODIMO I DO-

STATO^NO, ^TOBY ONA KAK FUNKCIQ DWUH DEJSTWITELXNYH

PEREMENNYH w =f(x+iy)=u(x y)+iv(x y) W TO^KE (x y)2R2

1) BYLA DIFFERENCIRUEMOJ

2) UDOWLETWORQLA

URAWNENI@

(

USLOWI@

)

kO[I { rIMANA

@f

+i @f

@u

=

@v

=0, ILI

(W \KWIWALENTNOJ ZAPISI)

@x

@y

@x

@y

@u

@v

(@y =

; @x

PROIZWODNAQ FUNKCII PO z SWQZANA S ee

^ASTNYMI PROIZ-

WODNYMI PO x I y RAWENSTWAMI f0(z)= @f@x =;i @f@y .

y 2

dOKAZATELXSTWO. wEKTORU PRIRA]ENIQ

z =

2 x+i

C

M

M

M

SOOTWETSTWUET WEKTOR PRIRA]ENIQ fMx Myg2R , PRI \TOM

x

0

M 2

M 2

M

M

j

p

M

!

() ( y

! 0

j

=

( x) +( y)

I

z

0

z

M

!

NIVESLEDU@]IE UTWERVDENIQ PO\TOMU \KWIWALENTNY:

a)

lim

Mw

= f0(z)

Mz!0

Mz

! 0

B) Mw = f0(z)Mz + o jMzj Mz

( y

!

0

M

M

; M

;p

M

2

M 2

x 0

M

!

W)

w = f0(z) x+f0(z)i y + o ( x) +( y)

M

G)

FUNKCIQ w =f(x+iy) DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH x y

DIFFERENCIRUEMA, PRI^EM

@f

= f0(z)

@f = if0(z).

Q.E.D.

@x

@y

@u

=

@v

uSLOWIQ (URAWNENIQ) kO[I{rIMANA

@x

@y

ISTORI^ESKI PRA-

(

@u

=;

@v

@y

@x

@w

@w

i @x

= @y ,

NE ZAWISIMO OT TOGO, KAK WYRAVAETSQ w ^EREZ x I y ." ([15], S. 88).

|TOMU USLOWI@ rIMAN DAL TAKOE TOLKOWANIE: ONO WYRAVAET NEZA-

dw

@w

dx+

@w

dy

WISIMOSTX OTNO[ENIQ

=

@x

@y

OT dz ([rI], S. 50).

dx+idy

dz

@f@z =

1

@x@f

;i @f@y

@f

=

1

@f@x +i @f@y .

2

@z

2

w ITOGE, USLOWIE kO[I{rIMANA PRINIMAET WID

@f

= 0, I EGO TOV-

@z

;

;

DESTWENNOE WYPOLNENIE MOVNO ISTOLKOWATX KAK USLOWIE NEZAWISIMOS-

TI FUNKCII OT PEREMENNOJ

W \TOM SLU^AE

@f

=

@f = f0(z), T.E. FOR-

z

@z

@x

= df .

MALXNAQ ^ASTNAQ PROIZWODNAQ PO z SOWPADAET S OBY^NOJ: @f

@z

dz

w \TOM SMYSLE FUNKCIQMI KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z =x+iy SLE-

DUET S^ITATX TOLXKO TE FUNKCII DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH

x y, KOTORYE POSLE ZAMENY x =

1

(z+

)

y =

1

(z;

) OKAZYWA@TSQ NE

z

z

2

2i

ZAWISQ]IMI OT z.

rAZUMEETSQ, \TI DOWODY NE SLI[KOM OSNOWATELXNY | HOTQ BY PO-

TOMU, ^TO

@f

I

@f

NE QWLQ@TSQ ^ASTNYMI PROIZWODNYMI W OB]E-

@z

@z

PRINQTOM SMYSLE: BRATX PROIZWODNU@ PO ODNOJ IZ PEREMENNYH z z

PRI FIKSIROWANNOJ DRUGOJ NEWOZMOVNO!

iMENNO PO\TOMU @f

I

@f

|

@z

@z

LI[X FORMALXNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE (NAZYWAEMYE E]E

SIMWOLAMI

IS^ISLENIQ wIRTINGERA

).

pRIMERY

.

