Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
16.08.2013
Размер:
51.53 Mб
Скачать
☆
161

WENSTWOM

 

 

def

 

 

 

 

 

f( )d

FUNKCIQ W SAMOM DELE SLUVIT

'(z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qz1

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PERWOOBRAZNOJ PO OTNO[ENI@ K PODYNTEGRALXNOJ1.

 

 

tAK KAK FUNKCIQ w=f(z) NEPRERYWNA W OBLASTI D, DLQ

PROIZWOLXNO WZQTYH TO^KI

z

2 D I ^ISLA

" > 0

SU]EST-

WUET KRUG S CENTROM z,

W PREDELAH KOTOROGO ZNA^ENIQ \TOJ

FUNKCII OTLI^A@TSQ OT EE ZNA^ENIQ W CENTRE DANNOGO KRU-

GA MENX[E, ^EM NA ". eSLI

| RADIUS \TOGO KRUGA,

M

A z |

L@BOE NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO (\WEKTOR PRIRA]ENIQ")

c jMzj< , TO PO OPREDELENI@ ZNA^ENIQ '(z)

 

 

 

 

'(z+Mz);'(z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

f( )d ;

 

 

 

 

 

f( )d =

 

f( )d ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Qz

1

 

 

z+Mz

 

 

 

Qz

1

 

z

 

 

 

Lz z+Mz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R!

 

 

 

 

 

 

 

 

GDE Lz

!

z+Mz

 

| OTREZOK PRQMOJ S NA^ALXNOJ TO^KOJ z I KO-

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

f( )d NE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NE^NOJ z+

z : TAK KAK ZNA^ENIE '(z+

 

z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qz1!Rz+Mz

 

ZAWISIT OT WYBORA LOMANOJ Qz1!z+Mz D, MOVNO S^ITATX,

^TO \TOJ LOMANOJ SLUVIT LOMANAQ Qz1

!z, PRODOLVENNAQ OT-

REZKOM Lz!z+Mz . pOSKOLXKU = z + t Mz

t 2 [0 1], | PUTX

OBHODA \TOGO OTREZKA,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

M M

Mz

 

 

 

 

 

 

 

= Mz

 

 

f( )d = Mz

 

 

 

 

'(z+

z);'(z)

 

 

 

0

f(z+t z)

zdt =

 

 

;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Lz!Rz+Mz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

f

(z

 

M

 

 

 

 

 

dt

+ f(z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+t z);f(z)

 

 

 

 

 

A TAK KAK

 

 

 

M

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z+t zR);f(z) <", WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA

 

 

 

 

'(z+Mz) '(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;f(z)

0

 

f(z+t z);f(z) dt <",

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

D SU]ESTWUET

IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO W L@BOJ TO^KE

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'0(z)=f(z). Q.E.D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 eSLI BY OPREDELQ@]IJ ZNA^ENIE '(z) INTEGRAL ZAWISEL OT WYBORA

LOMANOJ Qz1!z, TO ON ZADAWAL BY W OBLASTI D MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@.

162

sOEDINENIE USTANOWLENNYH LEMM S FORMULOJ nX@TONA{ lEJBNICA ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO TEOREMY kO[I.

 

zAME^ANIE

. pRIMER FUNKCII w =

 

1

, ANALITI^ESKOJ

 

z;z0

W OBLASTI D = C rfz0 g, POKAZYWAET,

 

 

^TO NA NEODNOSWQZNYE

OBLASTI D C TEOREMA kO[I NE RASPROSTRANQETSQ.

tEOREMA kO[I DOPUSKAET RAZLI^NYE PEREFORMULIROWKI I OBOB]ENIQ W ^ASTNOSTI, BYWAET UDOBEN SLEDU@]IJ EE WA- RIANT DLQ SPECIALXNOGO TIPA ODNOSWQZNYH OBLASTEJ.

