Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

удовлетворяет уравнению Дирака:

ıγµ∂µψ (x) − mψ (x) = 0.

Следовательно, если функция ψ(x) – решение уравнения Дирака,

( ) = ¯T ( )

то и функция ψ x T ψ x также является решением уравнения Дирака (вообще говоря, с точностью до фазового множителя). Функции ψ(x) и ψ (x) описывают взаимно обратные движения. Инвариантность относительно преобразования (4) с определенной условием (3) матрицей T указывает на инвариантность уравнения Дирака относительно обращения времени. Рассмотрим теперь волновую (полевую) функцию свободного уравнения Дирака

ψp(x) = √12E u(p)e−ı(p0 t−px),

описывающую частицу с импульсом p. Имеем

ψp (x) = 21 T u¯T (p)e−ı(p0t−(−p)x). E

( ) = ¯T ( )

Таким образом, функция ψp x T ψ x описывает частицу с 4-импульсом p = (p0, −p), т.е. при обращении времени импульс меняет знак. Нетрудно убедиться, что биспинор u (p ) = T u¯T (p) удовлетворяет стандартному уравнению для биспинора u(p):

Предлагаем убедиться самостоятельно, что при обращении времени спиральность λ не меняется.

64. Уравнение Дирака для частицы с учетом электромагнитного поля:

Для античастицы (e → −e) уравнение имеет вид:

91

Компоненты 4-потенциала внешнего поля Aµ(x) считаем ве-

ˆ† = † − Aγ†

A A0γ0 (левые стрелочки над операциями дифферен-

цирования означают, что соответствующие операторы действуют

¯( ) (ˆ†− ˆ†− ) = 0 ¯( )(−ˆ− ˆ− ) = 0

назад). Тогда ψ x γ0 p eA m γ0 или ψ x p eA m (см. задачу 38). Транспонируем последнее уравнение:

Из сравнения последнего уравнения с транспонированным уравнением для частицы следует, что матрица C должна обладать следующими свойствами: C−1γµC = −γµT , C−1C = 1. Этим условиям удовлетворяет матрица C = ıγ2γ0 (она определена с точностью до фазового множителя ηC (|ηC | = 1)). Тогда C−1 = −C, CT = C, C† = C−1. Таким образом, зарядово сопряженную функцию, описывающую состояния античастицы, можно выразить через волновую (полевую) функцию частицы:

C ( ) = [ ¯( ) ]T = [ ¯( )]T =

ψ x ψ x C C ψ x ıγ2ψ

.

ностью до фазового множителя, конкретное значение которого всегда можно выбрать из соображений удобства.

Отметим, что фермионные состояния с определенным импульсом (−p), поляризацией (−λ) и отрицательной энергией ψ−λ−p(x) с помощью операции зарядового сопряжения превращаются в состояния антифермиона с определенным импульсом p, поляризацией λ и положительной энергией:

( C )λ( ) = [ ¯−λ ]T

ψ p x ψ−p C .

92

Тогда

(pˆ − m)ψ = (p0γ0 − pγ − m)ψ =

Здесь p0 = ı ∂t∂ , p = −ı . Для стационарных решений уравнения Дирака ϕ(x) = ϕ(x)e−ıEt, χ(x) = χ(x)e−ıEt уравнения (1) прини-

мают вид:

93

Здесь использовано свойство (σp)(σp) = p2. Перейдем к нерелятивистскому пределу: E = ε + m, ε m. Удерживая в (2) слагаемые, линейные по ε, убеждаемся, что уравнение (2) переходит в стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы:

p2 ϕ(x) = εϕ(x), 2m

где p2 = − .

Заметим, что при переходе к нерелятивистскому приближению из четырех компонент биспинора ψ(x) две компоненты волновой (полевой) функции оказываются малыми по сравнению с двумя другими компонентами. Для положительных энергий величина |χ| мала по сравнению c |ϕ|, а для отрицательных – наоборот.

