Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Т. А. Ломоносова Ю. П. Никитин

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2010

Содержание

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Начиная с 50-х годов прошлого столетия, когда была создана квантовая электродинамика (КЭД), первый образец современной квантовой теории поля, по этой проблеме изданы десятки книг. Однако до 1985 года в данной области не было выпущено ни одного задачника.

В 1985 году Т.А. Ломоносовой и Ю.П. Никитиным был издан «Сборник задач по релятивистской квантовой механике», предназначенный для студентов, изучающих одноименный курс.

С тех пор в квантовой теории поля произошел колоссальный прогресс. Ныне мы рассматриваем КЭД как одну из разновидностей калибровочных теорий поля. Аналогом фотона в сильных и слабых взаимодействиях являются калибровочные бозоны, которые описываются полями Янга – Миллса. Создание электрослабой модели привело к глубокой связи между электромагнитными и слабыми взаимодействиями. Перенормируемость играет одну из ведущих ролей в современных полевых теориях. А характерная зависимость констант связи от передаваемого импульса при высоких энергиях подтверждает гипотезу о единой природе всех взаимодействий и возможности построения единой теории поля.

Все перечисленные аспекты нашли отражение в предлагаемом «Сборнике задач по квантовой электродинамике», который создан на базе «Сборника задач по релятивистской квантовой механике» Т.А. Ломоносовой и Ю.П. Никитина 1985 года.

Сборник состоит из семи разделов. В разделе 5 рассмотрена не только калибровочная симметрия КЭД, но и дано краткое представление о неабелевых калибровочных симметриях, приводящих к полям Янга – Миллса. Раздел 7 разбит на два подраздела. Подраздел 7.1 содержит наряду с процессами КЭД задачи, связанные с электрослабой моделью. Задачи подраздела 7.2 касаются в основном перенормировки заряда и бегущей константы связи КЭД. Развернутые решения к задачам этого подраздела могут служить кратким теоретическим введением в физику перенормировок.

Перед каждым разделом конспективно изложены соответству-

4

ющие теоретические сведения, позволяющие решать задачи без привлечения дополнительной литературы. Благодаря развернутым решениям задачник можно использовать в качестве справочника по ряду физических вопросов – от сложной кинематики и владения диаграммной техникой до понятия о неабелевых калибровочных полях и физики резонансных реакций.

Для решения задач, помещенных в сборнике, необходимо знание специальной теории относительности, классической теории поля, нерелятивистской и релятивистской квантовой механики в объеме читаемых студентам курсов.

Я благодарна Н.Б. Нарожному за идею подготовки данного пособия, Е.Д. Жижину за стимулирующие обсуждения ряда вопросов, рецензенту сборника А.В. Беркову за полезные замечания и советы, а также А.В. Ломоносову за техническое оформление рукописи.

К сожалению, Юрий Петрович Никитин, чей вклад в «Сборник задач по релятивистской квантовой механике» 1985 года неоценим, безвременно ушел из жизни в 1989 году.

«Сборник задач по квантовой электродинамике» – это дань его памяти, памяти моего учителя и друга.

Т.А. Ломоносова

5

Условные обозначения и система единиц

Система единиц. Используется система единиц, в которой постоянная Планка и скорость света = c = 1. Интеграл действия и скорость безразмерны. Энергия, импульс и масса имеют одинаковую размерность: [E] = [p] = [m]. Размерность времени и длины выражается через размерность массы так: [t] = [l] = [m−1], а размерность сечения и вероятности распада в единицу времени [σ] =

[m−2], [w] = [m]. Переход к обычным единицам осуществляется, если учесть, что /mec ≈ 3, 86 · 10−11 см, /mec2 ≈1, 285 · 10−21 c;

здесь me = 9, 11 · 10−28 г – масса электрона; постоянная Планка составляет ≈1, 054 · 10−27 эрг·с или ≈6, 58 · 10−22 МэВ · с; ско-

рость света c ≈ 3 · 1010 см/с; энергии и массы частиц измеряют в эВ, МэВ, ГэВ, ТэВ, причем 1 эВ = 1, 6·10−12 эрг, 1 ТэВ = 103 ГэВ = = 106 МэВ = 1012 эВ. В энергетических единицах масса электрона me = 0, 511 МэВ, масса мюона mµ = 105, 6 МэВ, масса заряженного пиона mπ = 139, 6 МэВ, масса протона mp = 938, 2 МэВ,

масса заряженного каона mK = 494 МэВ. Классический радиус электрона r0 = e2/mec2 ≈2, 8·10−13 см.