oBLASTX D C NAZYWAETSQ ZWEZDNOJ, ESLI SU]ESTWUET TO^KA z? 2D S TEM SWOJSTWOM, ^TO PRI PEREME]ENII TO^KI

WDOLX GRANICY OBLASTI D TO^KI z? + ( ;z?) 0 6 < 1, OSTA@TSQ W PREDELAH \TOJ OBLASTI (RIS. 61).

rIS. 61

tEOREMA kO[I OB INTEGRALE PO GRANICE ZWEZDNOJ OBLASTI. eSLI TO^KI ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KON-

TURA ; SOSTAWLQ@T GRANICU @D ZWEZDNOJ OBLASTI D C ,

TO DLQ L@BOJ FUNKCII w = f(z), ANALITI^ESKOJ W \TOJ OB-

LASTI I NEPRERYWNOJ WPLOTX DO EE GRANICY1, H f(z)dz = 0.

;

1 t. E. NEPRERYWNOJ NA ZAMYKANII D=D [@D OBLASTI D.

;( ), CELIKOM LEVA]EGO

163

dOKAZATELXSTWO. pUSTX OBLASTX D QWLQETSQ ZWEZDNOJ

OTNOSITELXNO TO^KI z? I PUSTX : z =z(t) t2[a b], | PUTX (KLASSA C1) OBHODA KONTURA ;. tOGDA PRI L@BOM WYBORE ^IS-

LA 2(0 1) FUNKCIQ z =z?+ (z(t);z?), t2[a b], ZADAET PUTX

( ) (KLASSA C1) OBHODA \GOMOTETI^NOGO" KONTURU ; ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA

W OBLASTI D (WWIDU EE ZWEZDNOSTI OTNOSITELXNO TO^KI z?

RIS. 62).

 

 

 

 

 

 

 

 

rIS. 62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pOSKOLXKU OBLASTX D ODNOSWQZNA1,

PRIMENENIE TEOREMY

 

 

 

;H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kO[I DAET:

f(z)dz = 0. oSTAETSQ PO\TOMU DOKAZATX, ^TO

H

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z)dz = lim

 

f(z)dz

, DLQ ^EGO SLEDUET OCENITX WELI^INU

;

 

!1;0

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

;H

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

R

;

 

0( )

R

;

? +

( ( );

 

0( )

:

;

; ( ) ( )

 

= a

 

( )

 

; a

 

 

?)

 

 

f z dz

 

f z dz

 

f z t z

t dt

 

f z

z t

z

 

z

t dt

 

1 eE GRANICEJ SLUVIT SWQZNOE (VII, S. 109{110) MNOVESTWO TO^EK

KONTURA ; (VIII, S. 126).

164

R

 

 

 

 

 

;R

 

 

 

b

 

R

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

( )

 

;

( )

( )

 

 

(1;

 

b

( )

 

0( )

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f z dz

 

 

 

f z dz 6

 

 

 

 

f z t z

t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

a ; ( ) ; ;

? + ( ( ); ?)

 

0( )

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f z t

f z z t z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z t dt

 

PRI \TOM PERWOE SLAGAEMOE RW PRAWOJ ^ASTI ESTX NI^TO INOE KAK

(1; )

 

R

f(z)dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! ;

 

 

 

 

 

1

 

;

 

I POTOMU STReMITSQ K 0 PRI

 

! 1;0 WTOROE

VE SLAGAEMOE STREMITSQ K 0 PRI

 

 

 

1

 

0 WWIDU

 

 

 

 

a) OGRANI^ENNOSTI KAK ZADA@]EJ PUTX (KLASSA C )

FUNKCII z = z(t), TAK I EE PROIZWODNOJ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9h>0

8t t2[a b] =) jz(t)j6h

^ jz0(t)j6h

 

 

 

B)

