Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
16.08.2013
Размер:
51.53 Mб
Скачать
☆

51

CIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, W ^ASTNOSTI, TEH IZ NIH, KO- TORYE PRINQTO NAZYWATX \LEMENTARNYMI.

k \LEMENTARNYM FUNKCIQM1 KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ OTNOSQT2 TE I TOLXKO TE, FORMULXNYE WYRAVENIQ KOTORYH (^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY) MOVNO POLU^ITX, KOMBI-

NIRUQ (W KONE^NOM ^ISLE) DEJSTWIQ SLOVENIQ, WY^ITANIQ, UMNOVENIQ, DELENIQ, WZQTIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA.

|LEMENTARNYMI, K PRIMERU, QWLQ@TSQ ODNOZNA^NYE FUNKCII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiz + e

iz

 

 

 

 

 

 

 

a) w = z3

 

 

 

 

B)

w =

 

 

2 z + z

 

 

W) w = cos z =

 

 

 

 

 

 

 

2

;

,

 

 

 

 

 

A TAKVE OBRATNYE K NIM, OKAZYWA@]IESQ MNOGOZNA^NYMI:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0) z =pw = exp

3

 

Ln w = exp

 

3

(ln w+i2 k) = pw

 

 

cos

 

3

 

 

+i sin

 

 

3

 

 

 

(PONIMATX \TO SLEDUET W TOM SMYSLE, ^TO WSE ZNA^ENIQ

 

p

 

 

QWLQ@TSQ

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

REZULXTATAMI UMNOVENIQ KAKOGO-TO ODNOGO IZ NIH, OBOZNA^AEMOGO TEM

VE SIMWOLOM pw , NA WSEWOZMOVNYE KORNI 3-J STEPENI IZ ;1)

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B0) z = w+p

 

 

 

 

= w + exp

1

Ln (w2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

 

1

;

1) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

i k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= w + exp

2

ln(w

 

;

1)+i2 k

= w+

 

 

w

;

1 e

p

 

= w

 

 

w

 

;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

2

 

 

 

1, a

 

 

 

 

 

 

(W PERWOM RAWENSTWE PODRAZUMEWA@TSQ WSE ZNA^ENIQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W DWUH

POSLEDNIH | KAKOE-TO ODNO IZ NIH)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

def

 

 

 

 

 

eiz

+e

 

iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W0) z = Arccos w () w =

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

() e2iz ; 2weiz + 1 = 0 ()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

p

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

() e = w+ w

;1

() z = ;i Ln w+

 

 

 

 

w

;1

 

 

W ^ASTNOSTI, DLQ DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ w = u

2

[

;

1 1]

 

(RIS. 13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arccos w =

;i ln jw+

 

 

w

 

;

1j

+ i Arg (w+

 

 

w

 

;

1)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

i ln

u

 

1

;

u2

j

+ Arg (u

 

 

1

;

u2)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 : : : ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

arccos u + 2 k

 

k = 0

 

 

 

GDE arccos u | OBY^NYJ (\[KOLXNYJ") ARKKOSINUS ^ISLA u2[;1 1].

 

 

dLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ PRINQTA SLEDU@]AQ DOPOLNITELXNAQ KLASSIFIKACIQ.

1 iME@TSQ W WIDU QWNO ZADANNYE FUNKCII w=f(z).

2 wSLED ZA kO[I ([28], ser. II, t. X, p. 19) I ANGLIJSKIM MATEMATIKOM gARDI (TO^NEE, hARDI Hardy, Godfrey Harold, 1877{1947 [2] S. 7).

