Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf
141
pEREHODQ K SWOJSTWAM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA KAK FUNKCII TO^KI, OTNOSITELXNO KOTOROJ ON WY^ISLQETSQ, UDOB-
NEE WWESTI PEREOBOZNA^ENIE: ind(; z) = |
1 |
H |
d |
, z = ;. |
|||
|
|
;z |
|||||
|
|
|
|
2 i ; |
2 |
||
|
|
1. |
ind (;; z) = ; ind (; z). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
ind (; z) = ind (;1 z) + ind (;2 z), ESLI ZAMKNUTYJ KON- |
||||
|
|
TUR ; RAZDELQETSQ NA ZAMKNUTYE KONTURY ;1 ;2. |
|||||
|
|
||||||
|
|
oBA UTWERVDENIQ | PRQMYE SLEDSTWIQ SWOJSTW KONTUR- |
|||||
NYH INTEGRALOW (VIII, S. 128, SWOJSTWA 2, 3). |
|
|
|||||
rIS. 49
3. dLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;
ZNA^ENIE ind (; z) POSTOQNNO W KAVDOJ OBLASTI D C , NE SODERVA]EJ TO^EK KONTURA ; (RIS. 49).
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | L@BAQ TO^KA OBLASTI D, A K | KRUG RADIUSA S CENTROM z, PRINADLEVA]IJ \TOJ OBLASTI. dLQ L@BOGO NENULEWOGO \WEKTORA PRIRA]ENIQ" Mz 2 C c jMzj< 2
142
ind (; z+Mz) |
ind(; z) |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
Mz; |
|
H |
= |
Mz |
|
2 i |
; |
|
;z;Mz |
; |
2 i |
; |
;z |
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
Mz d |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
H |
1 |
|
|
d |
|
|
H |
|
|
|
|
|||||
= |
2 i |
; |
( ;z;Mz)( ;z) |
= |
2 i ; ( ;z)2 |
+ ; |
( ;z;Mz)( ;z)2 |
|
, |
|||||||||||||||
PRI \TOM, POSKOLXKU j ;zj < , |
a |
|
j ;z;Mzj<2 , WTOROE SLAGAEMOE W |
|||||||||||||||||||||
SKOBKAH PO MODUL@ NE PREWOSHODIT WELI^INY jMzj ;32l(;), GDE l(;) |
DLINA KONTURA ; (VIII, c. 133, OCENKA INTEGRALA PO KONTURU) I POTOMU
STREMITSQ K NUL@ PRI Mz ! 0.
rIS. 50
|
|
|
|
|To DOKAZYWAET SU]ESTWOWANIE W L@BOJ TO^KE z2D PROIZWODNOJ |
|||||||||||
; |
ind(; z) 0 def= |
lim |
ind (; z+Mz);ind (; z) = |
|
1 |
|
d |
|
, |
||||||
2 i ; ( ;z) |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
Mz!0 |
Mz |
|
|
|
||||||||
RAWNOJ NUL@ W SILU FORMULY nX@TONA{lEJBNICA (VIII, c. 133). s U^E- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
TOM PERWOGO IZ USLOWIJ POSTOQNSTWA ANALITI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI |
|||||||||||||||
(VII, c. 112) |
ind(; z) const W OBLASTI D. Q.E.D. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4. zNA^ENIE INDEKSA L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO |
||||||||||||
|
|
|
KONTURA OTNOSITELXNO L@BOJ TO^KI z |
2 C , |
LEVA]EJ WNE |
||||||||||
|
|
|
OKRUVNOSTI, SODERVA]EJ \TOT KONTUR, |
RAWNO NUL@. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. |
ESLI TO^KA z 2 C LEVIT WNE OKRUVNOSTI, WNUTRI |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
KOTOROJ RASPOLOVEN KONTUR ;, TO WEKTOR ;z PRI OBHODE TO^KI WDOLX KONTURA ; NE SOWER[AET NI ODNOGO OBOROTA. Q.E.D.
