Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

Действуя оператором sγˆ 5 на левую и правую части этого уравнения и используя соотношение s2 = −1, которому 4-вектор sµ удовлетворяет по определению, находим

uλ( p) = λ2uλ( p).

Из этого равенства следует, что собственные значения оператора sγˆ 5 составляют λ = ±1. При выводе последнего уравнения учтена цепочка равенств: sγˆ 5sγˆ 5 = −sˆsγˆ 5γ5 = −s2 = 1.

В результате заключаем, что общий полный набор собственных функций операторов pˆ и sγˆ 5 состоит из четырех независимых биспиноров uλ( p), отвечающих собственным значениям = ±1 и

λ= ±1.

75.В системе покоя частицы 4-вектор sµ, очевидно, имеет вид s = (0, s), где s = ξ, а p = (m, 0). Итак, введенный 4-вектор

обладает всеми свойствами, отмеченными в условии задачи 74: s2 = −s2 = −ξ2 = −1, (sp) = 0 · m − s · 0 = 0. При релятивистском

преобразовании к системе отсчета, где частица движется со скоростью v = p/E (E, p и m – полная энергия, 3-импульс и масса

частицы), временная компонента 4-вектора согласно закону релятивистского преобразования имеет вид:

Компонента s вдоль направления v (ось z )

Пространственные компоненты sµ, поперечные по отношению к вектору v, при рассматриваемом преобразовании Лоренца не изменяются s = ξ = ξ − (ppξ2)p . В результате для вектора s окончательно находим выражение:

101

76. Биспиноры uλ(p) и vλ(p) = uλ(−p) являются собственными функциями оператора sγˆ 5 с собственными значениями λ = ±1 (см. задачу 74). В системе отсчета, где 3-импульс дираковской частицы p = 0, оператор sγˆ 5 имеет вид

sγˆ 5 = −(ξγ)γ5 = σξ −0 ,

0 σξ

а биспиноры uλ(p) и vλ(p) представляются следующим образом:

Первое уравнение с помощью двух последующих соотношений

преобразуется к уравнениям для двухкомпонентных спиноров wλ и w λ:

(σξ)wλ = λwλ, (σξ)w λ = −λw λ.

Направляя ось z вдоль вектора ξ, имеем:

σz wλ = λwλ, σzw λ = −λw λ.

Поскольку оператор спина, отвечающий спиновому квантовому числу 1/2, есть σ/2, где σ – матричный векторный оператор, компонентами которого являются матрицы Паули, то полученные уравнения являются (с точностью до множителя 1/2) уравнениями, определяющими собственные функции wλ, w λ с собственными значениями оператора проекции спина 12 σz на направление ξ (ось z). Собственные значения оператора 12 σz составляют, очевидно, λ2 = ±12 , а нормированные на 1 спиноры wλ и w λ представляются в виде:

Отметим, что одинаковые по виду собственные функции оператора (σξ) = σz отвечают в случае состояний с положительной и

102

отрицательной энергией противоположным по знаку значениям квантового числа проекции спина в системе покоя.

77. Для доказательства сделанного в условии задачи утверждения воспользуемся тем обстоятельством, что матрицы Паули σk и единичная двухрядная матрица I образуют полный набор, по которому может быть разложена произвольная двухрядная матрица

G = AI + Bσ,

где A и B = (B1, B2, B3) – коэффициенты разложения. Рассмотрим в качестве матрицы G произведение двухкомпонентных спиноров ww†, где спинор w описывает некоторое произвольное спиновое состояние фермиона. Матричные элементы G имеют вид

Gab = wawb ,

где a, b = 1, 2 – матричные индексы компонент спиноров w и w+. Коэффициенты разложения A и B легко находятся по формулам:

Sp G = 2A, Sp (σG) = 2B,

которые легко выводятся, если использовать следующие свойства матриц Паули: Sp σ = 0, σiσk = δik + ı iklσl. Подставляя в первую формулу вместо матрицы G ее выражение через двухкомпонентные спиноры и используя значения A и B, находим в матричных обозначениях:

wawb = 12 (wc wc)δab + 12 (wc σcdwd)(σ)ab.

Умножим обе части этого равенства справа на wb и просуммируем по b, учитывая условие нормировки спиновой волновой функции wb wb = 1. В результате получаем:

wa = 12 wa + 12 (wc σcdwd)σabwb.

Или, опуская матричные индексы: w = (w†σw)(σw).

103

Обозначим 3-вектор

w†σw = ξ,

тогда полученное соотношение приобретает вид:

w = (σξ)w.

Это равенство означает, что оператор (σξ) является удвоенным оператором проекции спина частицы на ось ξ, причем состояние, описываемое спинором w, отвечает квантовому числу проекции спина, равному + 12 . В то же время из последнего определения ξ следует, что ξ является удвоенным средним значением вектора спина частицы, находящейся в состоянии со спиновой волновой функцией w. Из последних соотношений и условия нормировки w†w = 1 вытекает после умножения левой и правой частей соотношения для w на w† слева, что ξ2 = 1. Одновременно доказано, что в случае произвольного спинового состояния w всегда можно найти такое направление в пространстве, вдоль которого проек-

ция спина частицы имеет определенное значение (в данном случае sz = + 12 ).

78.Соответствующие соотношения легко проверяются непосредственным вычислением.

79.Рассмотрим коммутатор оператора спиральности (Σn) (n – единичный вектор вдоль направления импульса) с гамильтонианом свободного уравнения Дирака H = αp + βm (см. задачу

69):

104

Поскольку оператор (Σn) коммутирует с гамильтонианом, можно выбрать в качестве биспиноров uλ(p) и vλ(p) собственные функции этого оператора для состояний с положительной и отрицательной энергией. Из уравнения Дирака (pˆ − m)u(p) = 0, записав его в двухкомпонентной форме, с учетом нормировки биспиноров нетрудно получить выражение для u(p):

где w – произвольный двухкомпонентный спинор, удовлетворяющий только условию нормировки. Потребуем, чтобы биспинор

(σn)wλ = λwλ. Применим еще раз оператор (σn) к последнему уравнению, получим: wλ = λ2wλ. Откуда вытекает, что λ = ±1 (λ – удвоенное значение проекции спина на направление импульса p). Составляющими единичного вектора n в сферических координатах являются соответственно nx = sin θ cos φ, ny = sin θ sin φ, nz = cos θ, где θ, φ – полярный и азимутальный углы, характеризующие направление импульса p относительно осей координатной системы. Найдем явный вид спинора wλ, исходя из уравнения (σn)wλ = λwλ, считая, что вектор n направлен произвольно:

(σxnx + σyny + σz nz)wλ = λwλ;

% cos θ + b sin θe−ıφ = λa a sin θeıφ + b cos θ = λb .

Из последних уравнений с учетом условия нормировки спиноров получим:

105

Если вектор n направлен по оси z, то θ = 0 и вид спиноров упрощается:

(фазовый множитель опущен как несущественный). Сумма по двум возможным значениям поляризации λ = ±1 равна:

wλwλ† = I.

λ

Действительно, подставляя в левую часть соотношения спиноры, зависящие от углов θ и φ, нетрудно получить, что эта сумма равна единичной матрице I. В заключение отметим, что другой возможный выбор полного набора спиноров wλ отвечает двум возможным значениям проекции спина на ось квантования в системе покоя частицы. Соответствующие спиноры имеют вид:

Если ось z совпадает с направлением импульса частицы (в системе, где она движется), то очевидно, что спиноры wλ переходят в спиноры wsz . Сумма † = I.

80.Проведем прямое вычисление суммы P+ = λ uλ(p)¯uλ(p).

Сучетом результатов предыдущей задачи найдем:

uλ(p)¯uλ(p) =

Покажем, что полученное выражение совпадает с матрицей

106

82. Обозначим uL = 12 (1 + γ5)u(p) и uR = 12 (1 − γ5)u(p). Подставим в выражения для uL и uR биспинор свободной частицы со

ральные состояния uλL=−1 и uλR=1, что оправдывает названия биспиноров: uL – левый биспинор, uR – правый биспинор. В ультрарелятивистском приближении эти биспиноры требуют для описания состояния один двухкомпонентный спинор wλ – такое описание соответствует нейтрино (нейтрино либо безмассовые, либо обладают очень малой массой). В природе существуют только левые нейтрино и правые антинейтрино. Спиральность λ всегда в ультрарелятивистском приближении становится сохраняющимся квантовым числом. Относительные вероятности состояний с противоположными спиральностями составляют:

(uλL=1)†(uλL=1) ≈ m2 .

(uλL=−1)†(λL=−1) 4E2

То же соотношение справедливо и для правых биспиноров.

=E2 − m2(w2†(σn2)w1 − w2†(σn1)w1) = w2†(σq)w1,

108

Сравним матрицы Λ+ и uλ=1u¯λ=1 в системе покоя частицы:

Совпадение величин Λ+ и uλ=1u¯λ=1 в одной системе отсчета в силу их ковариантности означает, что они совпадают и в произ-

w −1(w −1)† = 0 0 . Операторы Λ± являются матрицей плот-

ности для поляризованного фермиона (антифермиона).

87. Запишем исходную комбинацию биспиноров и γ-матриц в

двухкомпонентной форме, воспользовавшись результатами задачи 82: [¯uaγµ(1 + γ5)ub][¯ucγµ(1 + γ5)ud] =

=14 [¯ua(1 − γ5)γµ(1 + γ5)ub][¯uc(1 − γ5)γµ(1 + γ5)ud] =

=4[¯uLaγµuLb][¯uLcγµuLd] =

110