NEPRERYWNOSTI, A POTOMU I RAWNOMERNOJ NEPRERYW-

NOSTI FUNKCII w = f(z) NA ZAMKNUTOM I OGRANI^ENNOM

MNOVESTWE D =D

[

@D :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8">09 >08z18z2

;

z12D ^ z22D ^ jz1 ;z2j< =)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=) jf(z1);f(z2)j<" ,

cLEDOWATELXNO, ESLI ^ISLO DOSTATO^NO BLIZKO K 1, TO

 

 

 

z(t); z?+ (z(t);z?) = (1; )jz(t);z?j 6

(1; )(h+jz?j)< ,

SILU ^EGO

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

[a b],

 

 

 

 

 

;

 

 

f z(t) ; f z? + (z(t);z?) < "

 

 

 

 

A POTOMU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DLQ WSEH

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ;

;

 

 

? +

( ( );

0

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

( )

 

 

 

?)

 

 

"h(b;a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f z t

 

 

f z

 

z t z

 

z t dt

6

 

 

 

 

 

 

 

 

uPRAVNENIE

 

pOKAZATX NA PRIMERE FUNKCII

w =(z;z0);

 

W KOLXCE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

C

: 1 < jz;z0j < 2 ),

^TO DLQ NEODNOSWQZNOJ OBLASTI UTWERVDENIE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LEMMY OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM (c. 157) MOVET OKAZATXSQ

NEWERNYM.

165

XI. ~TO WYRAVAET INTEGRALXNAQ FORMULA kO[I I KAKOWY SWOJSTWA INTEGRALA kO[I

tEOREMA kO[I WMESTE S PONQTIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX, S. 135) PRIWODQT K SLEDU@]EMU UTWERVDENI@.

iNTEGRALXNAQ FORMULA kO[I.1 eSLI W ODNOSWQZNOJ

OBLASTI D C FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ, TO DLQ L@BOGO RASPOLOVENNOGO W \TOJ OBLASTI ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; I L@BOJ NE LEVA]EJ NA \TOM

KONTURE TO^KI z0

2D SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

 

 

1

 

 

f(z)

= f(z0) ind(; z0)

 

 

 

 

;

 

dz

 

 

2 i

z;z0

W ^ASTNOSTI,

H

 

 

ESLI KONTUR

; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ, a

OBHOD IM WNUTRENNEJ PO OTNO[ENII K NEMU OBLASTI int;

QWLQETSQ POLOVITELXNYM (IX, c. 144 RIS. 63), TO

 

 

 

 

 

 

1

 

 

f(z)

 

 

 

 

 

f(z0)

ESLI z0

 

 

int;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i ;

z;z0

dz

= ( 0

 

ESLI z0 2ext ;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dOKAZATELXSTWO

. fUNKCIQ w = f(z);f(z0) W ODNOSWQZNOJ

OBLASTI D C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z;z0

 

 

 

 

 

 

QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ

,

 

ISKL@^AQ TO^KU

z0 , W KOTOROJ ONA NE OPREDELENA, NO IMEET KONE^NYJ PREDEL:

lim f(z);f(z0)

=f0(z0). pO TEOREME kO[I (X, S. 151)

z!z0

z;z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 =

1

 

f(z);f(z0)

dz =

 

 

1

 

f(z)

dz

 

f(z0)

 

 

dz

 

=

2 i ;

 

 

 

; 2 i

 

; z;z0

 

 

 

 

z;z0

 

 

2 i ; z;z0

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Hf(z)

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

;

z;z0 dz

; f(z0) ind(; z0). Q.E.D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i

 

sMENA OBOZNA^ENIJ

 

 

zHNA , a

z0

NA z

 

 

PRIWODIT K SLE-

DU@]EJ PEREFORMULIROWKE DOKAZANNOGO UTWERVDENIQ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 bYLA POLU^ENA kO[I W 1831 G. ([28], ser. II, t. XV, p. 449).

166

eSLI ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; RASPOLOVEN W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCIQ w=f(z)

QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ, TO W NE LEVA]IH NA KONTURE ;

TO^KAH z

2

D,

DLQ KOTORYH ind(; z) = 0, ZNA^ENIQ

f(z)

 

 

6

f( )

\TOJ FUNKCII WOSSTANAWLIWA@TSQ PO EE ZNA^ENIQM

NA KONTURE ; POSREDSTWOM INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I

1 f( )

2iH ;z d = f(z) ind(; z) .