1. fUNKCIQ w = z2 = (x+iy)2 = x2

;y2 +i2xy

W L@BOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI IMEET NEPRERYWNYE

^ASTNYE PROIZWODNYE

@w

= 2x+i2y

@w

=

;2y +i2x, UDOW-

@x

@y

LETWORQ@]IE URAWNENI@ kO[I{rIMANA

@w

+i

@w

= 0. pO-

@x

@y

\TOMU W L@BOJ TO^KE z = x+iy

C

cU]ESTWUET PROIZWODNAQ

(z2)0 =

@(x+iy)2

= 2x+i2y = 2z.2

@x

2. fUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w =

j

z

2, W ZAPISI

z = x + iy PRINIMA@]AQ WID w = x

2

+ y

2

j

, IMEET W L@BOJ

TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEPRERYWNYE ^ASTNYE PRO-

IZWODNYE

@w

= 2x

@w

= 2y, DLQ KOTORYH USLOWIE kO[I{

@x

@y

rIMANA WYPOLNQETSQ LI[X PRI x=0 I y =0. |TO OZNA^AET,

^TO

j

z

2

0 =

0

ESLI z = 0

NE SU]ESTWUET

ESLI z = 0:

j

;

(

6

z

W WIDE

3.

iZ ZAPISI \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII w = e

4. fUNKCIQ w = f(z) = f(x + iy) =

0

ESLI x y = 0

(1

ESLI x y 6= 0

IMEET W NA^ALE KOORDINAT ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I y,

OBE RAWNYE NUL@, A SLEDOWATELXNO, UDOWLETWORQ@]IE USLO-

fUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f(z) IMEET PROIZ-

WODNU@ f0(z) W OTLI^NOJ OT NULQ TO^KE z 2 C

W TOM I

TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA W ZAPISI w=f r(cos '+i sin ')

\TA FUNKCIQ

1) DIFFERENCIRUEMA PO PEREMENNYM r=jz;j '=arg z

2) UDOWLETWORQET

USLOWI@ kO[I{rIMANA

@f

+

i

@f =0

@r

r @'

PROIZWODNAQ PO z SWQZANa S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PO

r I ' RAWENSTWaMI f0(z) =

r

@f@r =;

i

@'@f .

z

z

dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO SFORMULIROWANNYE USLOWIQ

\KWIWALENTNY USLOWIQM KRITERIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWOD-

@f@r = @x@f cos ' + @f@y sin '

@'@f = @f@x (;r sin ') + @f@y r cos '

SLEDOWATELXNO, @f@r +

i

@'@f = 0 () @f@x + i @f@y =0, PRI \TOM

r

r @f@r = r;@f@x cos ' + @f@y sin ' = r(cos ' + i sin ') @f@x =zf0(z).

pRIMER

. pRI L@BOM WYBORE ODNOZNA^NOJ WETWI LOGARIF-

MA w = ln z = ln

z

+iarg z ONA IMEET W OKRESTNOSTI KAV-

j

j

1

DOJ TO^KI, GDE ONA OPREDELENA , NEPRERYWNYE ^ASTNYE PRO-

IZWODNYE

@w

=

1

@w

= i, PRI \TOM

@w

+

i

@w

0 MOVNO

@r

r

@'

@r

r

@'

UTWERVDATX PO\TOMU, ^TO

ln0 z =

r

@w

=

1

(W TEH TO^KAH z,

z @r

z

GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX w =ln z).

kAK SLEDSTWIE, ODNOZNA^NYE WETWI w = z

def

= exp( ln z)

MNOGOZNA^NOJ (ESLI = Z) FUNKCII

def

w = z = exp Ln z

IME@T W L@BOJ TO^KE z

2 C

z = 0 PROIZWODNU@

;

2

(z )0 = exp( ln z) 0

6

= exp0( ln z)( ln z)0 = z

= z ;1.

z

;

79

def

+Mz);f(z) OKAZYWAETSQ PRI

PRIRA]ENIQ FUNKCII

Mw = f(z0

\TOM FUNKCIEJ WEKTORA PRIRA]ENIQ Mz, ^TO I OPREDELQET

OTOBRAVENIE Mz

7!

Mw. w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII w = z2

M

M

M

2

M

z 7!

w =2z0 z + ( z) .

eSLI FUNKCIQ w = f(z)

IMEET W TO^KE z0 PROIZWODNU@,

NE RAWNU@ NUL@, TO ZAPISX RAWENSTWA f0(z0)= lim MMwz W WIDE

(

Mz!0

M

M

M

PRI M

w = f

0(z0) z + o j zj

z ! 0)

DIFFERENCIAL;

def

WYRAVAET TOT FAKT,

^TO

dw = f0(z0) Mz (W

TO^KE z0) FUNKCII w = f(z) SOSTAWLQET GLAWNU@ LINEJNU@

^ASTX OTOBRAVENIQ Mz

!7 Mw1,

PREDSTAWLQQ SOBOJ POWOROT

WEKTORA Mz NA UGOL

arg f0(z0) (S PERENOSOM NA^ALA WEKTORA