NIQ K OBEIM ^ASTQM

52

rIS. 13

rACIONALXNYMI1 FUNKCIQMI NAZYWA@T TE, KOTORYE WY-

RAVA@TSQ ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY KONE^NYM ^IS-

LOM OPERACIJ SLOVENIQ, WY^ITANIQ, UMNOVENIQ I DELE-

NIQ. l@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ LIBO

MNOGO^LEN w = a0zn + a1zn;1 + + an (S DEJSTWITELX-

NYMI ILI MNIMYMI KO\FFICIENTAMI) | \TO TAK NAZYWAE-

MYE CELYE RACIONALXNYE FUNKCII, LIBO OTNO[ENIE MNOGO- ^LENOW: w = a0zn+a1zn;1+ +an .

b0zm+b1zm;1+ +bm

pRIMERAMI RACIONALXNYH FUNKCIJ QWLQ@TSQ LINEJNYE

w =az+b I DROBNO-LINEJNYE w = azcz++db FUNKCII. aLGEBRAI^ESKIMI2 FUNKCIQMI (ZADANNYMI QWNO) S^I-

TA@TSQ TE, KOTORYE MOVNO WYRAZITX ^EREZ PEREMENNU@ I

1 lAT. ratio | S^ET, OTNO[ENIE, RAZUM.

2 vIW[IJ W VIII{IX WW. MATEMATIK I ASTRONOM mOHAMMED BEN mUSA ALX-hOREZMI (T. E. IZ hIWY), PRIGLA[ENNYJ W ^ISLE DRUGIH U^ENYH W

bAGDAD EGO PRAWITELEM | SYNOM LEGENDARNOGO (\tYSQ^A I ODNA NO^X") gARUN ALX-rA[IDA, NAPISAL RUKOWODSTWO PO RE[ENI@ URAWNENIJ, W NA- ZWANII KOTOROGO | \kITAB ALX-DVABR WALX MUKABALA" | \ALX-DVABR"

OBOZNA^AET OPERACI@ USTRANENIQ WY^ITAEMOGO PUTEM EGO PRIBAWLE-

URAWNENIQ. oBOGATIW W REZULXTATE MIR TERMINOM

\ALGEBRA", \TOT AWTOR ODARIL EGO E]E I SLOWOM \ALGORITM": Algorothmi ESTX LATINSKAQ TRANSKRIPCIQ EGO IMENI ALX-hOREZMI.

53

KONSTANTY KONE^NYM ^ISLOM OPERACIJ SLOVENIQ, WY^ITANIQ, UMNOVENIQ, DELENIQ I IZWLE^ENIQ KORNEJ1. w ^ASTNOS- TI, L@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ. wOOB]E ALGEBRAI^ESKIMI FUNKCIQMI NAZYWA@T RE[ENIQ w ALGEB-

RAI^ESKIH URAWNENIJ

p0(z) wk + p1(z) wk;1 + + pk;1(z) w + pk(z) = 0

(S MNOGO^LENAMI W KA^ESTWE KO\FFICIENTOW). zAPISX LEWOJ ^ASTI URAW- NENIQ PO STEPENQM z POKAZYWAET, ^TO FUNKCIQ, OBRATNAQ K ALGEBRA- I^ESKOJ, SAMA QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ.

uRAWNENIQM, RAZRE[IMYM W RADIKALAH2, SOOTWETSTWU@T QWNYE, T.E.

PREDSTAWIMYE W WIDE w = w(z), ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII, A NERAZ-

RE[IMYM (TAKOWYE ESTX SREDI URAWNENIJ, NA^INAQ S 5-J STEPENI) |

NEQWNYE. wOPROS O RAZRE[IMOSTI W RADIKALAH ALGEBRAI^ESKIH URAW-

NeNIJ STAL OTPRAWNOJ TO^KOJ TAK NAZYWAEMOJ TEORII gALUA3. nEQWNYE ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII NARAWNE S QWNYMI OTNOSQT K \LEMENTARNYM.

