Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

2. Фазовый объем

Вероятность распада в единицу времени частицы с 4-импуль- сом p на n частиц с 4-импульсами k1, . . . , kn определяется выражением:

где E – энергия первичной частицы; |T |2 – квадрат модуля инвариантной амплитуды процесса, усредненный по начальным и просуммированный по конечным спиновым состояниям.

Дифференциальное сечение для процесса столкновения двух частиц с 4-импульсами p1 и p2 с образованием в конечном состоянии n частиц с 4-импульсами k1, . . .,kn представляется в следующей релятивистски инвариантной форме:

где E01 и E02 – энергии первичных частиц в л-системе: E01 = E0, E02 = m2; j – плотность потока падающих частиц. При нормировке волновых (полевых) функций на одну частицу в единичном объеме величина E01E02j может быть записана в инвариантной форме:

11

называется элементом релятивистски инвариантного фазового объема n частиц. Удобно выделить численные множители 2−n(2π)−3n(2π)4 и проводить вычисления фазового объема, исходя из формулы:

Задачи

23.Рассмотреть двухчастичный распад A → 1+2 в модели фазового объема. Каков характер углового распределения продуктов распада в системе покоя частицы A?

24.В условиях задачи 23 определить вид энергетического спектра продуктов распада в системе отсчета, где частица A движется

сэнергией EA.

25.Вычислить фазовый объем вторичных частиц в распаде

π− → µ− + ν˜µ.

26.Вычислить фазовый объем вторичных частиц в распаде

K→ 2π.

27.Установить энергетический спектр пионов, образованных в распаде Λ0 → π− + p, в системе покоя Λ0.

28.Вычислить фазовый объем вторичных частиц в распаде µ− → e− + ν˜e + νµ. Оценить время жизни мюона, считая квадрат модуля инвариантной амплитуды процесса известным:

|T |2 ≈ 83 G2µ4,

где G = 10−5/m2p – фермиевская константа слабого взаимодействия, mp – масса протона, µ – масса мюона. Массой электрона пренебречь.

12

29.Каково распределение электронов по энергиям в условиях задачи 28?

30.Вычислить фазовый объем вторичных частиц в распаде

π− → e− + ν˜e + γ.

31.В модели фазового объема найти энергетический спектр

одного из пионов в системе покоя каона в распаде K → 3π. Построить график распределения по энергии этого пиона.

32. В процессе β-распада нейтрона n → p + e− + ν˜e квадрат инвариантной амплитуды определяется соотношением

|T |2 = 16m2nG2EeEν (A + Bvevν ),

где mn – масса нейтрона, G = 10−5/mp2 – фермиевская константа слабого взаимодействия, mp – масса протона; Ee, ve, Eν , vν – соответственно энергии и скорости электрона и антинейтрино в системе покоя нейтрона; A и B – константы. Вычислить энергетический спектр электронов и построить его графически.

33. Получить формулу для полного сечения упругого рассеяния двух частиц в модели фазового объема.

3.Матрицы Паули и Дирака. Следы

Взадачнике используется следующее представление матриц Паули:

определяются формулой: σiσk = Iδik + iklσl, где δik – единичный симметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве

13

(δik = 1 при i = k и нулю при i = k); ikl – единичный полностью антисимметричный тензор третьего ранга:

одинаковых.

Матрицы Дирака γµ следующим образом (используется стандартное представление γ-матриц) выражаются через двухрядные матрицы Паули:

пространства-времени Минковского. Матрица γ5 антиперестановочна со всеми матрицами γµ: γ5γµ + γµγ5 = 0.

Единичный абсолютно антисимметричный тензор 4-го ранга в пространстве-времени Минковского µνλσ определяется следующим образом:

14

Принято обозначение: aˆ = aµγµ. Везде по «немым», дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование по правилу: aµγµ = a0γ0 − aγ = (aγ) = aˆ. След матрицы Ars обозначается как Sp A = Sp Ars = r Arr = A00 + A11 + A22 + A33, где индексы r и s – матричные, а не 4-векторные.

Задачи

34. Преобразовать выражение (σa)(σb).

35. Установить, как действуют спиновые операторы σ± = σ1 ± ıσ2 на собственные функции оператора σ3.