;

rIS. 63

sU]ESTWENNO, ^TO LEWAQ ^ASTX INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I IMEET SMYSL I W BOLEE OB]IH PREDPOLOVENIQH, NEVELI TE, PRI KOTORYH BYLA POLU^ENA \TA FORMULA. a IMENNO, ESLI

; | KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR (NE OBQZATELXNO ZAMKNUTYJ), A w='( ) | NEPRERYWNAQ NA \TOM KONTURE FUNKCIQ, TO W NE

LEVA]IH NA KONTURE ; TO^KAH z 2C OPREDELENY ZNA^ENIQ

INTEGRALA kO[I

1

1

R

'( ) d

FUNKCII

w ='( ).

2i

 

 

 

;

;z

 

 

1 tERMIN IZ ZAMETKI ITALXQNSKOGO MATEMATIKA mORERY (SNOSKA 2

NA S. 173) \Intorno all'integrale di Cauchy" (\oB INTEGRALE kO[I") W Rendiconti Reale Istituto Lombardo, ser. II, v. XXII, 1889, p. 191{200.

167

lEWAQ ^ASTX INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I (W ZAPISI NA S. 166) QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM INTEGRALA kO[I, KOGDA: a) ; | ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, CELIKOM RASPOLOVENNYJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ

ZADANA ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w =f(z)

B) W KA^ESTWE '( ) BERUTSQ ZNA^ENIQ f( ) \TOJ ANALITI-

^ESKOJ FUNKCII NA \TOM KONTURE

PRI \TOM INTEGRAL kO[I WOSSTANAWLIWAET1 UVE ZADANNU@ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w =f(z) PO EE ZNA^ENIQM NA (ZAMKNUTOM) KONTURE ;.

w OB]EM VE SLU^AE INTEGRAL kO[I 1 R '( ) d PO ZA- z

2 i ; ;

DANNOJ NA KONTURE ; FUNKCII w='( ) OPREDELQET2 NOWU@

def 1 '( )

BYTX ZAMKNUTYM, AR;ZADANNAQ NA NEM FUNKCIQ w = '( ) |

FUNKCI@ f(z) = 2 i ;z d (PRI \TOM KONTUR ; NE OBQZAN

ANALITI^ESKOJ).

s CELX@ OTTENITX \TO RAZLI^IE, TERMIN INTEGRAL kO[I NEKOTO- RYE OTNOSQT ISKL@^ITELXNO K LEWOJ ^ASTI INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I (S. 166), WOSSTANAWLIWA@]EJ ZADANNU@ ANALITI^ESKU@ FUNK-

CI@ PO EE ZNA^ENIQM NA ZAMKNUTOM KONTURE. sHODNU@ VE PO WIDU

 

def

1

R

'( )

PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA

f(z) =

2i ; ;z d , OPREDELQ@]EGO PO ZADAN-

NOJ NA KONTURE ; (NE OBQZATELXNO ZAMKNUTOM) NEPRERYWNOJ FUNKCII w = '(z) (NE OBQZATELXNO ANALITI^ESKOJ) NOWU@ FUNKCI@ w = f(z),

PREDPO^ITA@T NAZYWATX INTEGRALOM TIPA kO[I, WOWSE NE VELAQ WY- RAZITX TEM PRENEBREVENIE K WELIKOMU MATEMATIKU, A LI[X SOKRA]AQ BOLEE DLINNOE NAZWANIE INTEGRAL TIPA INTEGRALA kO[I.

fUNDAMENTALXNU@ ROLX IGRAET SLEDU@]EE SWOJSTWO IN-

TEGRALA kO[I (ILI TIPA kO[I).