ALGEBRAI^ESKIM FUNKCIQM (KOTORYE NE QWLQ@TSQ RACIONALXNYMI)

SWOJSTWENNA MNOGOZNA^NOSTX, PRI \TOM KAVDOMU ZNA^ENI@ PEREMENNOJ z MOVET SOOTWETSTWOWATX LI[X KONE^NOE MNOVESTWO ZNA^ENIJ w

ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII.

tRANSCENDENTNYMI4 NAZYWA@T FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ

ALGEBRAI^ESKIMI. pROSTEJ[IE SREDI \LEMENTARNYH TRANSCENDENTNYH FUNKCIJ | \TO \KSPONENTA I LOGARIFM.

dOKAZATELXSTWO TRANSCENDENTNOSTI (\NEALGEBRAI^NOSTI") FUNK- CIJ w = ez I w = lnz MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W NEBOLX[OJ KNIVKE g. gARDI [2].

wAVNEJ[IMI SREDI OB]IH SWOJSTW PERE^ISLENNYH KLASSOW FUNK- CIJ QWLQ@TSQ SLEDU@]IE:

1 tO, ^TO IZWLE^ENIE KORNEJ NE SWODITSQ K ^ETYReM OSNOWNYM DEJSTWIQM, WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ IRRACIONALXNYH ^ISEL.

2 pOSREDSTWOM KOMBINACIJ (W KONE^NOM ^ISLE) ^ETYREH OSNOWNYH

DEJSTWIJ I IZWLE^ENIQ KORNEJ.

3 gALUA (Galois, Evarist, 1811{1832) | TEMPERAMENTNYJ FRANCUZ, W

20 LET UBITYJ NA DU\LI, NO USPEW[IJ IZMENITX HOD RAZWITIQ ALGEBRY

I E]E POIZU^ATX INTEGRALY OT ALGEBRAI^ESKIH FUNKCIJ.

4 lAT. transcendo | WYHODITX ZA PREDELY.

54

A) PROIZWODNAQ FUNKCII, QWLQ@]EJSQ \LEMENTARNOJ (SOOTWET-

STWENNO, RACIONALXNOJ, ALGEBRAI^ESKOJ), WSEGDA ESTX FUNKCIQ \LEMENTARNAQ (SOOTWETSTWENNO, RACIONALXNAQ, ALGEBRAI^ESKAQ)

B) PERWOOBRAZNAQ PO OTNO[ENI@ K RACIONALXNOJ FUNKCII WSEGDA ESTX FUNKCIQ \LEMENTARNAQ

W) PERWOOBRAZNAQ PO OTNO[ENI@ K ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII MOVET BYTX KAK \LEMENTARNOJ, TAK I NE\LEMENTARNOJ

G) PERWOOBRAZNAQ PO OTNO[ENI@ K \LEMENTARNOJ TRANSCENDENT-

NOJ FUNKCII \KAK PRAWILO" NE QWLQETSQ \LEMENTARNOJ FUNKCIEJ.

dOWODAMI W POLXZU PERWYH DWUH IZ \TIH UTWERVDENIJ SLUVAT OB-

]EIZWESTNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ. oBOSNO-

WANIE UTWERVDENIJ W) I G) PRIWEDENO W UVE UPOMINAW[EJSQ KNIVKE g. gARDI [2].

oSNOWNYe POSTAW]IKI NE\LEMENTARNYH FUNKCIJ | DIFFERENCI-

ALXNYE URAWNENIQ I \NEBERU]IESQ" INTEGRALY. nEKOTORYE IZ NE\LE-

MENTARNYH FUNKCIJ IME@T SWOI NAZWANIQ I OB_EDINENY TERMINOM

SPECIALXNYE FUNKCII (SREDI NIH NAIBOLEE NA SLUHU: INTEGRALXNYE SINUS I LOGARIFM, INTEGRAL WEROQTNOSTI, GAMMA- I BETA-FUNKCII, FUNKCII bESSELQ I lEVANDRA).

pROILL@STRIROWATX TERMINOLOGI@ MOVNO NA PRIMERE

STEPENNOJ FUNKCII w = za (S KOMPLEKSNYM POKAZATELEM a),

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

 

OPREDELQEMOJ (DLQ PEREMENNOJ

 

z

 

 

 

C z = 0) SOOTNO[ENIEM

z = exp(aLn z) (S U^ETOM WSEH ZNA^ENIJ LOGARIFMA).