36.Упростить выражение σiσkσl.

37.Применить операции комплексного сопряжения, транспонирования, эрмитовского сопряжения к матрицам γ = (γ1, γ2, γ3),

41. Исходя из результата задачи 40, доказать соотношения:

15

43.Выразить величину µνλσ µνρτ через сумму слагаемых, составленных из произведений двух метрических тензоров.

44.Вычислить µνλσ µνλρ.

45.Доказать соотношение

γµγν γλ = agµν γλ + bgµλγν + cgνλγµ + ıd µνλσ γσ γ5

инайти коэффициенты a, b, c, d.

46.Доказать соотношение

γµγν γλ + γλγν γµ = Agµν γλ + Bgµλγν + Cgνλγµ + ıD µνλσ γσ γ5

инайти коэффициенты A, B, C, D.

47.Показать, что γ5(γµγν − γν γµ) = −ı µνλσ γλγσ .

48.Доказать, что след нечетного числа γ-матриц равен нулю.

49.Доказать редукционную формулу для следа n (n четно) γ-матриц:

Sp γµ1 γµ2 . . . γµn = gµ1µ2 Sp γµ3 . . . γµn − gµ1µ3 Sp γµ2 γµ4 . . . γµn +

+··· + (−1)ngµ1 µn Sp γµ2 . . . γµn−2 γµn−1 .

50.Доказать соотношения:

a) Sp γµγν = 4gµν ;

б) Sp γµγν γλγσ = 4(gµν gλσ + gµσ gνλ − gµλgνσ ).

51. Доказать соотношения:

a) Sp γµγν γ5 = 0;

б) Sp γµγν γλγσ γ5 = 4ı µνλσ .

52. Вычислить:

а) Sp γµ(pˆ + m)γν (qˆ + m);

б) Sp γµγ5(pˆ + m)γν γ5(pˆ + m);

Sp ˆˆˆ ˆ

ж) γµγν abcγν γµa.

16

4. Рeлятивистские волновые уравнения

Уравнение Клейна – Гордона, описывающее скалярную релятивистскую частицу (спин s = 0), имеет вид:

(∂µ2 + m2)ϕ(x) = 0,

где ∂µ2 = ∂22 − ∂22 − ∂22 − ∂22 . Для частицы со спином 0, взаи-

∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

модействующей с электромагнитным полем, уравнение Клейна – Гордона представляется в форме:

[(ı∂µ − eAµ)2 − m2]ϕ(x) = 0,

где Aµ(x) – 4-потенциал электромагнитного поля, e – заряд частицы. Операция зарядового сопряжения C для бесспиновых частиц сводится к комплексному сопряжению. Поэтому все истинно нейтральные скалярные частицы описываются действительными полевыми (волновыми) функциями ϕ(x), а заряженные скалярные частицы – комплексными полевыми функциями.

Уравнение Дирака описывает релятивистские частицы со спином 1/2. Для свободной частицы со спином 1/2 уравнение Дирака записывается в виде:

(ıγµ∂µ − m) ψ(x) = 0,

где γµ∂µ = γ0 ∂x∂0 + γ .

Полевая (волновая) функция, удовлетворяющая уравнению Дирака, является четырехкомпонентным спинором (биспинором):

ψ1

=ψ2

ψ.ψ3

ψ4

Эрмитово сопряженная по отношению к ψ(x) полевая (волновая) функция записывается в виде строки: ψ†(x) = (ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ).

17

Дираковски сопряженная полевая (волновая) функция определяется как ψ(x) = ψ†(x)γ0, ψ(x) = (ψ1 , ψ2 , −ψ3 , −ψ4 ). Для релятивистской частицы со спином 1/2, взаимодействующей с электро-

магнитным полем, уравнение Дирака записывается в виде:

[(ıγµ∂µ − eγµAµ) − m]ψ(x) = 0.

Общий вид решений уравнения Дирака для свободной частицы представляется следующим образом. Состояния с положительной энергией и определенным импульсом, положительно-час-

деленным импульсом, отрицательно-частотные решения, описы-

(px) = Ex0 − px, E = p2 + m2. Полевая (волновая) функция

ψp(−)(x) свободного антифермиона связана с полевой (волновой) функцией свободного фермиона ψp(+)(x) с помощью операции зарядового сопряжения C. Биспиноры u(p) и v(p) удовлетворяют уравнениям (pˆ − m)u(p) = 0 и (pˆ + m)v(p) = 0 и нормированы условиями uu = 2m и vv = −2m. При этом нормировка полевых (волновых) функций ψp(+)(x) и ψp(−)(x) отвечает одной частице в единичном объеме.

Оператор спиральности, представляющий оператор удвоенной проекции спина частицы на направление ее импульса, определя-

вектор вдоль направления импульса p частицы. Биспиноры u(p) и v(p) можно выбрать так, чтобы они являлись собственными функциями оператора спиральности с собственными значениями λ = ±1, которые отвечают удвоенным значениям проекций спина фермиона на направление его импульса. Спиральность λ = (+1) называется правой (или положительной) спиральностью, а спиральность λ = (−1) – левой (или отрицательной) спиральностью.

18

Задачи

53.Рассмотреть уравнение Клейна – Гордона для скалярной частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем, в нерелятивистском пределе. Сравнить с нерелятивистским уравнением Шредингера.

54.Найти решения уравнения Клейна – Гордона для свободной скалярной частицы. Установить связь между энергией и импульсом такой частицы.

55.Вывести уравнение непрерывности для 4-мерного вектора плотности электрического тока заряженной скалярной релятивистской частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем.

56.Для объяснения существования ядерных сил Юкава в 1935 году предложил получившую широкое распространение в последующие годы модель: он предположил, что ядерные силы между взаимодействующими нуклонами возникают в результате обмена пионами с массой m. С помощью неоднородного уравнения Клейна – Гордона с источником – ядерным зарядом – определить ядерный потенциал, создаваемый неподвижным точечным нуклоном, обладающим ядерным зарядом g (где g – постоянная сильного, ядерного взаимодействия, аналогичная электрическому заряду в случае кулоновских сил).

57.Найти уровни энергии заряженного пиона в кулоновском поле, создаваемом неподвижным положительным зарядом (−Ze) (π-мезоатом), заряд пиона π− совпадает с зарядом электрона e (e < 0).

58.При условии, что γ-матрицы Дирака остаются неизмен-

ными при собственных преобразованиях Лоренца xµ = aµν xν (где aµρaνρ = gµν ), определить, каким условиям должен удовлетворять матричный оператор линейного преобразования Sψ(x) = ψ (x ) волновой (полевой) функции ψ(x), являющейся решением свобод-

ного уравнения Дирака, чтобы новая волновая (полевая) функция

ψ(x ) удовлетворяла уравнению Дирака в новой (штрихованной)

19

системе отсчета1.

59.Найти, как преобразуется волновая (полевая) функция, являющаяся решением уравнения Дирака, при повороте системы координат на угол φ вокруг оси z.

60.Найти вид матрицы преобразования волновой (полевой) функции уравнения Дирака при переходе в систему отсчета, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно старой системы.

61.Найти матрицу преобразования S(a) дираковской волновой (полевой) функции в случае произвольного бесконечно малого собственного преобразования Лоренца. Обобщить результат на случай конечного преобразования.

62.Выяснить, как преобразуется волновая (полевая) функция уравнения Дирака при преобразовании пространственной инверсии.

63.Найти, как ведут себя решения уравнения Дирака при обращении времени.

64.Выяснить, каким условиям должна подчиняться матрица зарядового сопряжения C для дираковской волновой (полевой) функции. Найти явный вид этой матрицы.

σµν = 12 (γµγν −γν γµ)) при собственных преобразованиях Лоренца

ипри пространственных отражениях.

66.Построить пять лоренцевых скаляров из четырех биспино-

67. Привести уравнение Дирака для свободной частицы к двухкомпонентной форме. Сравнить нерелятивистский предел полученного уравнения с уравнением Шредингера.

1Собственными преобразованиями Лоренца называются любые трехмерные вращения системы координат и лоренцевские преобразования в пространстве Минковского. Преобразования отражения пространственных координат и времени не включаются в группу собственных преобразований Лоренца. Коэффициенты aµν действительны. Преобразования координат, включающие обращение времени и пространственное отражение, называются несобственными преобразованиями Лоренца.

20