Релятивистские обозначения. 4-векторные индексы α, β,

µ, ν, λ . . . пробегают значения 0, 1, 2, 3, где 0 – индекс временной компоненты 4-вектора, а 1, 2, 3 – индексы пространственных компонент. Принята следующая метрика 4-мерного пространства Минковского: метрический тензор gµν диагонален, т.е. µ = ν (g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1); gµν = 0, если µ = ν. Скалярное произведение 4-векторов определяется следующим образом: (ab) = gµν aµbν = a0b0 −ab, где a = (a0, a), b = (b0, b). Координаты точки 4-мерного пространства x = (t, x); элемент 4-объема d4x. 4-мерная δ-функция δ(4) (a) = δ(a0)δ(3) (a) = δ(a0 )δ(a1 )δ(a2 )δ(a3 ).

Векторные индексы в 3-мерном пространстве i, k, l . . . пробегают значения 1, 2, 3 (x, y, z); 3-векторы обозначаются как ai или a; трехмерный элемент объема d3x.

6

1. Релятивистская кинематика

Энергия E и импульс p свободной релятивистской частицы

смассой m выражаются через скорость v согласно формулам:

√√

=m/ 1 − v2, p = mv/ 1 − v2, E2 = p2 + m2, v = p/E; здесь

pµ ≡ p = (E, p) – 4-импульс частицы с массой m, причем для любой свободной частицы p2µ ≡ p2 = m2.

a2 = a2, a3 = a3. Здесь v – скорость штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, вектор v направлен вдоль пространственной оси 1 (x). Лабораторная система отсчета (л- система) определяется условием pM = 0, где pM – импульс части- цы-мишени.

Система центра инерции реакции (ц-система) для произвольного процесса определяется равенством нулю суммарного импульса частиц в начальном (конечном) состоянии. В процессе столкновения двух частиц с образованием двух частиц в конечном состоянии (4-импульсы начальных частиц p1 и p2, а конечных – p3 и p4) инвариантные кинематические переменные (переменные Ман-

дельстама) вводятся следующим образом: s = (p1 + p2)2, t = (p1 − p3)2, u = (p1 − p4)2.

Задачи

1.Найти полные и кинетические энергии частиц 1 и 2 в двухчастичном распаде A → 1+2 в системе покоя распадающейся части-

цы A. Массы всех частиц известны. Провести численные расчеты для распадов π− → µ−+ν˜µ и K− → µ−+ν˜µ. Сравнить полученные результаты.

2.Заряженный π-мезон разлетается «на лету» на мюон и мюонное антинейтрино. Найти пределы изменения энергии мюона

7

и антинейтрино в л-системе, если скорость π-мезона в л-системе задана.

3.В каких пределах изменяется энергия электрона в трехчастичном распаде µ− → e+νµ +ν˜e? Какой конфигурации импульсов продуктов распада отвечают случаи максимальной и минималь-

ной энергии электрона?

4.Пион налетает на покоящийся нуклон со скоростью v. Найти скорость центра инерции этой системы относительно л-системы. Массы пиона и нуклона m и M .

5.Доказать, что для частицы с массой m, импульсом p и энергией E форма d3p/E является релятивистским инвариантом.

6.В процессе глубоконеупругого рассеяния высокоэнергичных нейтрино (E ≥ 1 ГэВ) на нуклонах νµ + N → µ− + X (где X – любые конечные адроны) найти область изменения квадрата 4- импульса p 2 совокупности образованных адронов. В каких реакциях достигается минимальное значение p 2? Массой мюона при

таких высоких энергиях можно пренебречь, масса нуклона M .

7.Процессы глубоконеупругого рассеяния высокоэнергичных электронов (E ≥ 1 ГэВ) на нуклонах e + N → e + X (где X – лю-

бые конечные адроны) сыграли исключительно важную роль в развитии представления о кварках как фундаментальных состав-

ляющих адронов. Обозначим 4-импульс начального электрона k, конечного электрона k , начального нуклона p, конечных адронов p , а массу нуклона M . При расчете таких процессов удоб-

но использовать введенную Бьёркеном безразмерную переменную x = −q2/(2pq) (где q = k − k = p − p – передаваемый при рассе-

янии 4-импульс). Найти пределы, в которых изменяется переменная x, пренебрегая массой электрона.

8.Рассмотреть процесс образования электрон-позитронной па-

ры. Пусть в л-системе энергии электрона и позитрона равны соответственно E− и E+, а их импульсы – p− и p+.

а) определить скорость системы отсчета, в которой пара имеет нулевой импульс (ц-система);

б) вывести выражение для энергии электрона (позитрона) в этой системе отсчета;

8

в) вывести выражение для величины относительной скорости обеих частиц, т.е. для скорости одной частицы, измеряемой в системе отсчета, связанной с другой частицей пары.

9.Доказать невозможность осуществления в вакууме: а) перехода фотона в электрон-позитронную пару; б) излучения фотона свободным электроном.

10.Найти пороговую энергию нейтрино, вызывающих реакции

(масса D+-мезона равна 1,87 ГэВ, а Λ+c -гиперона – 2,28 ГэВ):

а) νµ + n → µ− + Λ+c ;

б) νµ + n → µ− + Λ+c + K0; в) νµ + n → µ− + D+ + n.

11. Определить пороговую кинетическую энергию пионов, до-

статочную для осуществления реакций: а) π− + p → p + n + p˜;

б) π− + p → K0 + Λ.

Массы частиц mK0 = 497, 7 МэВ, mΛ = 1115, 6 МэВ.

12.Квант слабого взаимодействия (W -бозон) может образо-

ваться в реакции νµ + p → µ− + W + + p. Найти пороговую энергию нейтрино, если mW ≈ 80 ГэВ.

13.τ -лептон с энергией E в л-системе распадается по каналу

τ− → µ− + ν˜µ + ντ . Исследовать, в каких пределах меняется угол

вылета конечного мюона по отношению к направлению движения

τ-лептона.

14.Частица, движущаяся с энергией E, распадается на две частицы. Показать, что если скорость вторичной частицы v0 в ц- системе меньше скорости V распадающейся частицы в л-системе, то в л-системе существует предельный угол вылета вторичной частицы.

15.γ-квант с частотой ω0 рассеивается на покоящемся свободном электроне (Комптон-эффект). Найти изменение частоты рассеянного кванта как функцию угла рассеяния. Рассмотреть слу-

чаи ω0 m и ω0 m, где m – масса электрона.

16. Пион с массой m упруго рассеивается на покоящемся нуклоне с массой M . Найти связь между углами вылета вторичных

9

пиона и нуклона и их энергиями в л-системе, если начальная энергия пиона E1.

17. Считая распад нейтрального кванта слабого взаимодействия, Z0-бозона, по каналам Z0 → νl + ν˜l (здесь νl = νe, νµ, ντ ) изотропным в системе покоя Z0, найти распределение событий по углам разлета ν и ν˜ в л-системе, где Z0 движется с энергией E.

18.Используя результат решения задачи 17, рассмотреть рас-

пределение событий по углам разлета γ-квантов в л-системе в случае распадов π0 → 2γ и η → 2γ. Указать способ идентификации π0 и η, если их полная энергия E в л-системе известна.

19.В процессе e+e−-аннигиляции рождается пара тяжелых мезонов B с массами M , один из которых распадается на два пиона

смассами m. Начальная энергия e+ и e− в ц-системе реакции равна E. Найти, в каких пределах меняется энергия одного из

образованных пионов. При расчете считать E me.

20.Рассмотреть реакцию νµ + n → νµ + Λ+c , где Λ+c – очарованный барион. Доказать, что в л-системе существует предельный угол вылета очарованного бариона Λ+c . Массы частиц и энергия первичного нейтрино заданы.

21.Считая распад кванта слабого взаимодействия, W -бозона, по каналам W ± → l±+νl(˜νl) изотропным в системе покоя W , определить распределение вторичных лептонов l (электрона или мюо-

на) по поперечным импульсам относительно направления движения W -бозона в л-системе. Указать способ обнаружения W -бозона

и измерения его массы. Считать массу W -бозона mW ml – масса лептона.

22. Пусть сталкиваются две частицы с массами m1 результате образуются две частицы с массами m3 и m4.

s + t + u = m21 + m22 + m23 + m24.

б) Для упругого рассеяния электрона на электроне выразить переменные s, t и u через энергию, импульс и угол рассеяния в ц-системе.

10