 

1. pUSTX POKAZATELX a ESTX NATURALXNOE ^ISLO (a = n).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

tAK KAK DLQ L@BOGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ ln z

 

Ln z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

}|

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(n ln z) = exp

;

ln z+ n +ln z

 

=

{

 

 

 

 

 

 

n

def

z

 

 

 

}|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z }| {

 

 

 

 

=

 

exp(ln z)

 

 

 

 

exp(ln z)

=

 

z = zn,

WELI^INA z

 

= exp(n Ln z) IMEET EDINSTWENNOE ZNA^ENIE,

SOWPADA@]EE S OBY^NYM PONIMANIEM zn

KAK PROIZWEDENIQ

n SOMNOVITELEJ, RAWNYH z. tAKIM OBRAZOM, STEPENNAQ FUNKCIQ w = zn S NATURALXNYM POKAZATELEM n QWLQETSQ ODNO-

ZNA^NOJ I PRI \TOM CELOJ RACIONALXNOJ.

SLEDUET, ^TO DLQ POLU^ENIQ WSEH ZNA^ENIJ za = exp(aLnz)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

 

 

2.

 

pUSTX a ESTX CELOE OTRICATELXNOE ^ISLO (a = ;n).

kAKOW BY NI BYL WYBOR KONKRETNOGO ZNA^ENIQ

ln z 2Ln z,

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(n ln z)

 

 

 

 

 

exp 0

 

 

 

 

1

 

 

z

 

= exp(;n ln z) = exp(;n ln z) exp(n ln z)

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

exp(n ln z)

zn

 

T. E. OPREDELENIE z;n = exp(

n ln z) SOGLASUETSQ S OBY^NYM,

T. E. z;n = 1=zn , W SILU ^EGO;STEPENNAQ FUNKCIQ w = z;n (S

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CELYM OTRICATELXNYM POKAZATELEM) QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(NO NE CELOJ RACIONALXNOJ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I RACIONALXNOJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

eSLI a ESTX RACIONALXNOE ^ISLO

 

a=

 

m

, TO

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

z

a n

= exp nLn z

a

 

= exp nLn[exp(aLnz)] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= exp n(aLnz+i2 k)

= exp

 

 

m Ln z

 

= z m,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

W SILU ^EGO STEPENNAQ FUNKCIQ

w = z

 

 

 

 

a =

 

 

UDOW-

 

PRI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

w

n

;z

m

 

;

n

z

m

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

LETWORQET URAWNENI@

 

 

=0 ILI

w

 

 

;1=0

I POTOMU

QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ. iZ cOOTNO[ENIJ VE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp aLnz

 

= exp a(ln z+i2 k) = exp a ln z

 

exp

i2 km

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSTATO^NO WZQTX KAKOE-LIBO ODNO IZ NIH za = exp(a ln z) I

UMNOVATX EGO NA CELYE STEPENI ^ISLA cos

2 m

 

+ i sin

2 m

.

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

n

tAK KAK RAZLI^NYH SREDI NIH (ESLI DROBX

 

 

NESOKRATIMA)

 

 

 

 

ROWNO n, STEPENNAQ FUNKCIQ w = za

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

S NECELYM RACIONALX-

NYM POKAZATELEM a =

m

QWLQETSQ n-ZNA^NOJ.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

def

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pRI a=

NABOR n ZNA^ENIJ z n

= exp

 

Ln z

 

SOWPADAET

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S NABOROM WSEH KORNEJ n-J STEPENI IZ z,;T. E. z n = pz

 

DLQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

WSEH z = 0. rAZLI^IE SOSTOIT W TOM, ^TO ZAPISX w = pz (W

6

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w = z n ) DOPUSKAET TAKVE PODSTANOWKU OSOBYH

OTLI^IE OT

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZNA^ENIJ z = 0 I z =

 

:

p0=0,

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

p

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. wO WSEH PRO^IH SLU^AQH,

T.