1 B TEH TO^KAH z D, OTNOSITELXNO KOTORYH ind(; z) = 0.

2 w TO^KAH z 2C ,2NE LEVA]IH NA KONTURE ;.

6

168

tEOREMA O PROIZWODNYH INTEGRALA kO[I. iNTEG-

 

 

 

def

R

'( ) d NEPRERYWNOJ NA KUSO^NO-GLADKOM

 

 

 

 

 

RAL kO[I f(z) = 1

 

 

 

 

2 i

;

;z

KONTURE ; C

FUNKCII w ='( ) OPREDELQET WNE \TOGO KONTURA1

ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f(z), IME@]U@ PROIZWODNYE

 

 

R

'( )

 

 

 

f(k)(z)= k!

 

k+1 d WSEH PORQDKOW.

 

2 i

;

( ;z)

 

 

 

rIS. 64

dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | NE LEVA]AQ NA KONTURE ;

TO^KA PLOSKOSTI C , C | OKRUVNOSTX (RADIUSA r) S CENT-

ROM z, NE ZAHWATYWA@]AQ TO^EK KONTURA ; (VIII, S. 126) I

Mz | NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO S jMzj<

r

(RIS. 64).

2

f(z+Mz) f(z)

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

'( )

 

 

 

 

 

1

 

'( )

 

 

Mz; =

 

Mz 2 i

R

'( )

 

 

 

;

 

 

R

;z d =

 

; ;z;Mz d

2 i

;

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

 

 

 

 

 

 

 

2 i

;

( ;z;Mz)( ;z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

R

'( )

d +

1

 

 

 

 

 

'( )Mz

 

d.

 

 

 

R

2

 

 

R

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 i

( ;z)

 

 

 

2 i

 

( ;z;Mz)( ;z)

 

 

 

 

;

 

 

 

;

 

 

 

1 tO^NEE, W KAVDOJ OBLASTI, NA KOTORYE RASPADAETSQ MNOVESTWO NE LEVA]IH NA KONTURE ; TO^EK z 2C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

169

w SILU NEPRERYWNOSTI

NA KONTURE ; FUNKCIQ w= '( )

 

 

r

j

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QWLQETSQ NA NEM OGRANI^ENNOJ (

'( )

6 h). s DRUGOJ STORO-

NY, j ;zj>r I j ;z;Mzj>

 

DLQ WSEH TO^EK KONTURA ;. kAK

2

SLEDSTWIE (VIII, c. 133,

OCENKA INTEGRALA PO KONTURU) MO-

DULX WTOROGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI PREDYDU]EJ SISTE-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

MY RAWENSTW NE PREWOSHODIT WELI^INY

2

 

r

 

r2 h jMzj l(;),

GDE l(;) | DLINA KONTURA ;. pOSKOLXKU \TA WELI^INA STRE-

MITSQ K NUL@ PRI Mz

! 0, SLEDUET WYWOD: W L@BOJ TO^KE

z 2C , NE LEVA]EJ NA KONTURE ;, INTEGRAL kO[I (TO^NEE,

 

 

 

def

 

1

 

 

'( )

 

 

 

 

 

 

OPREDELQEMAQ IM FUNKCIQ) f(z) =

 

 

 

 

 

 

 

d

IMEET PROIZ-

2 i

;

 

;z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WODNU@ f0(z) = lim f(z+Mz);f(z)

=

 

 

1R

 

 

'( )

 

d I POTOMU

 

2 i

 

 

 

 

2

Mz!0

Mz

 

 

 

;

( ;z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W L@BOJ OBLASTI D C ,

NE SODERVA]EJ TO^EK KONTURA ;.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dOKAZATX, ^TO \TA FUNKCIQ NA SAMOM DELE IMEET W L@BOJ

TO^KE z = ; PROIZWODNU@

f(k)(z) L@BOGO PORQDKA k MOVNO

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LIBO RASSUVDENIQMI PO \TOJ VE SHEME (NO S WOZRASTA@]IMI TEHNI^ESKIMI SLOVNOSTQMI), LIBO OPIRAQSX NA SLEDU@]U@

LEMMU.

lEMMA O PROIZWODNOJ INTEGRALA PO PARAMETRU. eSLI ; I D | SOOTWETSTWENNO KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR I

OBLASTX NA PLOSKOSTI C (ILI DWUH RAZLI^NYH EE \KZEMPLQ-

RAH), a FUNKCIQ w = ( z) 2; z 2D, QWLQETSQ

a) NEPRERYWNOJ (PO ) NA KONTURE ; PRI L@BOM z 2D

B) ANALITI^ESKOJ (PO z) W OBLASTI D PRI L@BOM 2;,

TO INTEGRAL

R

( z)d QWLQETSQ (PO PEREMENNOJ z) ANALI-

;

 

D, PRI \TOM

TI^ESKOJ FUNKCIEJ W OBLASTI

;

 

 

;

z

R

( z)d 0=

R

0 ( z)d.

 

 

170

dOKAZATELXSTWO LEMMY.1 dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z 2 D PUSTX K | KRUG S CENTROM z, PRINADLEVA]IJ OBLASTI D C | KONCENTRI^ESKAQ OKRUVNOSTX RADIUSA r,

MENX[EGO, ^EM RADIUS KRUGA K Mz | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO (\WEKTOR PRIRA]ENIQ"), DLQ KOTOROGO 0 < jMzj < 2r

(KAK NA RIS. 64).

eSLI ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = ( z) (PEREMENNOJ z PRI FIKSIROWANNOJ TO^KE 2;) RASSMATRIWATX NE WO WSEJ OBLASTI D (KOTORAQ MOVET BYTX NEODNOSWQZNOJ), A LI[X W

KRUGE K, TO PRIMENENIE K NEJ INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I c OKRUVNOSTX@ C (ODIN RAZ OBHODIMOJ W POLOVITELXNOM

NAPRAWLENII) W KA^ESTWE KONTURA INTEGRIROWANIQ DAET:

1

R

 

 

 

 

M

 

 

 

 

R

 

 

( z)d =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mz ;

 

( z+ z)d ;;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

R

1

 

H

 

 

( !)

 

H

( !)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!;z d! d =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mz

;

2 i C

 

!;z;Mz d! ; C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

1

 

H

 

 

 

 

 

( !)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2 i

 

(!;z;Mz)(!;z) d!d =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

C

 

 

 

 

 

 

 

R

 

1

H

 

( !)

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

1

 

H

 

( !)Mz

 

 

 

 

 

=

 

2 i

 

 

 

2 d!d +

 

2 i

 

(!;z;Mz)(!;z)

2 d!d .

 

 

;

 

C

 

(!;z)

 

 

 

 

 

 

;

 

C

 

 

 

pERWOE SLAGAEMOE W POSLEDNEJ SUMME ESTX (SOGLASNO UVE USTANOWLENNOJ FORMULE PROIZWODNOJ INTEGRALA kO[I) NI-

^TO INOE KAK

0

(

)

 

,

WTOROE VE PO MODUL@ NE BOLX[E

 

 

z

z d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2R 1

h jMzj l(C) l(;), GDE l(C) I l(;) | DLINY

 

 

 

 

 

 

WELI^INY 2 r r2

SOOTWETSTWENNO OKRUVNOSTI C I KONTURA ;, A h | WERHNQQ

GRANICA ZNA^ENIJ j

( !)j NA ZAMKNUTOM I OGRANI^ENNOM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dLQ NAGLQDNOSTI (I WWIDU OSOBOJ WAVNOSTI \TOGO SLU^AQ) OBLASTX D MOVNO S^ITATX MNOVESTWOM TO^EK z 2C , NE LEVA]IH NA KONTURE ; (ILI ODNOJ IZ OBLASTEJ, NA KOTORYE RASPADAETSQ \TO MNOVESTWO).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности