Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

половину их фазового объема. Используя формулу для двухфотонного распада парапозитрония из задачи 125, для вероятности двухфотонной аннигиляции парапозитрония, находим:

Время жизни парапозитрония

τ0 = 1 = 1, 23 · 10−10c. w0

127. Процесс γ + γ → e+ + e− является обратным процессу двухфотонной аннигиляции. Квадраты модуля инвариантных амплитуд этих процессов, усредненные по начальным и просуммированные по конечным спиновым состояниям, одинаковы. Различие между дифференциальными сечениями изучаемых процессов, вычисляемыми в ц-системе реакции, состоит в том, что отличаются, во-первых, факторы инвариантного потока: j(2γ → e+e−) =

импульсы фотонов и компонент e+e−-пары соответственно; вовторых, при вычислении фазовых объемов конечных частиц в ре-

из-за тождественности вторичных фотонов следует разделить результат для полного сечения на фактор 2. С учетом всех указанных факторов принцип детального равновесия в рассматриваемом случае приводит к следующему соотношению между сечениями процессов:

σ(2γ → e+e−) = 2(1 − 4ms 2 )σ(e+e− → 2γ) = 2v02 σ(e+e− → 2γ),

161

где v0 – скорость одной из компонент e+e−-пары в ц-системе. В результате, воспользовавшись формулой задачи 126 для точного значения сечения σ2γ , находим сечение процесса 2γ → e+e− :

лученную формулу можно представить через инвариант s, учтя,

граммами, изображенными на рис. 19. На этом же рисунке обозначены 4-импульсы частиц, участвующих в процессе.

Рис. 19

На основе этих диаграмм по правилам Фейнмана конструируется инвариантная амплитуда процесса:

Здесь ε1,2 – 4-векторы поляризации фотонов. Два слагаемых в квадратных скобках соответствуют двум диаграммам рисунка. Калибровочная инвариантность требует, чтобы при замене в амплитуде процесса поляризации фотона на его 4-импульс, результирующее выражение обращалось в нуль. Это требование связа-

162

но с тем обстоятельством, что продольно поляризованные состояния фотона, то есть состояния с 4-вектором поляризации εµ kµ (kµ – 4-импульс фотона), являются нефизическими и, следовательно, не должны поглощаться или излучаться в процессах взаимодействия. Произведем в выражении для амплитуды замену

ции γ-матриц. Тогда в числителе первого слагаемого возникает

(pˆ1 −m)u(p1) = 0 и упрощая знаменатель (p1 +k1)2 −m2 = 2(p1k1),

первое слагаемое приобретает вид (+εˆ2). Во втором слагаемом

мутативности матриц γ. Так как u¯(p2)(pˆ2 −m) = 0, а знаменатель после упрощения равен −2(p2k1), то второе слагаемое в квадратных скобках не обращается в нуль, а равно (−εˆ2). Таким образом, амплитуды, соответствующие каждой из диаграмм, порознь в нуль не обращаются, и только их сумма не нарушает требование калибровочной инвариантности. Аналогичным образом мож-

ˆ → ˆ

но убедиться в том, что при замене ε2 k2 суммарная амплитуда сохраняет калибровочную инвариантность.

129. Характерное поведение углового распределения комптоновских фотонов существенным образом определяется знаменателем второго слагаемого формулы для амплитуды Комптон-эф- фекта, полученной в задаче 128. Дело в том, что знаменатель первого слагаемого вообще не зависит от угла рассеяния фотона. Действительно, величина (p1 + k1)2 = s = (E1 + ω1)2 представляет квадрат полной энергии сталкивающихся фотона и электрона в ц-системе. Знаменатель второго слагаемого, которое возникает в результате перестановки порядка процессов поглощения и излу-

163

чения фотонов электроном, имеет вид

(p1 − k2)2 − m2 = −2(k2p1) = −2(ω2E1 − k2p1) =

=−2(ω2E1 + k2k1) = −2ω2(E1 + |p1|cos θ) =

=−2ω2E1(1 + v1 cos θ),

где ω1,2 – энергии первичного и вторичного фотонов в ц-системе, θ – угол вылета вторичного фотона в ц-системе по отношению к

направлению импульса первичного фотона, v1 = |p1|. Здесь ис-

E1

пользован тот факт, что в ц-системе p1 + k1 = 0 (|k1| = |p1|), а также что для фотона |k| = ω. Очевидно, что знаменатель становится малым в окрестности угла θ ≈ π. При высоких энергиях, когда E1 m, ω1 m и v1 → 1 знаменатель становится особенно мал при значении θ = π, т.е. при рассеянии фотона назад. Малость знаменателя соответствует максимуму дифференциального сечения процесса. Вблизи угла θ = π удобно вве-

быстро растет, поэтому основная часть событий сосредоточена в

конусе углов δ m .

E1

130. На основе формулы для инвариантной амплитуды T процесса комптоновского рассеяния фотонов на электронах (см. задачу 128) полное сечение реакции вычисляется стандартными методами и равно:

Здесь r0 – классический радиус электрона; β = ωm1 , ω1 – энергия первичного фотона в л-системе, m – масса электрона. При асимптотически высоких энергиях ω1 m, β 1 формула для сечения существенно упрощается. Удерживая главные слагаемые порядка β−1, находим формулу для сечения Комптон-эффекта в крайне

164

131. Процесс тормозного излучения фотона электроном, взаимодействующим с кулоновским полем ядра с зарядом (−Ze), описывается двумя диаграммами, представленными на рис. 20.

Рис. 20

Здесь предполагается, что ядро достаточно массивное и энергией его отдачи можно пренебречь. В таких условиях амплитуда

где q = p2 + k −p1, εµ – 4-вектор поляризации излучаемого фотона, k – его 4-импульс, p1,2 – 4-импульсы первичного и вторичного

электронов, Aµ(q) – фурье-компонента 4-потенциала кулоновского поля ядра: Aµ(q) = (−Zq2e , 0); u¯(p2), u(p1) – биспиноры, описы-

вающие вторичный и первичный электроны. Выражение для T с

165

учетом сделанных замечаний запишется в виде:

Используя свойства антикоммутации γ-матриц, в числителях

двух слагаемых амплитуды T проведем следующие преобразова-

ния: pˆ1εˆ = 2(p1ε )−εˆ pˆ1, εˆ pˆ2 = 2(p2ε )−pˆ2εˆ , а также воспользуемся уравнениями Дирака: (pˆ1 − m)u(p1) = 0 и u¯(p2)(pˆ2 − m) = 0.

Приближение мягких фотонов означает, что энергия излучаемого фотона в л-системе мала, по крайней мере, по сравнению с энергиями налетающего и рассеянного электронов. Более строгое ограничение следует из требования, чтобы передача импульса ядру |q| была велика по сравнению с тем изменением этой величины |δq|, которое вносит излучение мягкого фотона. Величину δq

В приближении мягких фотонов в числителях слагаемых в квадратных скобках в формуле для амплитуды T можно пренебречь величинами, содержащими 4-импульс фотона k. Тогда амплитуда

166

где Tel – амплитуда упругого рассеяния электрона в кулоновском поле ядра. Таким образом, вычисление сечения тормозного излучения мягких фотонов электроном приводит к результату:

яния электрона в кулоновском поле ядра. Отметим, что факторизованная амплитуда T калибровочно инвариантна. Поэтому в формуле для дифференциального сечения суммирование по поляризационным состояниям тормозного фотона формально можно провести, включая в эту операцию продольные и скалярные фотоны. В силу калибровочной инвариантности излучение этих нефизических состояний невозможно, и они не дадут вклада в сечение. После суммирования по поляризациям фотона получаем

где dΩk – элемент телесного угла, в который излучается тормозной фотон. Полученную формулу можно переписать через трехмерные величины:

выражение, стоящее после dσel совпадает с классической дифференциальной интенсивностью dIω тормозного излучения при изменении скорости движения электрона v1 на v2 за время τ ω1 , деленной на частоту испускаемого излучения: dσ = dσel dIωω . Величина dw = dIωω по своему смыслу есть дифференциальная вероятность испускания одного фотона с частотой ω в процессе рассеяния заряженной частицы. Таким образом, сечение тормозного

167

излучения мягкого фотона представляется в виде двух независимых множителей: сечения dσel и вероятности dw испускания одного фотона.

Из формулы для дифференциального сечения ясно, что энергетический спектр тормозного излучения имеет вид dωω , и поэтому вероятность испускания фотона с пренебрежимо малой энергией (длинноволновое излучение) оказывается формально бесконечно большой. Это явление получило название «инфракрасной катастрофы». В действительности этот результат оказывается неверным, поскольку он получен в предположении, что излучение одного фотона всегда более вероятно, чем излучение двух и более. В случае излучения длинноволновых фотонов теория возмущений квантовой электродинамики оказывается неправомерной, когда параметр α ln ( Eω1 ) становится больше единицы. В этих условиях процессы излучения двух и более фотонов оказываются более вероятными, чем одного. Множественное излучение фотонов и учет радиационных поправок к процессу рассеяния снимают проблему «инфракрасной катастрофы» (см., например, [1]).

132. Рассмотрение, аналогичное проведенному при решении предыдущей задачи, показывает, что излучение двух мягких фотонов можно рассматривать как два статистически независимых события, в каждом из которых первичный (вторичный) электрон излучает последовательно по одному фотону.

Суммирование диаграмм таких процессов, некоторые из которых изображены на рис. 21, приводит к результату:

dσ2 = dσeldw1dw2,

где dwi – дифференциальная вероятность испускания отдельного фотона с 4-импульсом ki, найденная в задаче 131:

Полученный результат можно обобщить на случай излучения

168

Рис. 21

произвольного числа мягких фотонов:

При интегрировании этой формулы по конечным интервалам частот и углов вылета мягких фотонов, одинаковых для всех фотонов, нужно ввести дополнительно множитель n1! , учитывающий тождественность фотонов.

133. Согласно формуле для дифференциального сечения с излучением одного фотона, полученной в задаче 131, дифференциальное сечение процесса тормозного излучения мягкого фотона выражается как произведение дифференциального сечения упругого рассеяния заряженной частицы на какой-то тяжелой мишени (или во внешнем статическом поле) и дифференциальной вероятности излучения при изменении скорости движения заряженной частицы от первоначального значения v1 до конечного значения v2. В случае рассеяния не во внешнем поле, а на другой заряженной частице, все выводы, полученные при решении задачи 131, остаются справедливыми, но требуют следующего уточнения: к вероятности излучения мягкого фотона одной заряженной частицей (например, электроном) необходимо добавить аддитивно ве-

169

роятность излучения мягкого фотона другой заряженной частицей, участвующей во взаимодействии; под сечением dσel следует понимать дифференциальное сечение упругого рассеяния взаимодействующих заряженных частиц, Фактор dσel, очевидно, не зависит от того, какая именно частица излучает мягкий фотон. В нерелятивистском случае (v1,2 1), вероятность излучения (см. формулу для dwi задачи 131) мягкого фотона имеет вид:

где n = ωk . Поскольку v1,2 = pm1,2 (m – масса излучающей частицы, p1,2 – ее начальный и конечный импульсы), полученная формула преобразуется к виду:

частицы к другой. Вероятность передачи в процессе рассеяния того или иного импульса q определяется величиной дифференциального сечения рассеяния с передачей такого импульса. Это означает, что в приведенной выше формуле имеется только один фактор, зависящий от сорта излучающей частицы, а именно, квадрат ее массы, стоящий в знаменателе. Таким образом, вероятность тормозного излучения мягкого фотона обратно пропорциональна квадрату массы излучающей заряженной частицы. Поскольку масса мюона примерно в 200 раз превышает массу электрона, вклад в сечение тормозного излучения, обусловленный диаграммами, в которых фотон излучается мюоном, составляет приблизительно 2, 5 · 10−5 от вклада диаграмм, в которых фотон излучается электроном. Поэтому в процессе eµ-рассеяния вкладом от тормозных фотонов, излученных мюоном, можно пренебречь. Этот вывод оказывается справедливым и в релятивистском случае (см., например, [1]).

134. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что один фотон с энергией, большей 2m (m – масса электрона), не

170