68.Вводя двухкомпонентные спиноры ϕ(x) и χ(x) (см. задачу

67)и приводя стационарное уравнение Дирака с учетом электромагнитного поля к двухкомпонентной форме, получим систему уравнений:

%(E − eA0 − m)ϕ − (σπ)χ = 0

(σπ)ϕ − (E − eA0 + m)χ = 0 ,

где π = p −eA; (A0, A) – компоненты 4-вектора потенциала электромагнитного поля. Перейдем в полученных уравнениях к нерелятивистскому приближению E = ε + m (ε m, |eA0| m). Выразим χ из нижнего уравнения и подставим в верхнее уравнение системы:

(σπ)(σπ) (ε − eA0)ϕ = 2 ϕ.

m

Для матриц Паули справедливо соотношение:

(σa)(σb) = ab + ıσ[a × b].

В данном случае a = b = (p − eA) = (−ı − eA), однако векторное произведение не обращается в нуль в силу некоммутативности

94

операторов p = −ı и A(x):

(σπ)(σπ) = π2 + ıσ[π × π] =

=π2 + ıσ[(p − eA) × (p − eA)] =

=π2 − ıeσ([p × A] + [A × p]).

Сучетом этого результата приходим к уравнению:

По определению магнитное поле H = rot A. Поэтому полученное уравнение есть уравнение Паули:

Второе слагаемое в левой части этого уравнения описывает взаимодействие спинового магнитного момента электрона µ = с магнитным полем. В рамках нерелятивистского уравнения Шредингера это взаимодействие отсутствует и обычно вводится в уравнение Паули феноменологическим образом. Отметим, что спино-

тор спина электрона. Орбитальный магнитный момент µL = 2e L

mc

связан с моментом импульса L, но с коэффициентом, вдвое меньшим, чем в случае спиновых моментов. Этот вывод согласуется с данными опыта.

69. Гамильтониан для свободной частицы, описываемой уравнением Дирака, имеет вид:

H = αp + βm,

(p = −ı ) где α и β – четырехрядные матрицы, связанные с матрицами Дирака соотношениями βα = γ, β = γ0, откуда

95

Выберем произвольно ориентированную в пространстве ось z и вычислим коммутатор [H, Lz ] . Так как оператор Lz = (xpy −ypx) коммутирует с операторами β и αz pz, то для искомого коммутатора получим следующее выражение:

[H, Lz ] = HLz − LzH =

= αx(pxLz − Lz px) + αy (pyLz − Lz py) = ı(αy px − αxpy).

Аналогичные результаты получаются и для других проекций момента. Нетрудно показать, что коммутатор [H, L] = −ı[α ×p]. Таким образом, орбитальный момент количества движения не является интегралом движения. Проверим, что сохраняющейся величиной при свободном движении релятивистской частицы со спином 1/2 является полный момент количества движения J = L+ S,

матриц Дирака вытекает, что коммутатор [H, S] = ı[α ×p]. И, следовательно, сохраняющейся величиной является полный момент. Это позволяет утверждать, что «собственный» угловой момент

Aµ(A0 = −Zre , A = 0). Здесь используются гауссовские единицы. Представим стационарное уравнение Дирака с учетом кулоновского взаимодействия в двухкомпонентной форме (см. задачу 68):

% (E − eA0 − m)ϕ(r) − (σp)χ(r) = 0 (σp)ϕ(r) − (E − eA0 + m)χ(r) = 0 .

Система двухкомпонентных уравнений выписана для случая состояний с положительной энергией E > 0. Выражая χ из нижнего уравнения и подставляя результат в верхнее уравнение системы, найдем:

1

(E − eA0 − m)ϕ − (σp) E − eA0 + m (σp)ϕ = 0.

96

Произведем в полученном уравнении разложение параметров по

дальнейшие упрощения. Воспользуемся для этого соотношения-

где S = 12 σ – оператор спина частицы, а L = [r × p] – оператор орбитального момента. Первое и второе слагаемые в правой части входят в обычное нерелятивистское уравнение Шредингера, третье – имеет вид классической релятивистской поправки к кинетической энергии:

97

Четвертое слагаемое представляет энергию спин-орбитального взаимодействия, а последнее – отвечает релятивистской поправке к потенциальной энергии (поправка Дарвина) и не имеет классического аналога. Полученные релятивистские поправки могут быть учтены методами теории возмущений и вносят изменения в энергию водородных уровней, что приводит к их тонкой структуре, которая означает снятие вырождения по орбитальному квантовому числу l. Однако вырождение снимается не полностью, остаются двукратно вырожденными уровни с одинаковыми квантовыми числами n и j, но разными l = j ± 12 (j – квантовое число полного момента j = l + s).

71. Выберем векторный потенциал магнитного поля в форме Ax = Az = 0, Ay = Hx (поле H направлено по оси z). Приведя стационарное уравнение Дирака к двухкомпонентной форме (см. задачу 68), для функции ϕ(r) после простых преобразований получим:

(E2 − m2)ϕ = [π2 − eσz H]ϕ,

где π2 = p2x + (py − eHx)2 + p2z; p = −ı . Так как переменные y и z не входят в коэффициенты уравнения, будем искать его реше-

ние методом разделения переменных: ϕ(r) = exp ı(py y + pzz)Φ(x). Получим следующее уравнение для Φ(x):

√

С помощью замены переменной ξ = eH(x − eHpy ) оно приводится к виду:

Двухкомпонентную спинорную волновую функцию Φ(ξ) следует выбрать так, чтобы она являлась собственной функцией оператора удвоенной проекции спина σz с собственным значением λ (λ = ±1), поскольку оператор σz коммутирует с гамильтонианом

98

системы. Тогда окончательно уравнение для Φλ(ξ) приводится к виду:

Это уравнение совпадает по форме с уравнением Шредингера

для линейного осциллятора. Его решениями являются функции Φnλ(ξ) = Cnλe−ξ2/2Hn(ξ), где Hn(ξ) – полином Эрмита,

Cnλ – нормировочный множитель. Уровни энергии Enλ определя-

73. Найдем вид биспинора u(p) для покоящейся частицы. Уравнение Дирака (pˆ − m)u(p) = 0 для покоящейся частицы приобре-

где wλ, w λ – двухкомпонентные спиноры, p = (m, 0). Отсюда получаем, что w λ = 0, а wλ – произвольный спинор. Потребуем чтобы биспинор uλ(p) являлся собственной функцией оператора

Эти биспиноры отвечают состояниям покоящейся дираковской частицы с проекциями спина на ось z, равными λ2 = ±12 . Аналогичные вычисления для состояний, описываемых биспинором v(p), приводят к следующей системе решений (состояния с отри-

99

цательной энергией p0 = −m, p = 0):

При выводе этих соотношений нужно учесть, что биспинор v(p) отвечает состоянию с импульсом не p, а (−p).

74. Собственными функциями матричного оператора импульса pˆ свободной дираковской частицы в импульсном представлении являются биспиноры Дирака u(p) и v(p) = u(−p), отвечающие со-

ров u(p) и v(p) можно представить в виде единого уравнения:

pˆu( p) = m u( p),

где = ±1. Записанное в такой форме уравнение является уравнением на собственные функции для оператора pˆ с собственными значениями ±m. Оно еще не определяет биспиноры u( p) однозначным образом, поскольку приводит только к двум независимым решениям, отвечаюшим двум собственным значениям оператора pˆ, в то время как биспиноры u( p) четырехкомпонентны, и полный набор решений должен содержать четыре линейно независимых биспинора. Нетрудно убедиться в том, что матричный оператор sγˆ 5 коммутирует с оператором pˆ, и, следовательно, эти операторы имеют обшую систему собственных функций. Действительно,

sγˆ 5pˆ − pˆsγˆ 5 = −γ5(ˆspˆ + pˆsˆ) = −2γ5(sp) = 0

в силу определения 4-вектора sµ в условии задачи. Уравнение, определяющее собственные функции и собственные значения λ оператора sγˆ 5, имеет вид:

sγˆ 5uλ( p) = λuλ( p).

100