E.

KOGDA a ESTX DEJST-

WITELXNOE IRRACIONALXNOE ILI MNIMOE ^ISLO,

STEPENNAQ
w = z2 W

56

FUNKCIQ w = za QWLQETSQ TRANSCENDENTNOJ I K TOMU VE BESKONE^NOZNA^NOJ POSLEDNEE WYTEKAET IZ SOOTNO[ENIJ

za = exp aLn z

 

= exp a(ln z+i2 k) =

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

= exp(a ln z) exp(i2 ka)

k = 0

 

1

 

2 : : : ,

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S U^ETOM TOGO,

^TO WSE ^ISLA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(i2 ka)

k = 0 1 2 : : : ,

 

 

 

 

 

OKAZYWA@TSQ RAZLI^NYMI.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eSLI a | DEJSTWITELXNOE IRRACIONALXNOE ^ISLO, TO DLQ L@BYH

CELYH k1 6=k2

^ISLO (k1;k2)a NE QWLQETSQ CELYM, A POTOMU WSE WEKTO-

RY exp(i2 ka) k

2 Z, POPARNO OBRAZU@T UGLY, NE KRATNYE 2 , T. E.

IME@T RAZNYE NAPRAWLENIQ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eSLI a | MNIMOE ^ISLO

 

Im a = 0 , TO W SILU SOOTNO[ENIJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(i2 ka)

= exp Re(i2 ka) = exp (

;

Im a)2 k

 

 

 

WSE WEKTORY

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(i2 ka) k; Z, IME@T RAZNYE;DLINY.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oTOBRAVENIQ,

OSU]ESTWLQEMYE PROSTEJ[IMI STEPEN-

NYMI FUNKCIQMI

w = z2

I w = z;1, PROILL@STRIROWANY

NA RIS. 14. w ^ASTNOSTI:

a) LU^, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM (K DEJSTWITELXNOJ OSI)

B) DUGA OKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM z =0

W) OTREZKI (PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT), SOEDINQ@- ]IE TO^KU z =1; i S TO^KAMI z =;i I z =1,

WZAIMNO-ODNOZNA^NO PEREWODQTSQ FUNKCIEJ

a 0) LU^, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM 2

B 0)1 DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r2 S CENTROM w =0

W 0) OTREZKI PARABOL u= 14 v2 ;12 I u=1;14 v2,

1 w PREDPOLOVENII, ^TO ISHODNAQ DUGA BYLA RASTWOROM, MENX[IM .

2 dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO TO^KI z = x;i

0 6 x 6 1, PEREHODQT W

TO^KI w =x2

;

1

;

i2x, ILI (W ZAPISI w =u+iv )

u=x2 ;1

06x61,

 

 

 

 

 

(v =

2x

 

^TO POSLE ISKL@^ENIQ x DAET u=

1

v2 ;1 ;26v60.

;

 

4

 

 

57

58

A FUNKCIEJ w =z;1 SOOTWETSTWENNO W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 00) LU^1, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM

 

;

 

 

 

 

B 00) DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r;1 S CENTROM w =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

2

 

 

 

W 00) DUGI (TO^NEE, ^ETWERTI) OKRUVNOSTEJ u + v

 

 

 

=

 

 

 

I u;

1

2+v2 =

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;2

 

 

 

 

4

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

uPRAVNENIQ

.

