Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

Рис. 31

с взаимодействием расходятся в высших порядках теории возмущений, и в перенормируемых теориях удается с помощью процедуры перенормировки убрать возникающие расходимости, если наблюдаемые величины выразить через перенормированные заряд и массу.

После этого предварительного введения рассмотрим точную функцию Грина фотона Dµν . Пусть фотон распространяется из пространственно-временной точки x1 в точку x2. Учтем при этом все процессы взаимодействия с собственным электронно-позитрон- ным полем. Точную функцию Грина фотона обозначим жирной волнистой линией, а функцию Грина, описывающую его распространение без взаимодействия Dµν(0) – тонкой волнистой линией (рис. 31).

Компактными называются диаграммы, которые нельзя разделить на части, соединенные только одной линией. Они описывают связные флуктуации, происходящие за короткое время. Во втором

201

порядке по e2 такой диаграммой является петля поляризационного оператора. Введем для фотона понятие поляризационного оператора Πµν (k) как сумму всех компактных диаграмм без внешних фотонных линий (рис. 32).

=++

++ +

Рис. 32

Тогда точную функцию Грина фотона можно представить в графическом виде, представленном на рис. 31.

Просуммируем графически всю бесконечную последовательность диаграмм рис. 31. Для этого мысленно разрежем каждую диаграмму в правой части графического равенства, начиная со второй, по фотонной линии, следующей за первой петлей поляризационного оператора. Тогда слева от мысленного разреза останется форма D(0)Π, а сумма всех диаграмм справа от мысленного разреза будет снова представлять точную, физическую функцию Грина фотона D. Таким образом мы получим уравнение Дайсона для точной функции Грина фотона:

Dµν = Dµν(0) + D(0)µµ Πµ ν Dν ν .

Ограничимся в уравнении Дайсона поляризационным оператором Π только в однопетлевом приближении и запишем уравнение символически:

D = D(0) + D(0)ΠD.

202

Домножим полученное уравнение слева на D(0)−1 (отметим, что

Как и в предыдущей задаче, мы понимаем, что видоизменение фотонного пропагатора за счет поляризации вакуума фактически является именно тем процессом, который генерирует перенормировку заряда. Причем теперь мы можем произвести перенормировку не в однопетлевом приближении, а с учетом бесконечной последовательности петель – точную перенормировку. Имея в виду, что вклад дает только поперечная составляющая поляризационного оператора Πµν , пропорциональная (−k2Π0(k2)), для точной перенормировки заряда получим:

ванного, физического заряда вошли как нефизический затравочный заряд, так и и нефизический обрезающий импульс L. Величина Z3 = (1 + α0/3π ln (L2/m2))−1 называется константой перенормировки заряда.

Еще раз отметим, что внешние фотонные линии не перенормируются, так как для реального фотона k2 = 0 и для физических поляризаций реального фотона выполняется условие поперечности kµε(µσ) = 0 (σ = 1, 2). Действительно, если вставить поляризационный оператор в любой внешний фотонный конец диаграммы,

203

и заметить, что поскольку внешней фотонной линии в диаграммной технике сопоставляется его поляризация, то возникнет фактор εµΠµν = Π0(k2)εµ(kµkν − k2gµν ), который обращается в нуль.

159. По мере того как жесткий фотон с большой энергией внедряется в облако положительно заряженных частиц, экранирующих отрицательный затравочный заряд электрона (причем генерирует процесс образования этого облака эффект поряризации вакуума), он должен «видеть» все больший заряд. То есть величина заряда, которую «видит» зондирующий фотон, должна зависеть от энергии зонда.

Из уравнения Дайсона физический пропагатор (функция Гри-

доизменение фотонного пропагатора за счет эффекта поляризации вакуума несет ответственность за изменение заряда частицы,

речную часть поляризационного оператора при высоких энергиях:

(1 + (α0 /3π) ln (L2/m2)). После чего мы получим формулу, в которой присутствуют только физические перенормированные величины зарядов и отсутствует нефизическая контанта обрезания L. Эта совершенно уникальная формула рассказывает нам, по какому закону с энергией меняется константа связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей или эффективной константой связи КЭД.

Эта формула определяет поведение заряда КЭД с увеличением энергии по мере того как зонд-фотон проникает все ближе к затравочному заряду (r → 0). График поведения α(k2 ) в зависимости от |k2/m2| изображен на рис. 33.

204

α(k2)

|mk22 |

Рис. 33

Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии. Поведение константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные взаимодействия, резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение называется асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и электрослабого взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на которых должно произойти Великое объединение, составляют 1014 − 1015 ГэВ. На рис. 33 сплошной линией обозначено поведение с ростом энергии константы связи КЭД, а пунктирной линией – константы связи КХД.

160. Из формулы для бегущей константы связи КЭД, полученной в предыдущей задаче, можно получить ограничения на пределы применимости КЭД. Заметим прежде всего, что знаменатель соотношения обращается в нуль, т.е. α(k2 ) имеет полюс при (α/3π) ln | − k2/m2| = 1. Это так называемая сингулярость или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по которым α(k2) должна обращаться в бесконечность при какомлибо k2, а, следовательно, полюс Ландау никогда не достигается:

205

(α/3π) ln |kmax2 /m2| < 1. Отсюда следуют ограничения на предельные импульсы и параметры обрезания в КЭД.

kmax L m e3π/2α ≈ m 10280 .

Полученное число чрезвычайно велико. Если учесть, что по современным оценкам масса Вселенной составляет приблизительно MUniverse ≈ m1080, то полученное предельное значение на 200 порядков превышает массу Вселенной. Кстати, если в соотношение для перенормировки заряда поставить в качестве обрезающего параметра L даже массу Вселенной, то величина (α/3π) ln (L2/m2) составит всего лишь 0,285.

Для перенормируемых теорий характерны безразмерные константы взаимодействия (в единицах = c = 1), таким является

2

электрический заряд в КЭД, где α = 4eπ . Квантовые поправки приводят к зависимости этих зарядов от энергии, но эта зависимость слабая – логарифмическая. Согласно современному сценарию на масштабах порядка массы Планка MP = GN −1 1019 ГэВ (GN – ньютоновская константа гравитационного взаимодействия), на которых становятся существенными квантовые гравитационные эффекты, имеется колоссальное многообразие частиц и взаимодействий между ними. До энергий E MP доживают лишь самые легкие из частиц и лишь перенормируемые взаимодействия. На доступных пока для нас энергиях мы видим сложившийся, привычный мир, состоящий из лептонов и кварков с присущими им электрослабыми и сильными взаимодействиями, и находимся на пути осмысления квантовой гравитации.

206

Список рекомендуемой литературы

1.Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. – М.: Наука, 1980.

2.Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. – М.: Наука, 1981.

3.Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. – М.: Мир, 1984.

4.Вайнберг С. Квантовая теория поля. – М.: Физматлит, 2003.

5.Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. – М.: Наука, 1978.

6.Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. – М.: Наука, 1990.

7.Райдер Л. Квантовая теория поля. – М.: Мир, 1987.

8.Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля.

–РХД, 2001.

9.Хелзен Ф., Мартин А. Кварки и лептоны. – М.: Мир, 1987.

207