143
5. eSLI ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ, TO DLQ L@BOJ EGO TO^KI KRUG DOSTA- TO^NO MALOGO RADIUSA S CENTROM W \TOJ TO^KE RAZDELQETSQ KONTUROM NA DWE OBLASTI, W KOTORYH ZNA^ENIQ ind(; z) RAZNQTSQ NA 1.
dOKAZATELXSTWO. l@BOJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; NA PLOSKOSTI C PREDSTAWIM W WIDE REZULXTATA POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ GRAFIKOW FUNKCIJ (y = y(x) ILI x = x(y) VIII, UPRAVNENIE 2), W SILU ^EGO
PRI OTSUTSTWII U NEGO SAMOPERESE^ENIJ ON DELIT WNUTRENNOSTX L@-
BOJ (DOSTATO^NO MALOJ) OKRUVNOSTI S CENTROM W PROIZWOLXNO WZQTOJ
TO^KE 2 ; NA DWE OBLASTI, LEVA]IE \PO RAZNYE STORONY" OT NEGO. |
||
pUSTX C | TAKAQ OKRUVNOSTX I PUSTX TO^KI z1 I z2 LEVAT WNUT- |
||
RI NEE \PO RAZNYE STORONY" OT KONTURA ; (RIS. 51, A). zAMENA ^ASTI |
||
KONTURA ; MEVDU TO^KAMI PERESE^ENIQ EGO S OKRUVNOSTX@ C DUGAMI |
||
C0 I C00 \TOJ OKRUVNOSTI, LEVA]IMI \PO RAZNYE STORONY" OT ; S |
||
TO^KAMI z1 |
I z2, PREOBRAZUET KONTUR ; W ZAMKNUTYE KUSO^NO{GLADKIE |
|
KONTURY ;0 |
I ;00 (RIS. 51, B, W). w SILU SWOJSTWa 3 (c. 141) |
|
ind(;0 z1) = ind(;0 z2) |
ind(;00 z1) = ind(;00 z2) |
|
ind (;0 z1) = ind (; z1) |
ind (;00 z2) = ind (; z2). |
|
rIS. 51
144
s DRUGOJ STORONY, W SILU SWOJSTW 1 { 2
|
ind (;0 zk) ; ind (;00 zk) = ind(C zk ) = 1 k = 1 2 |
|||||||||
OKRUVNOSTX C WOSPRINIMAETSQ ZDESX KAK KONTUR |
C0 C00; , A ZNAK |
|||||||||
ZAWISIT OT RASPOLOVENIQ TO^EK z1 |
I z2 PO OTNO[ENI@ |
K KONTURU ;: |
||||||||
KAKAQ IZ NIH LEVIT \SLEWA", A KAKAQ | \SPRAWA" OT NEGO. |
||||||||||
COPOSTAWLENIE \TIH SOOTNO[ENIJ PRIWODIT K TREBUEMOMU ZAKL@- |
||||||||||
^ENI@ |
: ind (; z1) = ind (; z2) 1. |
Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 (SWOJSTWO vORDANA)1. zAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SA- |
||||||||||
MOPERESE^ENIJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; NA PLOSKOSTI C |
||||||||||
RAZDELQET EE NA DWE OBLASTI: OGRANI^ENNU@ |
WNUTRENN@@ |
, |
||||||||
OBOZNA^AEMU@ int;, I NEOGRANI^ENNU@ |
WNE[N@@ |
| ext;.2 |
||||||||
|
||||||||||
oBLASTX ext; SOSTAWLQ@T WSE TE NE LEVA]IE NA KONTURE |
||||||||||
; TO^KI z 2 C , |
DLQ KOTORYH ind(; z) = 0 DLQ WSEH VE |
|||||||||
TO^EK OBLASTI int; LIBO ind(; z) = 1 |
(KAK NA RIS. 52), |
|||||||||
|
|
; |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
LIBO ind(; z) = |
|
1 W PERWOM SLU^AE OBHOD KONTUROM ; |
||||||||
OBLASTI int; S^ITA@T POLOVITELXNYM , A WO WTOROM | |
||||||||||
OTRICATELXNYM.
dOKAZATELXSTWO. mNOVESTWO TO^EK z 2 C , NE LEVA]IH NA KONTURE ;, QWLQETSQ OTKRYTYM4, A POTOMU RASPADAETSQ NA NEPERESEKA@]IESQ
OBLASTI (VII, S. 110).
1 fRANCUZSKIJ MATEMATIK vORDAN |
(Jordan, Camille, 1838{1922) W |
PERWOM TOME SWOEGO \kURSA ANALIZA" |
|
(\Cours d'Analyse de l'Ecole |
Polytechnique") NA S. 91{98 (IZDANIQ 1909 G.) WPERWYE PREDSTAWIL SWOJ-
STWO ZAMKNUTOJ I NE PERESEKA@]EJ SEBQ KRIWOJ NA PLOSKOSTI RAZDE-
LQTX EE NA DWE OBLASTI | WNUTRENN@@ I WNE[N@@ | NE KAK \SAMO-
O^EWIDNYJ" FAKT, A KAK DOKAZYWAEMOE MATEMATI^ESKOE UTWERVDENIE, IZWESTNOE TEPERX KAK \TEOREMA vORDANA" (NEKOTOROE PREDSTAWLENIE O STEPENI EE \O^EWIDNOSTI" DAET RIS. 52).
2 oBOZNA^ENIQ OT LAT. interior | WNUTRENNIJ I exterior | WNE[NIJ. 3 nAGLQDNO \TO SOOTWETSTWUET TOMU, ^TO OBLASTX int; PRI OBHODE
KONTURA ; OSTAETSQ OT NEGO \SLEWA".
4 eSLI z = z(t) t 2 [a b], | PUTX OBHODA KONTURA ;, A z0 | NE
LEVA]AQ NA \TOM KONTURE TO^KA, TO = inf jz0 ; z(t)j > 0 I KRUG
t2[a b]
fz 2C : jz;z0j< g NE SODERVIT TO^EK KONTURA ;.
145
rIS. 52
sU]ESTWENNO, ^TO OB]IMI GRANI^NYMI TO^KAMI L@BOJ PARY \TIH OBLASTEJ MOGUT BYTX LI[X TO^KI KONTURA ;.
s DRUGOJ STORONY, OB_EDINENIE WSEH KRUGOW S CENTRAMI 2 ;, O KOTORYH [LA RE^X W SWOJSTWE 5, SAMO RASPADAETSQ NA DWE OBLASTI,
OB]IMI GRANI^NYMI TO^KAMI KOTORYH SLUVAT WSE TO^KI KONTURA ;. sOPOSTAWLQQ \TI NABL@DENIQ, MOVNO SDELATX SLEDU@]IJ WYWOD:
OBLASTEJ , NA KOTORYE RASPADAETSQ MNOVESTWO TO^EK z 2 C , NE LEVA-
]IH NA ZAMKNUTOM I NE IME@]EM SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO-GLADKOM KONTURE ;, IMEETSQ ROWNO DWE, PRI^EM (W SILU SWOJSTW 3 I 4) DLQ WSEH TO^EK z ODNOJ IZ \TIH OBLASTEJ (A IMENNO NEOGRANI^ENNOJ, OBOZNA- ^AEMOJ ext;) ind(; z) = 0. s U^ETOM VE SWOJSTW 3 I 5 W OSTAW[EJSQ OBLASTI (OGRANI^ENNOJ, OBOZNA^AEMOJ int;) LIBO ind(; z) 1, LIBO ind(; z) ;1. Q.E.D.
zAME^ANIE. sWOJSTWO L@BOGO MNOGOUGOLXNIKA (ZAMKNUTOJ I
SAMOPERESEKA@]EJSQ LOMANOJ) NA PLOSKOSTI RAZDELQTX EE NA DWE LASTI | OGRANI^ENNU@ WNUTRENN@@ I NEOGRANI^ENNU@ WNE[N@@ | IMEET SLEDU@]EE PROSTOE DOKAZATELXSTWo (WZQTOE IZ KNIGI r. kURANTA
[10], S. 16{17).
pUSTX ^EREZ KAVDU@ TO^KU z 2C , NE LEVA]U@ NA MNOGOUGOLXNIKE
P , PROWEDEN LU^ W KAKOM-LIBO ODNOM NAPRAWLENII, NE PARALLELXNOM NI ODNOJ IZ STORON MNOGOUGOLXNIKA. |TO PRIWEDET K RAZDELENI@ WSEH
146
TO^EK z 2 C rP NA DWA MNOVESTWA, 0 I 1 , DLQ TO^EK z PERWOGO IZ KOTORYH ^ISLO n=n(z) PERESE^ENIJ WYHODQ]EGO IZ TO^KI z LU^A S
MNOGOUGOLXNIKOM P ^ETNO, A DLQ WTOROGO | NE^ETNO.
rIS. 53
eSLI PROHOVDENIE LU^A ^EREZ KAKU@-LIBOWER[INU MNOGOUGOLXNIKA P S^ITATX PERESE^ENIEM TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA WYHODQ]IE IZ NEE STORONY MNOGOUGOLXNIKA LEVAT PO RAZNYE STORONY OT LU^A (RIS. 53),
TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI z 2 CrP ^ETNOSTX ^ISLA |
|
n BUDET TOJ VE, |
^TO I W SAMOJ \TOJ TO^KE. sLEDOWATELXNO, OBA MNO- |
VESTWA 0 I 1 |
QWLQ@TSQ OTKRYTYMI, PRI^EM IH OB]EJ GRANICEJ |
SLUVIT MNOGOUGOLXNIK P (POSKOLXKU \PO RAZNYE STORONY" OT KAVDOJ EGO STORONY ^ISLO n IMEET PROTIWOPOLOVNU@ ^ETNOSTX).
eSLI BY KAKOe-TO IZ OTKRYTYH MNOVESTW 0 I 1 RASPADA-
LOSX NA NESKOLXKO NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW, TO GRANI-
CEJ KAVDOGO IZ NIH OKAZYWALASX BY NEKOTORAQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ, QW- LQ@]AQSQ ^ASTX@ MNOGOUGOLXNIKA P, ^TO NEWOZMOVNO. oBA MNOVESTWA0 I 1 QWLQ@TSQ PO\TOMU OBLASTQMI, PRI^EM PERWOJ PRINADLEVAT WSE TO^KI z2C S DOSTATO^NO BOLX[IM ZNA^ENIEM jzj. |TO I OZNA^AET,
^TO 0 =ext P, A 1 =intP . Q.E.D.
147
oPERIRUQ PONQTIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA I IMEQ W WIDU SWOJSTWO vORDANA, MOVNO RE[ITX, NAPRIMER, SLEDU@]U@ ZADA^U.
nAJTI FORMULU, POZWOLQ@]U@ OPREDELITX, LEVIT ZADANNAQ TO^- KA p0 (x0 y0) KOORDINATNOJ PLOSKOSTI R2 \NA", \WNUTRI" ILI \WNE"
ZADANNOGO n-UGOLXNIKA P |
c POSLEDOWATELXNYMI |
WER[INAMI p1(x1 y1), |
p2(x2 y2) : : : pn(xn yn) |
I pn+1(xn+1 yn+1)=p1 |
(x1 y1) (RIS. 54). |
rIS. 54
|
rE[ENIE. |
dLQ j =1 : : : n PUSTX ~rj =fxj ;x0 yj ;y0g | WEKTOR, |
|||||
|
|
||||||
WEDU]IJ IZ TO^KI p0 W TO^KU pj, a Sj = |
|
xj ; x0 |
yj ; y0 |
|
| UDWO- |
||
|
|
|
|
xj+1 ; x0 |
yj+1 ; y0 |
|
|
ENNAQ PLO]ADX TREUGOLXNIKA p0pjpj+1, WZQTAQ SO ZNAKOM \PL@S", ESLI |
|||||||
DANNYJ PORQDOK SLEDOWANIQ WER[IN SOOTWETSTWUET POLOVITELXNOMU |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
OBHODy \TOGO TREUGOLXNIKA (KAK NA RIS. 54), I SO ZNAKOM \MINUS" PRI
OTRICATELXNOM OBHODE.
eSLI PRI KAKOM-TO j =1 : : : n ODNOWREMENNO WYPOLNQ@TSQ SOOT-
NO[ENIQ Sj =0 I ;~rj ~rj+1 6 0, TO GOTOW OTWET: TO^KA p0(x0 y0) LEVIT \NA" LOMANOJ P , A IMENNO NA j-M EE ZWENE (RIS. 55, a).
w PROTIWNOM SLU^AE, PEREHODQ K KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, SLEDUET WY^ISLITX INDEKS MNOGOUGOLXNIKA P (ORIENTIROWANNOGO SOGLASNO PO- RQDKU SLEDOWANIQ EGO WER[IN) OTNOSITELXNO TO^KI p0 = x0 +iy0 , T. E.
^ISLO ind(P p0) = 21 M'j, GDE
148
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ESLI Sj =0 |
I |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~rj ~rj+1 |
|
> |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
arcsin |
|
|
Sj |
|
|
|
|
|
|
|
ESLI Sj >0 |
I |
~rj ~rj+1 |
|
> |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j~rjj j~rj+1j |
|
|
|
|
|
|
|
|
;~rj ~rj+1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
M'j = |
; arcsin |
|
Sj |
|
|
|
ESLI Sj >0 |
I |
60 |
|
|
||||||||||||||||
|
j~rjj j~rj+1j |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
; |
arcsin |
; |
Sj |
|
|
|
|
|
ESLI Sj <0 |
I |
;~rj ~rj+1 |
> |
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
j~rjj j~rj+1j |
|
|
|
|
|
|
;~rj ~rj+1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
; |
+ arcsin |
|
;Sj |
|
|
ESLI Sj <0 |
I |
6 |
0 |
|
|
||||||||||||||
RIS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j~rjj j~rj+1j |
|
MOGUT BYTX LI[X |
|
I |
|
||||||||||||
. 55, |
B W G |
D |
E |
). |
zNA^ENIQMI |
ind(P p0 ) |
0 |
1. |
||||||||||||||||||||
( |
, |
>, , |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||
eSLI ind(P p0 ) = 0, TO^KA p0 |
LEVIT WNE, A ESLI |
ind(P p0) = 1 |
| |
|||||||||||||||||||||||||
WNUTRI MNOGOUGOLXNIKA P . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
rIS. 55
uPRAVNENIQ. 1. iZOBRAZITX ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR ;, INDEKS KOTOROGO OTNOSITELXNO L@BOJ TO^KI z 2= ; RAWEN NUL@.
2. pOSTROITX ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, DELQ]IJ PLOS-
KOSTX NA BESKONE^NOE ^ISLO OBLASTEJ, ZNA^ENIQMI INDEKSA KONTURA W KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA 0 1 ;1.
3. iZOBRAZITX ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR ;, ZNA^ENIQMI INDEKSA KOTOROGO QWLQ@TSQ 0 I DWA CELYH ^ISLA m I n (NAPRIMER, ;2 I 3).
149
X. kAKU@ OBLASTX NAZYWA@T ODNOSWQZNOJ I ^TO UTWERVDAET TEOREMA kO[I
|
|
gRANICU |
|
|
@D OBLASTI D |
NA PLOSKOSTI C |
|
TAK VE, KAK |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
I NA RAS[IRENNOJ PLOSKOSTI |
|
|
SOSTAWLQ@T WSE TE TO^KI |
||||||||||||||||||
z C , KOTORYE OBLASTI |
D NE PRINADLEVAT,; NO W L@BOJ |
||||||||||||||||||||
OKRESTNOSTI KOTORYH ESTX TO^KI \TOJ OBLASTI. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
nAPRIMER: |
|
|
|
|
|
|
|
SOSTOIT IZ ODNOJ TO^KI 1, |
|||||||||||
|
|
A) |
|
GRANICA PLOSKOSTI |
|
|
C |
||||||||||||||
PLOSKOSTX VE C GRANICY NE IMEET: @C =f1g |
@C = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
) |
|
GRANICEJ KRUGa |
z |
2 |
|
|
: jz;z0j < r |
QWLQETSQ OKRUV- |
|||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||
NOSTX |
z 2 |
C |
: jz ;z0j = r , |
W TO WREMQ KAK GRANICA KOLXCA |
|||||||||||||||||
|
z 2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SOSTOIT IZ DWUH OKRUVNOSTEJ |
|
|||||||
|
z 2 |
: |
jz;z0j= |
|
z 2 |
|
|
: jz;z0j=r . |
|
|
) NAZYWA@T |
||||||||||
|
|
oBLASTX D PLOSKOSTI |
C |
|
|
(ILI PLOSKOSTI |
C |
||||||||||||||
ODNOSWQZNOJ |
, |
ESLI EE GRANICA @D QWLQETSQ SWQZNYM MNO- |
|||||||||||||||||||
VESTWOM1. nAGLQDNO \TO OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO @D SOSTOIT \IZ ODNOGO KUSKA", A MATEMATI^ESKI | ^TO PRI L@BOM RAZDELENII EGO NA DWA (NEPUSTYH) MNOVESTWA HOTQ BY ODNO IZ NIH BUDET SODERVATX PREDELXNYE TO^KI DRUGOGO (K PRI-
MERU, KRUG | \TO ODNOSWQZNAQ OBLASTX, A KOLXCO | NET).
zAME^ANIE. wAVNO IMETX W WIDU SLEDU@]EE. dLQ NEOGRA-
NI^ENNOJ OBLASTI SWOJSTWO BYTX (ILI NE BYTX) ODNOSWQZNOJ,
WOOB]E GOWORQ, ZAWISIT OT TOGO, RASSMATRIWA@T \TU OBLASTX NA PLOSKOSTI C ILI VE NA PLOSKOSTI C . w ^ASTNOSTI, WNE[- NOSTX oKRUVNOSTI (L@BOJ) NA PLOSKOSTI C QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ OBLASTX@, A NA PLOSKOSTI C
|
oB_QSNQETSQ \TO TEM, ^TO POD WNE[NOSTX@ OKRUVNOSTI |
||||
z 2 |
C |
: jz ;z0j = r |
W \TIH SLU^AQH PONIMA@T DWE RAZNYE |
||
|
|
||||
|
1 pONQTIE SWQZNOSTI MNOVESTWA OBSUVDALOSX W VII NA S. 109{110. |
||||
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
OBLASTI: z 2C : jz;z0j>r |
I z 2C : |
jz;z0j>r |
| SOOTWET- |
|||||
STWENNO WKL@^A@]U@ I NE WKL@^A@]U@ TO^KU |
1 |
. gRANICEJ |
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
||
PERWOJ OBLASTI SLUVIT OKRUVNOSTX |
z 2 |
: jz;z0j = r , |
||||||
A WTOROJ | \TA VE OKRUVNOSTX WMESTE S BESKONE^NO UDA-
LENNOJ TO^KOJ. uQSNITX \TO POMOGAET IZOBRAVENIE OBEIH
OBLASTEJ NA SFERE rIMANA (RIS. 56).
rIS. 56
sLEDU@]EE SWOJSTWO ODNOSWQZNYH OBLASTEJ NA PLOSKOSTI C GOWORIT OB OTSUTSTWII U NIH \PROKOLOW" I \DYR".1
eSLI OBLASTX D C ODNOSWQZNa, TO KAKOW BY NI BYL RASPOLOVENNYJ W \TOJ OBLASTI ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SA-
MOPERESE^ENIJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, WNUTRENNQQ PO OTNO[ENI@ K NEMU OBLASTX int; TAKVE PRINADLEVIT OB-
LASTI D.
1 iNOGDA \TO SWOJSTWO PRINIMA@T ZA OPREDELENIE ODNOSWQZNOSTI OBLASTI NA PLOSKOSTI C (NO NE NA PLOSKOSTI C ).