 

1. rE[ITX URAWNENIE (z+i)n + (z;i)n = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(oTWET: z = ctg

 

+2 k

 

 

 

k = 0 1 : : : n

;1.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. pROWERITX, ^TO

 

j

tgz

j

=

 

ch 2y ; cos 2x

 

 

 

z = x+iy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch 2y + cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. nAJTI NEDOSTATOK W WYWODEq

|JLERA (WOSPROIZWEDENNOM NA c. 44)

FORMULY LOGARIFMA KOMPLEKSNOGO ^ISLA.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. dOKAZATX, ^TO

1+iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A)

Arctg z =

 

1

 

Ln

 

 

 

z =

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;iz

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B)

 

WSE ZNA^ENIQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arctgz

QWLQ@TSQ DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI W

TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE,

KOGDA z | DEJSTWITELXNOE ^ISLO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W)

Arctgx =

1

Arg

1+ix

 

I

 

Arctg x = arctgx + k

k

2

Z

 

DLQ

 

 

 

1;ix

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L@BOGO DEJSTWITELXNOGO x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. nAJTI OBRAZY PRQMOUGOLXNIKA S WER[INAMI

 

1

 

1+i

PRI OTO-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

,

 

 

 

 

1

,

 

 

 

 

 

G) w = Argz,

BRAVENII FUNKCIQMI: A) w = z

B) w = z;

W) w = jzj,

D) w =pz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;y2 =

 

 

 

 

 

 

6. wO ^TO FUNKCIQ w = z2 PEREWODIT WETWI GIPERBOL x2

1

I xy = 1, A DWUHZNA^NAQ FUNKCIQ w = p

 

 

| PRQMYE

Rez = 1

I

z

 

Im z = 1?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 oBHODIMYJ W NAPRAWLENII,

PROTIWOPOLOVNOM OBHODU ISHODNOGO

LU^A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO TO^KI z = x

;

i 0

6 x 6

1, PEREHODQT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

x

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u=x2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W TO^KI w =x

 

i ,

 

ILI (W ZAPISI w = u +iv )

 

0 6 x 6 1,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<v =

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IZ ^EGO SLEDUET: u

2

+v

2

= v,

ILI

 

2

 

 

1

=

1

, PRI^EM

0 6 u 6

 

1

 

, a

 

 

 

u + v

 

2

 

 

 

 

4

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6v 61 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

IV . ~TO NAZYWA@T ODNOZNA^NYMI WETWQMI I TO^KAMI WETWLENIQ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ

mNOGOZNA^NYE FUNKCII w = F (z) | \TO NE FUNKCII W TRADICIONNOM PONIMANII, KOGDA L@BOMU (DOPUSTIMOMU) ZNA- ^ENI@ PEREMENNOJ z SOOTWETSTWUET WPOLNE OPREDELENNOE, EDINSTWENNOE ZNA^ENIE PEREMENNOJ w. w ^ASTNOSTI, PRI- WY^NO SWQZYWAEMYE So SLOWOM \FUNKCIQ" PONQTIQ PREDELA,

NEPRERYWNOSTI, PROIZWODNOJ, INTEGRALA etc. K MNOGOZNA^- NYM FUNKCIQM NAPRQMU@ NE PRIMENIMY.

iSHODNYM PRI OBRA]ENII S MNOGOZNA^NYMI FUNKCIQMI w = F (z) QWLQETSQ PO\TOMU WOPROS: MOVNO LI (I ESLI DA, TO KAK) \PODAWITX" PRISU]U@ IM MNOGOZNA^NOSTX | SWES- TI IH K OBY^NYM, ODNOZNA^NYM, FUNKCIQM. tOLXKO RE[IW \TOT WOPROS, MOVNO PRISTUPATX K IZU^ENI@ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ METODAMI MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.

gEOMETRI^ESKI NAGLQDNYJ SPOSOB \PODAWLENIQ" MNOGOZNA^NOSTI FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ PREDLOVIL rIMAN W SWOEJ DISSERTA- CII1. sPOSOB \TOT SOSTOIT W RASSMOTRENII KONKRETNOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F(z) NE NA ISHODNOM MNOVESTWE E C EE ZADANIQ, A NA PROECIRUEMOJ NA \TO MNOVESTWO \SLOENOJ" KONSTRUKCII | TAK NAZYWA-

EMOJ RIMANOWOJ POWERHNOSTI DANNOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII. w OB]IH ^ERTAH USTROENA ONA SLEDU@]IM OBRAZOM:

1) NAD KAVDOJ TO^KOJ z 2C RASPOLAGAETSQ ROWNO STOLXKO \SLOEW",

ILI \LISTOW"2, POWERHNOSTI, SKOLXKO ZNA^ENIJ PRINIMAET MNOGOZNA^-

NAQ FUNKCIQ w =F(z) W \TOJ TO^KE, I WSE \TI ZNA^ENIQ RASPREDELQ@TSQ

PO ODNOMU NA KAVDU@ IZ PROECIRUEMYH W TO^KU z TO^EK POWERHOSTI

1\oSNOWY OB]EJ TEORII FUNKCIJ ODNOJ KOMPLEKSNOJ PEREMEN-

NOJ" (\Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer

verandlichen complexen Grosse" Gottingen, 1851) [15], S. 49{87.

2 kAVDYJ IZ NIH PREDSTAWLQET SOBOJ \KZEMPLQR KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ILI KAKOJ-TO EE ^ASTI.

60

2) SPOSOB SOEDINENIQ \LISTOW"W \SLOENU@" KONSTRUKCI@ (RIMANOWU POWERHNOSTX) I RASPREDELENIE PO EE TO^KAM ZNA^ENIJ w2F(z) MNOGO-

ZNA^NOJ FUNKCII DOLVNY BYTX TAKIMI, ^TOBY \NEPRERYWNYM PEREME-

]ENIEM" PO POWERHNOSTI EE PEREMENNAQ TO^KA MOGLA BYTX PEREWEDENA IZ L@BOGO NA^ALXNOGO POLOVENIQ W L@BOE DRUGOE1, I \BESKONE^NO MALO- MU" PEREME]ENI@ TO^KI PO POWERHNOSTI OTWE^ALO \BESKONE^NO MALOE" IZMENENIE PREDPISYWAEMOGO \TOJ TO^KE ZNA^ENIQ w 2F (z) MNOGOZNA^-

NOJ FUNKCII2.

w REZULXTATE IZNA^ALXNO MNOGOZNA^NAQ (NA PLOSKOSTI) FUNKCIQ w=F (z) OKAZYWAETSQ ODNOZNA^NOJ I NEPRERYWNOJ NA SKONSTRUIROWAN-

NOJ RIMANOWOJ POWERHNOSTI.

w PROSTEJ[EM (NO WESXMA WAVNOM) SLU^AE MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' = Arg z (A WMESTE S NEJ I w = Lnz ) SOOTWETSTWU@]U@ RIMANOWU POWERHNOSTX MOVNO PREDSTAWITX KAK \[LEJF", OSTAWLQEMYJ DWU- MQ \KZEMPLQRAMI | L+ I L; | LU^A WDOLX POLOVITELXNOJ ^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI PRI WRA]ENII PERWOGO IZ NIH \PROTIW", A WTO- ROGO \PO HODU ^ASOWOJ STRELKI" WOKRUG NA^ALA KOORDINAT (RIS. 15). pREDPOLAGAETSQ, ^TO POSLE KAVDOGO POLNOGO OBOROTA \[LEJF" OT L+ IDET \POWERH", A OT L; | \POD" UVE SFORMIROWANNOJ EGO ^ASTX@, PRI^EM \TOT \[LEJF" MYSLITSQ \RAZOSTLANNYM" PO PLOSKOSTI I (NE- SMOTRQ NA BESKONE^NO WOZRASTA@]EE ^ISLO SLOEW) IME@]IM NULEWU@

TOL]INU.

rIS. 15

1 t. E. KONSTRUKCIQ IZ \LISTOW" DOLVNA BYTX SWQZNOJ.

2 fUNKCIQ NA POWERHNOSTI DOLVNA BYTX NEPRERYWNOJ.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности